方向导数 – 又有什么新东西？
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
地点和时间
计算方向导数作为一个学习（即通过）主题，实际上紧随多变量函数的偏导数之后，大多数学生在第二学期学习这些内容。
这个主题很少被提及，因此我没有在我的偏导数课程中包含它，但它被提及的频率足够高，因此我会在博客中提到它 – 供那些需要学习方向导数的人以及那些只是好奇的人使用。然而，正如在课程中一样，今天我几乎只关注实际操作（“我该怎么做？”），而不是理论（“我到底在做什么？”）。
方向导数 – 我该怎么做？
在方向导数的情况下，我们处理的是 x 和 y 参数的同步增长，这当然对应于函数值的增长 
。
完成任务我们需要三样东西：
- 我们将计算方向导数的函数。
- 我们将计算方向导数的点。
- 以向量形式给出的方向。
有了上述内容，任务就变成了将向量转换为方向向量（这是解析几何的一部分，我稍后会展示如何做），然后将其代入公式：
其中：
是在点 
在向量方向上的方向导数 
是我们计算方向导数的点
是方向向量的坐标
是函数的偏导数 在点 。
计算函数的方向导数 
在点 P(1,2) 在方向 
。
解决方案：
一切都已准备就绪，只需将向量 转换为方向向量。
方向向量是具有相同方向、相同方向但长度为 1 的向量。
它通过公式计算：
也就是说，只需将其坐标除以其长度。
所以我们计算向量的长度 :
然后我们得出方向向量：
在方向导数的公式中，我们还需要函数的偏导数 在点 P(1,2):
现在我们有了公式所需的一切：
只需代入，我们就得到结果： 
。
完成。
例子 2
求函数的方向导数： 
在点 P(3,1) 在从该点到点的方向 Q(6,5)。
解决方案：
问题稍微困难一点，因为方向向量没有直接给出，但这对我们来说没什么。
我们从点 P 移动到点 Q，因此移动向量是向量 [3,4]。
现在我们通过计算向量 [3,4] 的长度来寻找方向向量：
我们得到方向向量：
现在在点 (3,1) 计算偏导数：
然后只需代入方向导数公式：
例子 3
求函数的方向导数 
在点 (1,2) 在与 X 轴正方向成角度 
的方向上。
解决方案：
问题看似更难，因为数据中没有给出方向向量。让我们画出整个情况：
关键是找到具有指定方向的任意向量的坐标。
我们使用事实 
，可以假设我们的向量具有坐标 
，如图所示（只需选择任意一个具有与直线方向相同的向量）：
现在我们继续老方法。
计算方向向量：
然后在点 (1,2) 计算偏导数：
代入公式，我们得到结果
欢迎在评论中提问 – 一如既往 🙂
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