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Krystian Karczyński- 7 8 月 2024
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我们来说说如何计算椭球体的体积：
这是一个椭球体，它在x, y, z轴上的交点分别是2, 
和3 (椭球体的一般方程是: 
, 其中a,b,c是交点坐标).
这不是一个旋转椭球体，不是通过任何曲线绕任何轴旋转生成的，我们不能用标准的旋转体积公式来解决:
我们得另想办法。
1. 我们在椭球体的中心和OZ轴上取一个任意点M(z)。
通过这个点并垂直于OZ轴的平面“切割”出一个椭圆：
2. 我们确定在XY平面上的椭圆“切割”投影方程
我们从椭球体的一般方程中确定这个椭圆的方程，对于固定的’z’ (我们把’z’当作常数):
显然，我们的一般椭球体方程中的’a’和’b’ (
) 是:
4. 根据变量’z’计算这个截面的面积
这个椭圆的面积取决于所选的’z’点，也就是说它是一个关于’z’的函数。我们可以用椭圆面积的现成公式来计算(
):
或者费力地计算适当的定积分（当然使用椭圆的参数形式和公式来计算参数形式的面积）:
5. 用截面积计算体积
现在是关键时刻。体积等于——这听起来不太好——所有截面的“和”（即积分），大致来说：
其中 
是截面积关于OZ轴的函数，’a’和’b’是’z’的变化范围。
也就是说：
=（算，算，算…）= 
这与椭球体的一般公式一致(
).
结束
值得记住这个一般的思路，特别是，复杂的、非旋转体的体积可以通过积分其截面积函数来计算。
