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带参数的矩阵秩
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Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
让我们计算矩阵的秩:
解决方案
你可以用几种方法来解决这个问题,最快的方法可能是将第五列乘以-1,然后加到第一、第二、第三和第四列,得到:
现在我们来看一下四阶矩阵的行列式:
所有非主对角线元素都为零的行列式等于主对角线元素的乘积(总有一天我会证明这一点 🙂 ),所以:
这个行列式在所有a不等于1时都不为零。因此,对于这样的a,我们要计算的矩阵的秩是4(因为可以从中提取非零的四阶小矩阵,而无法得到更大的)。
当 时会怎样呢?此时我们得到的矩阵秩(将a替换为1):
这个秩为1(例如,你可以再次用第五列作用于其余列并消去零列)。
因此,当a不等于1时,矩阵的秩为4,当a等于1时,矩阵的秩为1。
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