Całki Oznaczone – definicja

Całki Oznaczone Wykład 1

Temat: Całki Oznaczone – definicja

Streszczenie

W pierwszej części wykładu pokażę, czym jest całka oznaczona (w sensie Riemmana) i jak powstaje odpowiadający jej szereg. W drugiej wprowadzę ścisłą, matematyczną definicję.

Część I – całka oznaczona jako pewien szereg (suma)

Jak to często w matematyce bywa, całki oznaczone nie powstały sobie ot tak, “z niczego”. Całki oznaczone  rozwiązują pewien – zupełnie prosty do zrozumienia – problem. Czyli najpierw był PROBLEM, a później pojawiły się całki oznaczone. Na czym polegał problem?

Problem dokładnego obliczenia pola

Zastanówmy się nad kwestią obliczania pola jakiegoś obszaru. Znamy wzory na pola: koła, kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trapezu, rombu itd. Jest fajnie.

Co jednak jeśli obszar (np. kawałek lasu), który rozmiar chcemy policzyć nie jest takim równym: kołem, kwadratem, prostokątem, równoległobokiem, trapezem, rombem itd.? Mamy problem.

Sposób na obliczenie pola “nietypowego” obszaru

Na innym wykładzie (poświęconym całkom nieoznaczonym) przedstawiłem już pewien sposób na ugryzienie tej sprawy:

Całka nieoznaczona a obliczenia pola obszaru

Na tym wykładzie spróbujemy jednak z innej strony.

Narysujmy sobie obszar “nietypowy” i wprowadźmy układ współrzędnych:

Obszar, który narysowałem można nazwać ‘trapezem krzywoliniowym” (bo jedna z podstaw jest krzywą). Jak się zastanowić, to właściwie każdego “kleksa”, czy obszar nieregularny da się podzielić na trapezy krzywoliniowe.

Zakładamy, że funkcję  już znamy, czyli że jest ona DANA.

Jeśli tak, to dosyć łatwo policzyć możemy pola tych dwóch prostokątów:

W ten sposób otrzymujemy pewne (zapewne dosyć grube) przybliżenie pola P, czyli:

Możemy pójść krok dalej i obszar przybliżyć polami trzech prostokątów:

Otrzymamy oczywiście w ten sposób także przybliżenie pola P, ale zapewne już bardziej dokładne:

Zwiększając liczbę prostokątów do 10:

Otrzymujemy, kolejne, lepsze przybliżenie pola P:

Jeśli naszym celem było by policzenie pola P z pewną dokładnością, moglibyśmy osiągnąć to łatwo dzieląc go na odpowiednią ilość prostokątów.

Przypominam jednak, że celem jest obliczenie dokładnej, a nie przybliżonej, wartości pola P. Jak to osiągnąć?

Metoda jest już dobra, tylko prostokątów musi być po nieskończenie wiele. Jeżeli prostokątów tych będzie nieskończenie wiele i będą nieskończenie małe ich suma da nam dokładną wartość pola P.

Samo zrozumienie, że coś takiego jest możliwe, pchnęło matematykę niesamowicie do przodu.

Na tym filmiku objaśniam bliżej, jak suma nieskończonej ilości składników może być skończona, możesz przejrzeć ją sobie jako dodatek do wykładu:

Mamy w ten sposób metodę na policzenie dokładnej wartości “nietypowego” pola. Robimy to, dzieląc go na nieskończoną liczbę nieskończenie małych prostokącików i sumując ich pola.

Tak otrzymaną sumę nieskończoną (można też powiedzieć: szereg) nazywa się właśnie całką oznaczoną w sensie Riemanna (od nazwiska Pana, który jako pierwszy dobrze ją opisał).

Pozostaje już nam właściwie tylko doszlifować formalności, które powinny odpowiedzieć na kilka wiszących jeszcze w powietrzu pytań.

Zajmiemy się tym w II części Wykładu.

Część II – Definicja całki oznaczonej (jako pewnego szeregu)

Opiszmy może bardziej szczegółowo to, co robiliśmy w części I.

Na początku wybraliśmy dwa prostokąty. Aby to zrobić, musieliśmy podzielić odcinek  na dwie części punktem podziału – powiedzmy – :

Ile równe jest pole ? Oczywiście bok razy bok. Długość jednego boku to (jak widać na wykresie) . Długość drugiego boku to wartość funkcji w punkcie , czyli :

Czyli:

W przypadku pola jeden bok naszego prostokąta ma długość , a nasz punkt zbiegł się właściwie z punktem :

Czyli:

Zatem całe nasze pole P:

Wyczuwamy już, że konstrukcje większych ilości prostokątów będą wyglądały podobnie i zaraz się tym zajmiemy, najpierw jednak powiedzmy sobie kluczową dla całej definicji całki oznaczonej kwestię.

Uwaga.

Jeszcze raz uwaga.

Punkt dzielący odcinek możemy wybrać sobie całkowicie DOWOLNIE. Punkt wewnątrz odcinka   mogliśmy sobie wybrać całkowicie DOWOLNIE. Punkt  wewnątrz odcinka  mogliśmy sobie wybrać całkowicie DOWOLNIE (i akurat wzięliśmy go na brzegu tego odcinka).

Oznacza to, że gdybyśmy przyjęli zupełnie inne punkty , , otrzymalibyśmy zupełnie inne prostokąty:

Jednak pola tych prostokątów nadal w pewien sposób stanowiły by przybliżenie pola P (oczywiście inne, niż poprzednim razem) i stosując naszą metodę dalej (zwiększając liczbę prostokątów w nieskończoność) otrzymalibyśmy równie dobrze pole obszaru P.

Przybliżmy teraz pole P trzema prostokątami, tak jak robiliśmy to w części I.

Zwiększając liczbę prostokątów do trzech dzielimy odcinek na trzy dowolnie wybranymi punktami , i wewnątrz nich dowolnie wybieramy punkty :

Otrzymując w ten sposób przybliżenie pola P:

Odcinki:  możemy dla skrócenia oznaczyć jako:

.

Mamy więc:

Widzimy więc, że dla jakiegokolwiek ustalonego podziału na ‘n’ prostokątów mamy:

DEFINICJA CAŁKI OZNACZONEJ

Zwiększając liczbę odcinków, na które dzielimy odcinek w nieskończoność otrzymujemy sumę nieskończoną (zwaną: “sumą całkową”):

Jeśli ta granica zbieżna jest zawsze do tej samej liczby, niezależnie od wyboru odcinków  (przy czym zakładamy, że długości tych odcinków dążą do zera wraz ze wzrostem ) i niezależnie od wyboru punktów , to liczba ta nazywa się całką oznaczoną w przedziale od a do b.

Zwróć uwagę na nieprzypadkowe podobieństwo oznaczeń:

oraz:

Całkowanie to nic innego jak sumowanie. Sumowanie wartości nieskończenie małych.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na istotne punkty definicji:

• Długość odcinków musi być nieskończenie mała, tzn. jeśli przez oznaczymy długość najdłuższego z nich dla danego n, to musi być: . Inaczej moglibyśmy obrać sobie na początku jakiś prostokąt na przykład i całą resztę obszaru podzielić na nieskończenie małe prostokąty. Mielibyśmy wtedy nieskończoną ilość prostokątów, ale nie mielibyśmy dokładnej wartości pola P.
• Podział odcinka na nieskończenie małe odcinki musi być całkowicie dowolny, tak samo jak wybór punktów i dla każdego takiego wyboru szereg musi sumować się do tej samej liczby. Jeżeli dla jednego wyboru odcinków i punktów wychodzi nam inna wartość sumy, niż dla wszystkich pozostałych ta suma nie jest całką oznaczoną.

Aby nabrać wprawy i zrozumienia definicji całki oznaczonej, na kolejnym wykładzie przejdziemy do przykładów na obliczanie całek oznaczonych z definicji.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij tutaj, aby przejść do kolejnego wykładu, poświęconego obliczaniu całek oznaczonych z definicji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach oznaczonych