![blog](https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2011/02/Wspolrzedne-eliptyczne-calki-podwojne.jpg)
Еліптичні координати (подвійні інтеграли)
![](https://blog.etrapez.pl/wp-content/wphb-cache/gravatar/c42/c426df57c11a4502eb4801a4fa1b556fx96.jpg)
Krystian Karczyński
Засновник та керівник сервісу eTrapez.
Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.
Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.
Бувають у житті такі ситуації, коли областю інтегрування в подвійній інтегралі є еліпс….
Що тоді робити?
Еліптичні координати
Елегантним методом вирішення часто є використання так званих еліптичних координат. Це щось на кшталт полярних координат, механізм дії дуже схожий, лише ви підставляєте різні речі для x та y і якобіан інший. Інтерпретація ‘r’ також інша. Отже, підсумовуючи, якщо ви вмієте переходити до полярних координат (а це зазвичай робиться, коли областю інтегрування є коло), то ви без труднощів зрозумієте еліптичні координати.
Отже, ми маємо інтеграл: і область інтегрування, обмежену еліпсом з центром у початку координат, рівняння якого:
. Давайте впевнимось, що справа від рівняння еліпса точно 1, добре? Якщо, наприклад, там 9, можна легко зробити 1, поділивши обидві частини рівняння на 9.
Область інтегрування, що малюється, виглядає так:
Що означають a і b, кожен бачить на рисунку. Потрібно бути уважним, бо якщо в знаменнику рівняння еліпса під є, наприклад, 9, то це означає, що
, очевидно чому, правда?
Отже, маючи таку “чисту” ситуацію, переходимо до еліптичних координат, підставляючи:
Значення змінних в еліптичних координатах
Кут означає те ж саме, що і в полярних координатах, а
Якобіан
Якобіан в еліптичних координатах дорівнює
Запам’ятавши якобіан, переходимо до інтегралу в еліптичних координатах:
де змінні
Просто візьміть і рахуйте.
Приклад
Обчисліть інтеграл
Згідно з наведеним вище планом, підставляємо:
Беремо область інтегрування:
І рахуємо інтеграл:
Що вже, звісно, є формальністю 🙂
Шукаєте репетитора з математики для університетського рівня або школи? А може вам потрібен курс, який підготує вас до вступних іспитів?
Ми - команда eTrapez. Ми вчимо математику ясно, просто і дуже детально - дістанемося навіть до найбільш відсторонених від знань.
Ми створили курси відео зрозумілою мовою для завантаження на комп'ютер, планшет або телефон. Вмикайте запис, дивіться і слухайте, як на репетиторстві. У будь-який час дня та ночі.