有理不定积分 – 分母中的三次多项式

有理不定积分中,如我们所知,经常需要将被积函数的分母分解为因式,并进一步分解为简单分数。

然而,仅仅是因式分解就可能经常是个麻烦。

典型情况

对于简单的情况,例如:

我们可以应对:

如果分母中有一个适当排列的三次多项式,我们也能应对:

分母中的不友好的三次多项式

问题开始于分母中有一个更难以分解的三次多项式,例如:

深呼吸。

控制住恐慌。

这种事情(这种多项式的因式分解)在高中就已经做过了,而且是基础水平的。

只需要一个聪明的小技巧:

还记得吗?当然记得…

因此我们可以分解分母中的多项式:

然后按照规则分解为三个简单分数。

更难的因式分解

那这样的情况呢?还记得高中学的(这已经是扩展范围了)吗?

这里有点更糟糕。中间的项需要拆分为两个:

然后按照老方法继续:

也就是说,积分应写为:

然后继续计算。

有理积分中分母的因式分解方法

总的来说,记住在有理积分中,如果需要将多项式分解为因式,所有的高中技巧都是允许的,可能还包括例如:

  • 通过辅助置换分解一些四次多项式
  • “盲目”寻找根,并分解多项式以降低其阶数

当然,我们现在只谈论更难的有理不定积分,这些积分在许多(大多数?)大学甚至没有引入!

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

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