Ekstrema Funkcji Wykład 6
Temat: Twierdzenie Fermata. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
Streszczenie
Do badania zachowania się funkcji często wykorzystuje się jej pochodną
Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie)Niech funkcja |
Innymi słowy: jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie i ma pochodną w tym punkcie to na pewno, na pewno, na pewno pochodna z funkcji w tym punkcie równa jest zero.
Zwróćmy od razu uwagę (wrócimy do sprawy później), że twierdzenie Fermata nie zachodzi jakby “w drugą stronę”, to znaczy, z tego, że pochodna z funkcji w punkcie równa jest zero nie wynika, że w tym punkcie funkcja osiąga ekstremum.
Czyli jeszcze raz (upraszczając): jeśli mamy ekstremum, to mamy pochodną równą zero.
Aby dowieść Twierdzenie Fermata wprowadzę i udowodnię wcześniej lemat (o monotoniczności funkcji w zależności od jej pochodnej), który przydaje się nie tylko do tego dowodu:
Lemat o monotoniczności funkcjiNiech funkcja Jeśli pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość dodatnią, to funkcja Jeśli pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość ujemną, to funkcja |
Lemat ogólnie wyraża znaną i stosowaną zależność między zachowaniem się funkcji i jej pochodnej w punkcie.
Na przykład weźmy funkcję
Lemat jest także doskonale “wyczuwalny” intuicyjne: skoro pochodna w punkcie wyraża przyrost wartości dla nieskończenie małego przyrostu argumentów, to jeśli wartość pochodnej będzie dodatnia, to przyrost tych wartości musi być też dodatni (funkcja musi “wzrosnąć”) i na odwrót – funkcja jest rosnąca.
Jeśli pochodna będzie ujemna, wartości musiały “zmaleć” – funkcja będzie malejąca.
Zabierzemy się teraz za ścisły dowód lematu. Aby to zrobić, musimy przypomnieć sobie (ze szkoły średniej) z definicji, co to znaczy, że funkcja “jest rosnąca” w punkcie i co to znaczy, że funkcja “jest malejąca” w punkcie.
Definicja funkcji rosnącej w punkcieFunkcję ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Definicja funkcji malejącej w punkcieFunkcję ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Przyjrzyjmy się, jak “działa” te definicja funkcji rosnącej w punkcie na wykresie:
Wiedząc już, co to konkretnie znaczy “rosnąca w punkcie” i “malejąca w punkcie” możemy się zabierać za dowód lematu:
Dowód lematu o monotoniczności funkcji Dowód lematu jest prosty i opiera się wprost na definicji pochodnej funkcji w punkcie.Jeżeli z założenia pochodna funkcji w punkcie ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Jeżeli zaś, założymy, że przyrost argumentów …przez wartość ujemną uzyskamy (zmiana znaku): czyli: f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)A więc pokazałem, że w dostatecznie małym lewostronnym sąsiedztwie Wykazałem więc w ten sposób pierwszą część naszego lematu:
Jako że wykazane przeze mnie nierówności oznaczają nie mniej nie więcej, a to, że funkcja jest rosnąca w punkcie z definicji. Dowód drugiej części przebiegał by zupełnie analogicznie. KONIEC DOWODU LEMATU O MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI |
Mając udowodniony lemat o monotoniczności funkcji dowód Twierdzenia Fermata staje się dziecinnie prosty:
Dowód Twierdzenia FermataJeżeli (zgodnie z założeniami twierdzenia) funkcja 1. Jeżeli wartość tej pochodnej jest dodatnia ( f\left( {{x}_{0}} \right)>0) to zgodnie z lematem o monotoniczności funkcji funkcja w tym punkcie jest rosnąca. Jeśli funkcja w tym punkcie jest rosnąca, to nie może w tym punkcie osiągać ekstremum. Faktycznie – jeśli jej wartości są większe od wartości na lewo od Wartość pochodnej w punkcie 2. Jeżeli wartość tej pochodnej jest ujemna ( Jeśli funkcja w tym punkcie jest malejąca, to nie może w tym punkcie osiągać ekstremum. Faktycznie – jeśli jej wartości są mniejsze od wartości na lewo od Wartość pochodnej w punkcie 3. Skoro wartość pochodnej funkcji w punkcie nie może być ani dodatnia (1.), ani ujemna (2.), to musi koniecznie być równa 0, co należało wykazać. KONIEC DOWODU TWIERDZENIA FERMATA |
Twierdzenie Fermata jako warunek konieczny, ale nie wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie
Należy jeszcze raz podkreślić, że warunek konieczny istnienia ekstremum działa tak:
JEŻELI: Funkcja ma ekstremum w punkcie
WTEDY: Pochodna funkcji w punkcie
Nie działa on jednak tak:
JEŻELI: Pochodna funkcji w punkcie
WTEDY: Funkcja ma ekstremum w punkcie
To ważne. W praktyce oznacza to, że aby pokazać, że funkcja osiąga ekstremum w punkcie nie wystarczy sprawdzić, czy jej pochodna w tym punkcie równa jest zero.
Przykład
Weźmy funkcję
Widzimy więc, że samo Twierdzenie Fermata nie wystarczy nam do tego, aby ekstrema funkcji wyznaczać…
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, czym są ekstrema funkcji (poprzedni Wykład) <–
Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji
Wszędzie jest napisane Lemat zamiast Temat.Pozdrawiam 🙂
Lemat to twierdzenie pomocnicze. W tym wypadku błędu nie ma. Pozdrawiam 😉
Tak jest, gdy dzieciaki próbują nauczać MATEMATYKI WYŻSZEJ 🙂
Każdemu zdarza się drobny błąd. Akurat ten blog jest bardzo przydatny dla studentów i jeden mały błąd na tyle wykładów to coś normalnego. Profesorowie na mojej uczelni, którzy wykładają matematykę bardzo często robią błędy. Studenci myślący wyłapią te błędy i poprawią. A ten błąd to błąd klasyczny 😀 pozdrawiam
(zaznaczone na czerwono na osi OY) są większe od wartości funkcji w punkcie x0 (czylif(x0)>f(x))—-> czy nie powinno być na odwrót?, bo z rysunku co innego wynika. Pozdrawiam
W definicji funkcji rosnącej i malejącej jest chyba drobny błąd