带参数的矩阵秩

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。

让我们计算矩阵的秩：

解决方案

你可以用几种方法来解决这个问题，最快的方法可能是将第五列乘以-1，然后加到第一、第二、第三和第四列，得到：

现在我们来看一下四阶矩阵的行列式：

所有非主对角线元素都为零的行列式等于主对角线元素的乘积（总有一天我会证明这一点 🙂 ），所以：

这个行列式在所有a不等于1时都不为零。因此，对于这样的a，我们要计算的矩阵的秩是4（因为可以从中提取非零的四阶小矩阵，而无法得到更大的）。

当 时会怎样呢？此时我们得到的矩阵秩（将a替换为1）：

这个秩为1（例如，你可以再次用第五列作用于其余列并消去零列）。

因此，当a不等于1时，矩阵的秩为4，当a等于1时，矩阵的秩为1。