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序列的极限与无穷和

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


让我们看看以下序列的极限:

在这个问题中,我们感觉需要用序列求和公式 (算术或几何),但不幸的是,这个序列既不是算术的,也不是几何的…

怎么办?

我们需要用完全不同的方法。将每个分数分解成简单分数。这在处理不定积分有理函数时非常常见。关键是找到常数 A 和 B,使得…

我们将上面方程的两边都乘以 ,得到:

然后:

比较左边和右边的多项式系数 (多项式相等 – 高中知识) 我们得到了一个方程组:

简单分数分解中的方程组从第二个方程中:  .

将其代入第一个方程:

我们也得到 .

因此我们可以将任意分数分解为:

回到我们的序列极限,将每个分数分解为简单分数:

简化一些项后,我们得到:

这个序列的极限显然不再那么可怕了:

P.S.

你可以在我的视频课程中找到许多关于序列极限的有趣例子。


你在寻找大学或高中级别的数学家教吗? 或者你需要一个课程来帮助你准备高考吗?

我们是eTrapez团队。我们以清晰、简单和非常详细的方式教授数学 - 甚至可以触及到最抗拒学习的人。

我们创建了用易懂的语言解释的视频课程,可以下载到电脑、平板或手机上。你只需打开视频,就像在家教课上一样,观看和聆听。无论是白天还是夜晚,任何时候都可以。

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