证明当 x 趋向于无穷大时 sin(x) 不达到极限
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
我们有一个函数的极限:
直观上我们感觉上面的极限是不存在的。x 变得越来越大,而正弦值一直在 -1 和 1 之间“摆动”。
正式证明
但如何正式地展示并证明这一点呢?
根据定义当 x 趋向无穷大时的函数极限,我们知道极限存在,如果对于 每一个趋向
所以为了展示这样的极限不存在,只需取两个任意趋向
我们知道正弦函数是周期性的,因此可以取如下序列:
显然,当
现在我们来看这些序列对应的函数值序列
显然,第一个序列收敛于 0,第二个序列收敛于 1。
这足以证明函数的极限:
不存在。
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