椭圆坐标(双重积分)

生活中有时候,我们需要在双重积分中用到椭圆作为积分区域….

那么该怎么办?

椭圆坐标

一种优雅的解决方法通常是使用所谓的椭圆坐标。这有点像极坐标,工作机制非常相似,只是用不同的东西代替 x 和 y,雅可比行列式也不同。 ‘r’ 的解释也不同。因此,如果你会转换为极坐标(这种情况下积分区域通常是圆),你也很容易掌握椭圆坐标。

所以我们有积分: 积分区域由椭圆限制,中心在坐标系的原点,其方程为:。请确保椭圆方程的右侧一定是 1,可以吗?如果右侧是 9,可以通过将方程两边除以 9 来轻松变成 1。

绘制的积分区域看起来像这样:

Elipsa

图中每个人都能看到 a 和 b 的含义。需要注意的是,如果在椭圆方程的分母下 是 9,例如,这意味着 ,显然为什么,对吧?

现在,拥有这样一个“干净”的情况,我们转换为椭圆坐标,代入:

椭圆坐标中变量的意义

角度 的意义与在极坐标中的完全相同,而 的意义则不同。对于以方程 给出的椭圆的基本问题,简单地假设 从 0 变为 1(在更复杂的情况下,代入 到椭圆方程中,计算 r 的上限)。

雅可比行列式

椭圆坐标中的雅可比行列式为

记住雅可比行列式,我们转换为椭圆坐标的积分:

其中变量 受限于: 在 0 到 1 的范围内, 取决于我们是在讨论整个椭圆、半个椭圆还是例如四分之一椭圆 – 就像在极坐标中一样。

只需动手计算。

示例

计算积分 ,其中 D 是方程为: 的椭圆。

根据上述步骤,我们代入:

我们取积分区域:

并计算积分:

这已经是一件形式上的事了 🙂

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

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