矩阵秩的“目测”估算

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。

矩阵秩的定义及其意义

假设我们将 矩阵的秩 定义为：“矩阵中线性独立的行和列的数量”。从这个定义一开始就可以得出哪些性质？

首先，很明显 矩阵的秩 可以是：1，或者4，或者有时是0。但肯定不会是：-4，或者 。

好吧，这就是全部吗？

但这就是全部吗？我们来看一个矩阵的例子：

这个矩阵有3行6列。

我们问自己，这个矩阵的 秩 可能是多少？它可以等于7吗？显然不可能，因为既然 矩阵的秩 是“线性独立的行和列的数量”，在这种情况下不可能是7，因为这个矩阵既没有这么多行，也没有这么多列！

现在一个更难的问题…… 秩 可以是6吗？毕竟这个矩阵有6列……

答案是否定的。6必须是“线性独立的行和列的数量”。6可以是线性独立的列的数量（因为它有6列），但不能是线性独立的行的数量（因为它只有3行）。而它应该是线性独立的“行和列”的数量。

所以，很明显这个 矩阵的秩 最大可以是3。

我们得出一个有用的性质：

秩(A) <= 最小值(矩阵的行数, 矩阵的列数)

因此，通过观察矩阵，可以立即知道它的 最大秩 – 这有时非常有用。

要更精确地计算它，你需要使用适当的方法 – 我在我的 矩阵课程 中的 第五课 中展示了这些方法，欢迎学习！