Підстановка Ейлера другого роду

---

Підстановки Ейлера I роду (для a>0) – повторення

У попередньому пості:

Підстановки Ейлера I роду

ми розглядали інтеграли типу:

,

де a>0.

Ми також розв’язали приклад інтегралу, який відповідає цій умові, тобто

Але що, якщо в тричлені буде від’ємним (випадок, коли a=0 можна пропустити, бо тоді це не буде квадратний тричлен і інтеграл розв’язується через простіше підстановку ніж підстановку Ейлера)?

Тоді нам може допомогти (але не обов’язково…) другий тип підстановок Ейлера:

Підстановка Ейлера II роду (для c>0)

Маючи інтеграл типу:

,

де c>0, ми застосовуємо підстановку типу:

,

яку знову підносимо обидві сторони до квадрату, де цього разу члени з скорочуються і які потрібно ще поділити обидві сторони на , щоб вийти на лінійну залежність, з якої визначимо за допомогою змінної в послідовності:

Підставляємо це все в інтеграл:

і знову виходимо на раціональний інтеграл, який – повторюю – зазвичай є трудомістким.

Почнемо з прикладу.

Приклад

У квадратному тричлені дещо змінено порядок членів, але зрозуміло, що . Тобто не більше за (тому ми не будемо застосовувати перший тип підстановок Ейлера), але c>0 (тобто застосуємо другий тип).

Підставляємо:

Підносимо обидві сторони до квадрату:

Член 2 скорочується (так має бути):

і тепер те, чого не було в першому типі підстановок, ділимо обидві сторони на x:

Далі визначаємо x:

Маємо x визначене за допомогою змінної t. Тепер визначаємо . Спочатку мали підстановку:

вже визначене, тому просто підставляємо:

Залишається визначити тільки . Обчислимо це, взявши похідну від :

Маємо таке:

, все за допомогою змінної . Беремо інтеграл:

і підставляємо:

Беремось за очищення:

\int{\frac{-2\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}{\left( 1-2\sqrt{2}t \right)\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}dt} \int{\frac{-2}{1-2\sqrt{2}t}dt}=\left| \begin{matrix}&u=1-2\sqrt{2}t\\&du=-2\sqrt{2}dt\\&dt=\frac{du}{-2\sqrt{2}}\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{-2}{u}\frac{du}{-2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{du}{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C

Повертаємось до підстановки:

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C

Ще треба повернутися з t до x. Нашою підстановкою Ейлера було

xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}

Звідки

t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}

Тобто наше рішення це

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C

Що з іншими випадками?

Ми знаємо, що коли в інтегралі:

• a>0 – ми використовуємо перший тип підстановок
• c>0 – ми використовуємо другий тип підстановок

А що, якщо ні , ні не більші за нуль? Про це в наступному пості, де я розгляну третій тип підстановок Ейлера і покажу, що тема буде вичерпана, тобто для кожного типу інтегралів:

…ми виберемо одну з трьох видів підстановок.