椭圆坐标（双重积分）
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
生活中有时候，我们需要在双重积分中用到椭圆作为积分区域….
那么该怎么办？
椭圆坐标
一种优雅的解决方法通常是使用所谓的椭圆坐标。这有点像极坐标，工作机制非常相似，只是用不同的东西代替 x 和 y，雅可比行列式也不同。 ‘r’ 的解释也不同。因此，如果你会转换为极坐标（这种情况下积分区域通常是圆），你也很容易掌握椭圆坐标。
所以我们有积分：
积分区域由椭圆限制，中心在坐标系的原点，其方程为：
。请确保椭圆方程的右侧一定是 1，可以吗？如果右侧是 9，可以通过将方程两边除以 9 来轻松变成 1。
绘制的积分区域看起来像这样：
图中每个人都能看到 a 和 b 的含义。需要注意的是，如果在椭圆方程的分母下 
是 9，例如，这意味着 
，显然为什么，对吧？
现在，拥有这样一个“干净”的情况，我们转换为椭圆坐标，代入：
椭圆坐标中变量的意义
角度 
的意义与在极坐标中的完全相同，而 
的意义则不同。对于以方程 给出的椭圆的基本问题，简单地假设 从 0 变为 1（在更复杂的情况下，代入 和 到椭圆方程中，计算 r 的上限）。
雅可比行列式
椭圆坐标中的雅可比行列式为 
。
记住雅可比行列式，我们转换为椭圆坐标的积分：
其中变量 和 受限于： 在 0 到 1 的范围内， 取决于我们是在讨论整个椭圆、半个椭圆还是例如四分之一椭圆 – 就像在极坐标中一样。
只需动手计算。
示例
计算积分 
，其中 D 是方程为：
的椭圆。
根据上述步骤，我们代入：
我们取积分区域：
并计算积分：
这已经是一件形式上的事了 🙂
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