Візьмемо наступну межу послідовності:
У задачі ми відчуваємо, що потрібно використовувати формули суми послідовності (арифметичної або геометричної), але, на жаль, ця послідовність не є ані арифметичною, ані геометричною…
Що робити?
Потрібно робити це зовсім інакше. Кожний дріб розкласти на прості дроби. Це робиться досить інтенсивно при розв’язанні невизначених інтегралів для раціональних функцій. Ідея полягає в тому, щоб знайти такі сталі A та B, щоб…
Множимо обидві сторони наведеного рівняння на 
і отримуємо:
Далі:
Порівнюємо коефіцієнти поліномів з лівої та правої сторін (рівність поліномів – середня школа) і отримуємо систему рівнянь:
З другого рівняння: 
.
Підставляючи це в перше рівняння:
Маємо також 
.
Отже, будь-який дріб можна розкласти на:
Повертаючись до нашої межі послідовності та розкладаючи кожен дріб на прості дроби:
Скорочуючи частину складників, отримуємо:
І ця межа послідовності вже не виглядає страшною, звичайно:
P.S.
Багато цікавих прикладів меж послідовностей можна знайти в моєму відео курсі, присвяченому межам.
Related Posts
Корисні хитрощі у комплексних числах
Posted on
