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证明当 x 趋向于无穷大时 sin(x) 不达到极限

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


我们有一个函数的极限:

直观上我们感觉上面的极限是不存在的。x 变得越来越大,而正弦值一直在 -1 和 1 之间“摆动”。

正式证明

但如何正式地展示并证明这一点呢?

根据定义当 x 趋向无穷大时的函数极限,我们知道极限存在,如果对于 每一个趋向 的自变量序列,对应的函数值序列都收敛于同一个数(那么这个数就是极限)。

所以为了展示这样的极限不存在,只需取两个任意趋向 的自变量序列,并展示对应的函数值序列收敛于两个不同的数。

我们知道正弦函数是周期性的,因此可以取如下序列:

显然,当 时,这两个序列都趋向于无穷大。

现在我们来看这些序列对应的函数值序列

显然,第一个序列收敛于 0,第二个序列收敛于 1。

这足以证明函数的极限:

不存在。


你在寻找大学或高中级别的数学家教吗? 或者你需要一个课程来帮助你准备高考吗?

我们是eTrapez团队。我们以清晰、简单和非常详细的方式教授数学 - 甚至可以触及到最抗拒学习的人。

我们创建了用易懂的语言解释的视频课程,可以下载到电脑、平板或手机上。你只需打开视频,就像在家教课上一样,观看和聆听。无论是白天还是夜晚,任何时候都可以。

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