Квантори – але цього взагалі не було…
Добре, я не на 100% впевнений, чи взагалі квантори залишилися у середній школі після регулярних щорічних скорочень матеріалу. Мені навіть не дуже хочеться це перевіряти, бо навіщо себе нервувати.
Вони повинні ще бути у розширеному профілі. Справді повинні.
Добре, але кому це потрібно?
У більшості математичних визначень і теорем використовуються поняття такі як: „кожен” і „існує”.
Найчастіше в якихось складніших послідовностях, наприклад, „між кожними двома числами є безліч чисел” (це трохи напівформально і неточно насправді), або: „для кожного невід’ємного дійсного числа існує рівно один його корінь”, або: „існує щось-там-щось-там, що для кожного іншого-щось-там існує ще інше-щось-там-щось-там” (це математичне визначення ще-іншого-щось-там).
У університеті ти отримаєш цілу купу таких визначень і теорем, продиктованих швидко і послідовно на лекції, або – що гірше – написаних одразу на дошці у вигляді:
Було б добре (замість того, щоб піднімати руку і питати у Пана Професора, чи потрібно це „перемалювати”), щоб ти вже на початку вмів такі формули правильно читати. Ти міг би тоді відразу перейти до етапів „занурення” у визначення, кількох спостережень „як це працює” на конкретних прикладах тощо.
Загальний і специфічний квантор – познайомимося ближче
„кожен”, „для кожного” – це загальний квантор, позначається як: 
.
„існує”, „існує таке” – це специфічний квантор, позначається як: 
.
Я використовую і рекомендую саме такі знаки запису кванторів, бо вони точно не будуть плутатися один з одним.
– це перевернута велика літера A (від англійського „all” – кожен).
– це перевернута велика літера E (від англійського „exists” – існує).
Існують також інші позначення для кванторів: Λ („для кожного”) і V („існує”) – але ними займатися не буду, бо вони кожному плутаються.
Математичні формули, записані за допомогою кванторів
Найпростіші формули мають вигляд:
– читаємо: „для кожного x” (можна також записати: 
, але знову плутається, тому не буду цього робити)
– читаємо: „існує x”
Загалом, однак, формули є складнішими, наприклад:
– читаємо: „існує a, що є натуральним числом”, або: „існує таке a, яке належить до натуральних чисел”, або будь-який інший вираз українською мовою, що відображає суть справи, а саме:
1. Існує a
2. a є натуральним числом
Тут немає жодних „жорстких” мовних правил щодо того, яке має бути кожне слово і чи повинно бути „існує a”, чи повинно бути „існує таке a”.
Формули можна і найчастіше потрібно, поєднувати між собою, наприклад:
\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,\underset{n\in\mathbb{N}}{\mathop{\exists }}\,означає:
„для кожного x>4 існує таке n, яке належить до натуральних чисел”
Ми розуміємо під цим, що для кожного x>4 „знайдемо” n, яке належить до натуральних чисел, щоб для кожного такого x вибрати відповідне n. Квантори залишаються між собою у логічному зв’язку, це не дві незалежні формули, записані поруч одна з одною.
Більше того…
Порядок має значення
Така сама формула, як остання, тільки зі зміненим порядком кванторів:
\underset{n\in \mathbb{N} }{\mathop{\exists }}\,\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,…прочитаємо вже інакше:
„існує a, що є натуральним числом, що для x більше 4 …”
Ми розуміємо, що спочатку маємо якесь n (про яке знаємо, що воно існує) і тільки для цього встановленого n щось таке відбувається, що для всіх x>4 щось відбувається.
Приклад – відступ
Класичним прикладом є тут визначення рівномірної та точкової збіжності послідовності функцій, які відрізняються лише… порядком кванторів (трохи спростив ці визначення):
Точкова збіжність:
Рівномірна збіжність:
У визначенні рівномірної збіжності квантор, що був на початку точкової, опинився в кінці. Не заглиблюючись у подробиці, це змінює сенс всієї формули.
У точковій збіжності НАЙПЕРШЕ (читаємо зліва) брали якесь довільне x, потім, читаючи формулу, доходили до того, що для цього встановленого спочатку x відстані між значеннями функцій у послідовності та „граничною” функцією зменшуються до нескінченності.
У рівномірній збіжності НАЙПЕРШЕ стверджували, що відстань між значеннями відповідних функцій зменшується до нескінченності, а потім доходили до того, що таке відбувається для довільного x.
Запис визначень, теорем
Вміючи читати квантори, запис математичних визначень і теорем для нас вже відкритий. Наприклад:
\underset{x\in\mathbb{R}}{\mathоп{\forall }}\,{{x}^{2}}\ge 0Прочитаємо як: „Для кожного дійсного числа x, x у квадраті більше або дорівнює нулю”, або якось гарніше: „Кожне число x, піднесене до квадрату, не від’ємне” – я однозначно за те, щоб читати визначення і теореми якоюсь більш барвистою мовою.
Речення вище є ПРАВДИВИМ. У нас немає жодних проблем писати також і ХИБНІ речення:
\underset{a>0}{\mathop{\exists }}\,\underset{x>a}{\mathop{\forall }}\,\frac{a}{x}>1Або прочитали б: „Існує таке додатне число a, що для кожного числа x більше цього a, a поділене на x більше 1”, що є, звісно, ХИБОЮ (бо додатне число, поділене на більше за нього, ніколи не буде більше за 1, і немає такого числа).
А взявши зараз на розгляд визначення границі послідовності з попереднього посту:
Прочитаємо його так (додаючи трохи пояснень):
„Для довільного 
більшого за нуль знайдемо такий номер елемента послідовності 
, що для кожного елемента послідовності 
з номером більшим за відстань (модуль – це відстань) між цим елементом послідовності і межею 
буде меншою за ”
Можна також використати більш людську мову:
„Як би ми не встановили малу відстань на початку, знайдемо такий номер елемента послідовності, що всі наступні елементи цієї послідовності будуть ближче до межі , ніж встановлена на початку відстань ”
