![blog](https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2012/01/Podstawienia-Eulera-I-rodzaju.jpg)
Підстановки Ейлера першого роду
![](https://blog.etrapez.pl/wp-content/wphb-cache/gravatar/c42/c426df57c11a4502eb4801a4fa1b556fx96.jpg)
Krystian Karczyński
Засновник та керівник сервісу eTrapez.
Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.
Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.
Підстановки Ейлера – кому це потрібно?
Підстановки Ейлера у невизначених інтегралах це те, що вводять після раціональних інтегралів, тригонометричних інтегралів і інтегралів з коренями (або згідно з деякими класифікаціями: “ірраціональних інтегралів”). Це означає, що більшість студентів не матиме задоволення з ними зіткнутися, я також не включив їх до мого Курсу Невизначених Інтегралів.
Але є досить велика група студентів на математичних напрямках, або справді, справді “сильних” з математики, які мають зіткнутися з підстановками Ейлера, і тих (а також зацікавлених) запрошую. Обговорю всі три типи підстановок Ейлера (у цьому пості візьмуся за перший тип) і до кожного зроблю по одному прикладу.
Поїхали.
Які інтеграли розв’язуємо підстановками Ейлера?
Підстановками Ейлера ми розбиваємо інтеграли типу:
…тобто якісь довільні зв’язки
Підстановками Ейлера ми розбиваємо інтеграли, які не можна вирішити простіше, звісно. Наприклад, інтеграл:
Візьмімо ж інтеграл:
Бачимо, що ситуація серйозніша, справу не вирішать нам знайомі раніше підстановки
Потрібна нам нова зброя.
Підстановки Ейлера – I тип
Маючи інтеграл:
в якому ,
застосовуємо підстановку:
, підносимо обидві сторони до квадрату, члени
, виражені зв’язками t, підставляємо до вихідного інтегралу:
і маємо інтеграл змінної t (якщо у ньому залишились якісь x-и, то ми допустили помилку) і це раціональний інтеграл.
Увага
Варто ще додати, що на практиці багато студентів знайомі тільки з підстановками Ейлера I типу і тільки до інтегралів типу:
, тобто таких, в яких якби
Пройдімося по підстановках Ейлера I типу на прикладі:
Приклад 1Встановлюємо, що це інтеграл, у якому є зв’язок (
Отже, ми будемо використовувати підстановку Ейлера I типу.
Здійснюємо підстановку:
тобто просто:
підносимо обидві сторони до квадрату:
Члени з
І тепер саме час визначити
Почнемо з
Маємо
Повертаємося до нашого першого підстановки, де було:
Тепер ми вже знаємо
тобто:
Таким чином, маємо
В кінці
І таким чином ми визначаємо
Вставляємо це все до вихідного інтегралу:
На перший погляд, це здається нудним, клопітким, але вже знаним і схематичним раціональним інтегралом (розклад на прості дроби, другий множник у знаменнику можна розкласти ще більше). Зазвичай так воно і є, але в цьому конкретному прикладі ми матимемо трохи щастя, і пробиватися через 3 сторінки розрахунків A4 нам буде заощаджено:
Як повернутися до підстановки? Ми мали на початку:
Звідси, звичайно:
Отже, наш результат:
Продовження слідує. (ми ще маємо два типи підстановок Ейлера, що якщо коефіцієнт
Шукаєте репетитора з математики для університетського рівня або школи? А може вам потрібен курс, який підготує вас до вступних іспитів?
Ми - команда eTrapez. Ми вчимо математику ясно, просто і дуже детально - дістанемося навіть до найбільш відсторонених від знань.
Ми створили курси відео зрозумілою мовою для завантаження на комп'ютер, планшет або телефон. Вмикайте запис, дивіться і слухайте, як на репетиторстві. У будь-який час дня та ночі.