Категорія: Комплексні числа

Бувають такі дні, коли просто нічого не виходить. Також бувають такі приклади з комплексними числами, де нічого не йде. Відомі й зазубрені методи не допомагають.

Візьмемо, наприклад, таке невинне піднесення до степеня: (1+2i)^8. Йдучи протоптаною в багатьох прикладах стежкою, ти хочеш записати число 1+2i у тригонометричній формі і потім піднести до восьмого степеня за відповідною формулою. Але по дорозі натрапляєш на ускладнення… Подивись, яку хитрість я використовую.

Багато поліноміальних рівнянь четвертого ступеня можна перетворити на квадратні рівняння за допомогою відомого зі школи трюку з підстановкою. Це також чудово працює для поліномів у комплексних числах.

Дивіться, як перетворити ці рівняння на рівняння нижчого ступеня.

При обчисленні квадратних коренів у декартовій (або: алгебраїчній) формі в моєму Курсі Комплексних Чисел я показав метод, що полягає в додаванні третього рівняння до вже існуючої системи з двох рівнянь, що в результаті значно спрощувало і скорочувало подальші обчислення.

Я показав цей метод, але ніяк його не обґрунтував. І нещодавно я отримав листа з цього приводу:

“Чи могли б Ви пояснити, чому ми можемо використовувати метод додавання третього рівняння при обчисленні квадратного кореня з комплексного числа?” Тож пояснюю.

Комплексні числа в цілому не є складною і важкою темою. Однак ситуація може ускладнитися в нетипових і менш шаблонних ситуаціях. Ключем тоді – як завжди – є розуміння теми і “холодна голова”, тобто ясність розуму і впевненість у собі.

Розв’язуючи задачі з комплексними числами, треба мати на увазі, що комплексне число в тригонометричній формі має свою типову форму. І тільки таку. Ні більше, ні менше. Отже, потрібно звернути увагу на те, коли комплексне число є в тригонометричній формі, а коли ні.