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矩阵秩的“目测”估算
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Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
矩阵秩的定义及其意义
假设我们将 矩阵的秩 定义为:“矩阵中线性独立的行和列的数量”。从这个定义一开始就可以得出哪些性质?
首先,很明显 矩阵的秩 可以是:1,或者4,或者有时是0。但肯定不会是:-4,或者 。
好吧,这就是全部吗?
但这就是全部吗?我们来看一个矩阵的例子:
这个矩阵有3行6列。
我们问自己,这个矩阵的 秩 可能是多少?它可以等于7吗?显然不可能,因为既然 矩阵的秩 是“线性独立的行和列的数量”,在这种情况下不可能是7,因为这个矩阵既没有这么多行,也没有这么多列!
现在一个更难的问题…… 秩 可以是6吗?毕竟这个矩阵有6列……
答案是否定的。6必须是“线性独立的行和列的数量”。6可以是线性独立的列的数量(因为它有6列),但不能是线性独立的行的数量(因为它只有3行)。而它应该是线性独立的“行和列”的数量。
所以,很明显这个 矩阵的秩 最大可以是3。
我们得出一个有用的性质:
秩(A) <= 最小值(矩阵的行数, 矩阵的列数)
因此,通过观察矩阵,可以立即知道它的 最大秩 – 这有时非常有用。
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