Temat: Właściwości pochodnych. Wyprowadzenie właściwości pochodnych.
Streszczenie
Jak wiemy, istnieją reguły dotyczące obliczania pochodnej z dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i mnożenia funkcji:
Pozwalają one obliczać pochodne już z bardziej złożonych stworów matematycznych, takich jak:
Na tym wykładzie wyprowadzimy sobie wszystkie właściwości pochodnych, jedna po drugiej, z samej definicji pochodnej 🙂
1. – pochodna dodawania
Weźmy funkcję składającą się z sumy dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest sumie pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.
Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:
obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:
Wzór na mamy z założenia, zatem:
Pierwszy składnik to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy ), a drugi składnik to pochodna funkcji g w punkcie x z definicji. Założyliśmy, że obie te pochodne istnieją, zatem można zapisać, że:
Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.
2. – pochodna odejmowania
Weźmy funkcję składającą się z różnicy dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest różnicy pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.
Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:
obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:
Wzór na mamy z założenia, zatem:
Pierwszy składnik to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy ), a drugi składnik to pochodna funkcji g w punkcie x z definicji. Założyliśmy, że obie te pochodne istnieją, zatem można zapisać, że:
Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.
Uogólnienie własności 1. i 2.
Własności 1. i 2. można łatwo uogólnić na przypadek sumy/różnicy nie tylko dokładnie dwóch funkcji, ale sumę/różnicę dowolnej ‘n’ liczby funkcji:
Postępujemy analogicznie, jak dowodząc przypadku dwóch zmiennych, bralibyśmy:
3. – wyłączanie stałej przed nawias
Weźmy funkcję składającą się ze stałej przemnożonej przez inną funkcję: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest stałej c przemnożonej przez funkcję f. Zakładamy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x.
Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:
obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:
Wzór na mamy z założenia, zatem:
Ułamek w wyrażeniu to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy ). Założyliśmy, że ta pochodne istnieje, zatem można zapisać, że:
Własność jest więc udowodniona.
4. – pochodna z mnożenia
Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest pochodnej z funkcji f pomnożonej przez funkcję g plus funkcja f przemnożona przez funkcję g . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.
Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:
W dowodzie tej własności dogodnie będzie przyjąć trochę inne oznaczenia, niż stosowaliśmy do tej pory – dla czytelności zapisu. Jest to zarazem świetny test dla Ciebie – czy rozumiesz rzeczywiście o co chodzi z tą definicją pochodnej, czy tylko skułeś wzorek na pamięć i umiesz do niego podstawić.
We definicji pochodnej z funkcji u mamy wyrażenie: . Zauważmy, że TO SAMO (wartość funkcji u w punkcie x powiększonym o przyrost można zapisać INACZEJ:
– czyli jako wartość funkcji u w punkcie x powiększonej o pewien przyrost wartości funkcji u.
ZATRZYMAJ SIĘ TUTAJ – JEŚLI TEGO NIE ZROZUMIESZ NIE IDŹ DALEJ 🙂
Wiemy, że jeśli z założenia , to:
Korzystając z naszych zmienionych oznaczeń (można je zastosować także do funkcji f i funkcji g):
Z założenia – korzystam z tego po lewej stronie, a po prawej stronie przemnażam nawiasy i mam:
Po skróceniu:
Zauważmy teraz, że wracając do naszej pochodnej, którą mamy policzyć z definicji:
Wyrażenie w liczniku: jest to dokładnie nasz przyrost wartości , bo przyrost wartości to wartość w punkcie powiększonym o przyrost pomniejszona o wartość w punkcie “wyjściowym”. Również konieczne jest tutaj, żebyś się zatrzymał, ewentualnie wrócił do definicji pochodnej, żeby zrozumieć, dlaczego:
I w konsekwencji:
policzyliśmy parę linijek wyżej:
Czyli:
Przyrosty wartości funkcji f i funkcji g równe są odpowiednio (zgodnie z naszymi oznaczeniami):
Mamy zatem granicę:
Zauważmy, że w pierwszych dwóch składnikach mamy pochodne funkcji f i g z definicji (założyliśmy, że istnieją) – a co z trzecim składnikiem? Rozpiszmy go trochę na boczku:
Mamy więc pochodną funkcji f w punkcie x (jakąś wartość) pomnożoną przez coś dążącego do zera (przyrost wartości g dąży oczywiście do zera przy ), czyli całość zbiega do zera.
Trzeci składnik więc w wyrażeniu:
…zbiega do zera i mamy:
…czego należało dowieść.
5. – pochodna z dzielenia
Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest funkcji jak we wzorze . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, oraz, że funkcja g jest przyjmuje wartość różną od zera w punkcie, w którym liczymy pochodną.
Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:
Mamy:
Przechodząc na inne oznaczenia, stosowane w wykazywaniu wzoru na pochodną z mnożenia:
A jak wiemy z punktu 4. można zapisać:
Składniki w nawiasie to pochodne funkcji f i g z w punkcie x z definicji. przy , mamy zatem wzór:
Korzystamy z plików cookies w celu dostosowania jej treści, jeśli będziesz na nią wracał; stosowania narzędzi analitycznych (Google Analytics, Crazyegg); marketingowych (Google Ads, Facebook Ads); widgetów matematycznych (Wolfram|Alpha) oraz embedowania treści ze stron zewnętrznych (YouTube, Vimeo). Cookies funkcjonują przez okres do 24 miesięcy, chyba że wcześniej je wyczyścisz. Dostęp do cookies mają podmioty trzecie wskazane w nawiasach. Poprzez kliknięcie “Zaakceptuj wszystkie”, wyrażasz zgodę na użycie WSZYSTKICH ciasteczek. Możesz też dostosować swoje zgody modyfikując Ustawienia. Czytaj więcej
Używamy ciasteczek, aby ulepszyć funkcjonowanie strony eTrapez. Podzieliliśmy te ciasteczka na kategorie. Niektóre z nich uznaliśmy za "niezbędne". Przechowujemy je w Twojej przeglądarce, ponieważ zapewniają podstawowe funkcjonalności strony. Inne ciasteczka uznaliśmy za mniej ważne i przechowujemy je w Twojej przeglądarce tylko za Twoją zgodą. Masz możliwość zablokowania tych ciasteczek.
Ponadto, oprócz naszych własnych, wewnętrznych ciasteczek, używamy także ciasteczek zewnętrznych firm, takich jak Facebook, Google, Vimeo.
Niezbędne ciasteczka są potrzebne do podstawowego działania strony. Zapewniają najbardziej kluczowe funkcjonalności, zabezpieczenia i zgodność z wymogami prawnymi.
Wszystkie inne ciasteczka, które nie są niezbędne do funkcjonowania strony, w szczególności zbierające dane osobiste do celów analitycznych, reklamowych i innych. Wymagają zgody użytkownika strony internetowej.
Ciasteczka statystyczne są używane do badania tego, jak użytkownicy zachowują się na stronie internetowej. Pomagają dostarczać informacje o wskaźnikach takich jak liczba odwiedzin na stronie, współczynnik odrzuceń, źródła odwiedzin itd.
Ciasteczka reklamowe są używane do celów marketingowych. Śledzą wizyty użytkowników na stronach internetowych i zbierają informacją o ich zachowaniach, aby docierać do nich z odpowiednimi reklamami.
Ciasteczka wydajnościowe używane są do zrozumienia i analizy kluczowych indeksów strony, takich jak szybkość wyświetlania treści, liczba wyświetleń video itp. Dzięki nim możemy poprawiać stronę tak, żeby korzystanie z niej było bardziej przyjazne dla użytkowników.
Ciasteczka funkcjonalne pomagają wykonywać określone funkcje, takie jak udostępnianie treści strony na platformach mediów społecznościowych, zbieranie opinii oraz inne funkcje stron trzecich.
Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej.
Jak się zabrać za udowadnianie nierówności?
Np.: Pokazać, że 2lnx1?