Чому графік функції не може мати дві косі асимптоти, коли x прямує до плюс нескінченності?

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.

Для відповіді на питання, поставлене в заголовку, нам не потрібно звертатися до визначення косої асимптоти, достатньо знати, що таке функція.

Як часто буває в математиці, уявимо собі, що графік функції МАЄ дві різні косі асимптоти при і покажемо, що, приймаючи це припущення, ми неодмінно дійдемо до суперечності, отже, це припущення не можна прийняти.

Графік

На графіку ці асимптоти могли б виглядати приблизно так:

І графік функції повинен наближатися до цих асимптот при , отже, виглядатиме наступним чином:

І що? Може так бути? Чи може графік функції виглядати таким чином? Чи все ж у нас тут є проблема?

Проблема

Звичайно, у нас є проблема. Те, що показано вище, не може бути графіком функції. Звернімося до джерел, функція за визначенням – це відповідність, яка кожному аргументу x призначає точно одне значення y. Що випливає з нашого графіка?

З нього можна прочитати, що, наприклад, аргументу відповідають два значення – і . А це не може бути у графіку функції, оскільки кожному аргументу x має відповідати тільки одне значення y.

Отже, функція не може мати двох різних косих асимптот при . Все міркування можна повторити відповідно для 🙂