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椭圆坐标(双重积分)
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Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
生活中有时候,我们需要在双重积分中用到椭圆作为积分区域….
那么该怎么办?
椭圆坐标
一种优雅的解决方法通常是使用所谓的椭圆坐标。这有点像极坐标,工作机制非常相似,只是用不同的东西代替 x 和 y,雅可比行列式也不同。 ‘r’ 的解释也不同。因此,如果你会转换为极坐标(这种情况下积分区域通常是圆),你也很容易掌握椭圆坐标。
所以我们有积分: 积分区域由椭圆限制,中心在坐标系的原点,其方程为:
。请确保椭圆方程的右侧一定是 1,可以吗?如果右侧是 9,可以通过将方程两边除以 9 来轻松变成 1。
绘制的积分区域看起来像这样:
图中每个人都能看到 a 和 b 的含义。需要注意的是,如果在椭圆方程的分母下 是 9,例如,这意味着
,显然为什么,对吧?
现在,拥有这样一个“干净”的情况,我们转换为椭圆坐标,代入:
椭圆坐标中变量的意义
角度 的意义与在极坐标中的完全相同,而
雅可比行列式
椭圆坐标中的雅可比行列式为
记住雅可比行列式,我们转换为椭圆坐标的积分:
其中变量
只需动手计算。
示例
计算积分
根据上述步骤,我们代入:
我们取积分区域:
并计算积分:
这已经是一件形式上的事了 🙂
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