Категорія: Визначені інтеграли

Скажімо, нам потрібно обчислити об’єм еліпсоїда: {x^2}/4+{y^2}/5+{z^2}/9=1. Це еліпсоїд, який перетинає осі x, y, z у координатах 2, \sqrt{5} і 3 відповідно.

Це не обертовий еліпсоїд, він не утворюється обертанням будь-якої кривої навколо будь-якої осі, тому ми не можемо використовувати стандартну формулу для об’єму обертового тіла. Треба шукати інший спосіб.

Дізнайтеся, як легко обчислити об’єм тіла обертання, використовуючи просту формулу з початкової школи. Відкрийте метод на прикладі обчислення об’єму кулі, що утворена обертанням кривої навколо осі, без складних інтегралів.

Визначені інтеграли можна обчислювати відносно змінної x або y, і іноді це навіть доцільно, якщо це зручніше. Це часто відіграє велику роль у застосуваннях інтегралів, таких як: обчислення площ ділянок, довжини дуг, об’єми та площі поверхонь обертових тіл. Часто у нас навіть немає вибору, адже умови завдання визначають, що крива обертається навколо осі OY, а не OX. Як це зробити?

Відкрийте, як ефективно змінювати межі інтегрування за допомогою підстановки в завданнях з визначеними інтегралами. Ця стаття детально пояснює процес зміни меж крок за кроком, використовуючи реальні приклади та формули для спрощення розуміння цієї ключової математичної техніки.