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在 有理不定积分中,如我们所知,经常需要将被积函数的分母分解为因式,并进一步分解为简单分数。
然而,仅仅是因式分解就可能经常是个麻烦。
典型情况
对于简单的情况,例如:
我们可以应对:
如果分母中有一个适当排列的三次多项式,我们也能应对:
分母中的不友好的三次多项式
问题开始于分母中有一个更难以分解的三次多项式,例如:
深呼吸。
控制住恐慌。
这种事情(这种多项式的因式分解)在高中就已经做过了,而且是基础水平的。
只需要一个聪明的小技巧:
还记得吗?当然记得…
因此我们可以分解分母中的多项式:
然后按照规则分解为三个简单分数。
更难的因式分解
那这样的情况呢?还记得高中学的(这已经是扩展范围了)吗?
这里有点更糟糕。中间的项需要拆分为两个:
然后按照老方法继续:
也就是说,积分应写为:
然后继续计算。
有理积分中分母的因式分解方法
总的来说,记住在有理积分中,如果需要将多项式分解为因式,所有的高中技巧都是允许的,可能还包括例如:
- 通过辅助置换分解一些四次多项式
- “盲目”寻找根,并分解多项式以降低其阶数
当然,我们现在只谈论更难的有理不定积分,这些积分在许多(大多数?)大学甚至没有引入!