Випускники запитують, eTrapez відповідає. Виведення формули висоти в прямокутному трикутнику.

Цей пост присвячений фрагменту завдання на ЗНО, яке надіслав мені електронною поштою один випускник. Проте варто з цікавості подивитися і більше ніколи не казати, що математика в університеті важча, ніж розширена в школі.

🙂

Частина Завдання

Маємо таку ситуацію:

Зображення до завдання

Необхідно показати, що виділений червоним відрізок має довжину . Це, звичайно, лише маленький фрагмент усього завдання. Вгадайте, про що це? Про послідовності, звісно 🙂

Отже, тут можна скористатися часто використовуваною в задачах на висоту прямокутного трикутника хитрістю, яка полягає в застосуванні подібних трикутників, улюблених усіма випускниками.

1. Трикутники (найменший) і (найбільший, вписаний у коло) подібні (вони мають 2 однакові кути: прямий і <DAC, тобто третій кут також однаковий, отже, ми маємо подібність за двома кутами). Трикутники (середній) і (найбільший знову) також подібні (вони мають 2 однакові кути: прямий і <CBD, тобто третій кут також однаковий, тобто ми знову маємо подібність за двома кутами). Якщо трикутники і подібні до , то вони також подібні один до одного, і ось що ми помічаємо:

подібний до

2. Якщо ці трикутники подібні, то співвідношення ВІДПОВІДНИХ сторін будуть рівні. Звичайно, ми вибираємо співвідношення, що містять червоний відрізок, довжину якого позначимо як .

У трикутнику співвідношення НАЙКОРОТШОЇ сторони до СЕРЕДНЬОЇ буде рівним:

У трикутнику співвідношення НАЙКОРОТШОЇ сторони до СЕРЕДНЬОЇ буде рівним:

Оскільки трикутники подібні, то існує рівність:

3. З цієї рівності визначаємо h, тобто довжину червоного відрізка. Перемножуємо хрест-навхрест, як це було в пропорціях, і отримуємо:

Тобто:

Тобто це те, що нам потрібно було показати на початку. БІНГО.

Висновок такий: при визначенні висоти в прямокутному трикутнику (той, що опускається на гіпотенузу звичайно), часто потрібно користуватися подібністю трикутників, як показано вище.

І ще один висновок: розширена математика в школі могла бути дійсно складною. Тільки в університеті ми можемо зітхнути з полегшенням 🙂

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Leave a Reply

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Ваш коментар буде доступний публічно на нашому сайті разом з вищезазначеним підписом. Ви можете змінити або видалити свій коментар в будь-який час. Адміністратором особистих даних, наданих у цій формі, є eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Правила обробки даних та ваші пов'язані з ними права описані в Політиці конфіденційності.