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欧拉第一类替换
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Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
欧拉替换 – 这对谁有用?
在不定积分中的欧拉替换是在有理积分、三角积分和根式积分(或者按照某些分类:“非有理积分”)之后介绍的下一个主题。这意味着大多数学生可能不会有机会遇到它们,我在我的不定积分课程中也没有包括它们。
然而,仍然有相当一部分数学专业的学生,或者真的在数学上非常“强”的学生,需要面对欧拉替换,我邀请这些(以及感兴趣的)学生加入。我将讨论欧拉替换的所有三种类型(在这篇帖子中我将处理第一种类型),并为每一种做一个示例。
让我们开始吧。
我们用欧拉替换解决哪些积分?
我们用欧拉替换来解决以下类型的积分:
…即一些任意的关系
我们用欧拉替换来解决那些无法更简单地解决的积分,当然。例如,积分:
但让我们来看这个积分:
我们看到情况更为严重,先前熟悉的替换
我们需要新的武器。
欧拉替换 – 第一类
考虑到这个积分:
其中,
我们使用替换:
,然后对两边都进行平方,
,用t表示,然后将其代入原积分中:
我们得到一个关于t的积分(如果里面还有任何x的话,那就是我们犯了错误),这是一个有理积分。
注意
值得一提的是,实际上许多学生只被教授了第一类欧拉替换,且仅用于以下类型的积分:
,即那些似乎
让我们通过一个例子来跟踪欧拉第一类替换的应用:
例子 1
我们发现这是一个积分,涉及 (
所以我们将使用欧拉第一类替换。
我替换:
也就是:
然后对两边都进行平方:
两边的
现在我们需要确定
我们从
我们有
我们回到我们的第一个替换,其中有:
现在我们已经知道
也就是:
所以我们有
最后,我们通过对确定的
这样我们就确定了
我们将这一切放入原始积分中:
乍一看,这看起来像是无聊、繁琐但已知和有模式的有理积分(分解为简单分数,分母中的第二项还可以进一步分解)。通常情况下是这样,但在这个具体例子中,我们将有一些运气,避免了穿越3页A4纸的计算:
如何通过替换回到原来的表达式?我们一开始有:
因此显然:
所以我们的结果是:
待续。 (我们还有其他两种欧拉替换,如果系数
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