fbpx

Twierdzenie Fermata. Warunek konieczny istnienia ekstremum.

 

Ekstrema Funkcji Wykład 6

 

Temat: Twierdzenie Fermata. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

 

Streszczenie

Do badania zachowania się funkcji [pmath]f(x)[/pmath] często wykorzystuje się jej pochodną [pmath]f{prime}(x)[/pmath]. Na wykładzie przedstawię i udowodnię twierdzenie Fermata, które określa konieczny warunek istnienia ekstremum funkcji w punkcie odwołując się do jej pochodnej. Pokażę także, że nie jest to warunek wystarczający – na przykładzie punktów z funkcji, w których jest on spełniony, a jednak ekstremów w nich nie ma…

Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie)

Niech funkcja [pmath]f(x)[/pmath] określona w pewnym przedziale [pmath]delim{[}{a,b}{]}[/pmath] osiąga w punkcie wewnętrznym [pmath]x_0[/pmath] tego przedziału ekstremum (maksimum lub minimum). Jeśli istnieje w tym punkcie pochodna skończona [pmath]f{prime}(x_0)[/pmath], to na pewno:

[pmath]f{prime}(x_0)=0[/pmath]

Innymi słowy: jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie i ma pochodną w tym punkcie to na pewno, na pewno, na pewno pochodna z funkcji w tym punkcie równa jest zero.

Zwróćmy od razu uwagę (wrócimy do sprawy później), że twierdzenie Fermata nie zachodzi jakby “w drugą stronę”, to znaczy, z tego, że pochodna z funkcji w punkcie równa jest zero nie wynika, że w tym punkcie funkcja osiąga ekstremum.

Czyli jeszcze raz (upraszczając): jeśli mamy ekstremum, to mamy pochodną równą zero.

Aby dowieść Twierdzenie Fermata wprowadzę i udowodnię wcześniej lemat (o monotoniczności funkcji w zależności od jej pochodnej), który przydaje się nie tylko do tego dowodu:

Lemat o monotoniczności funkcji

Niech funkcja [pmath]f(x)[/pmath] ma w punkcie [pmath]x_0[/pmath] pochodną skończoną:

Jeśli pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość dodatnią, to funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest w tym punkcie rosnąca.

Jeśli pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość ujemną, to funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest w tym punkcie malejąca.

Lemat ogólnie wyraża znaną i stosowaną zależność między zachowaniem się funkcji i jej pochodnej w punkcie.

Na przykład weźmy funkcję [pmath]f(x)=x^2[/pmath] i jej pochodną [pmath]f{prime}(x)=2x[/pmath]. Narysujmy ich wykresy jeden pod drugim:

Wykresy funkcji f(x)=x^2 i jej pochodnej f(x)=2xWidać, że funkcja [pmath]f(x)=x^2[/pmath] jest rosnąca/malejąca w tych samych przedziałach, co jej pochodna [pmath]f{prime}(x)=2x[/pmath] przyjmuje wartości większe/mniejsze od zera.

Lemat jest także doskonale “wyczuwalny” intuicyjne: skoro pochodna w punkcie wyraża przyrost wartości dla nieskończenie małego przyrostu argumentów, to jeśli wartość pochodnej będzie dodatnia, to przyrost tych wartości musi być też dodatni (funkcja musi “wzrosnąć”) i na odwrót – funkcja jest rosnąca.

Jeśli pochodna będzie ujemna, wartości musiały “zmaleć” – funkcja będzie malejąca.

Zabierzemy się teraz za ścisły dowód lematu. Aby to zrobić, musimy przypomnieć sobie (ze szkoły średniej) z definicji, co to znaczy, że funkcja “jest rosnąca” w punkcie i co to znaczy, że funkcja “jest malejąca” w punkcie.

Definicja funkcji rosnącej w punkcieFunkcję [pmath]f(x)[/pmath] nazywamy rosnącą w punkcie [pmath]x_0[/pmath], jeżeli istnieje takie prawostronne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath], w którym dla każdego x z tego otoczenia: f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( x \right) i istnieje takie lewostronne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath], w którym dla każdego x z tego otoczenia: [pmath]f(x)<f(x_0)[/pmath].
Definicja funkcji malejącej w punkcieFunkcję [pmath]f(x)[/pmath] nazywamy malejącą w punkcie [pmath]x_0[/pmath], jeżeli istnieje takie prawostronne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath], w którym dla każdego x z tego otoczenia: [pmath]f(x)<f(x_0)[/pmath] i istnieje takie lewostronne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath], w którym dla każdego x z tego otoczenia: f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( x \right).

Przyjrzyjmy się, jak “działa” te definicja funkcji rosnącej w punkcie na wykresie:

Funkcja rosnąca w punkcie x_0Na wykresie widać, że funkcja jest rosnąca w punkcie [pmath]x_0[/pmath]. Jest rosnąca, ponieważ istnieje otoczenie prawostronne punktu [pmath]x_0[/pmath] (na wykresie zaznaczono na czerwono na osi OX) i dla x-sów z tego otoczenia odpowiadające im wartości (zaznaczone na czerwono na osi OY) są większe od wartości funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] (czyli f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( x \right)), a także ponieważ istnieje otoczenie lewostronne punktu [pmath]x_0[/pmath] (na wykresie zaznaczono na niebiesko na osi OX) i dla x-sów z tego otoczenia odpowiadające im wartości (zaznaczone na niebiesko na osi OY) są mniejsze od wartości funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] (czyli [pmath]f(x)<f(x_0)[/pmath]).

Wiedząc już, co to konkretnie znaczy “rosnąca w punkcie” i “malejąca w punkcie” możemy się zabierać za dowód lematu:

Dowód lematu o monotoniczności funkcji
Dowód lematu jest prosty i opiera się wprost na definicji pochodnej funkcji w punkcie.Jeżeli z założenia pochodna funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] jest większa od zera ( {f}'\left( {{x}_{0}} \right)>0) i z definicji pochodna ta jest równa (wcześniejsze Wykład): [pmath]f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}[/pmath] oznacza to, że z założenia: \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}>0 Skoro zachodzi ta nierówność, oznacza to, że dla pewnych, dostatecznie małych [pmath]{Delta}x[/pmath] zachodzi: \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}>0 Jeżeli założymy sobie do tego, że [pmath]{Delta}x[/pmath] jest dodatnie (dąży do zera, ale jest dodatnie) i pomnożymy obie strony przez [pmath]{Delta}x[/pmath] otrzymamy: f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)>0Czyli:[pmath]f(x_0)<f(x_0+{Delta}x)[/pmath]A więc pokazałem, że dla pewnego prawostronnego sąsiedztwa [pmath]x_0[/pmath] (bo [pmath]{Delta}x[/pmath] było dodatnie, zatem [pmath]x_0[/pmath] zwiększyłem) wartości funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] są mniejsze od wartości funkcji dla x-sów z tego prawostronnego sąsiedztwa punkto [pmath]x_0[/pmath].

 

Jeżeli zaś, założymy, że przyrost argumentów [pmath]{Delta}x[/pmath] jest ujemny (ale dążący do zera), po przemnożeniu nierówności:

\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}>0

…przez wartość ujemną uzyskamy (zmiana znaku):

[pmath]f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)<0[/pmath]

czyli:

f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)

A więc pokazałem, że w dostatecznie małym lewostronnym sąsiedztwie [pmath]x_0[/pmath] ([pmath]x_0[/pmath] powiększone o ujemny przyrost [pmath]{Delta}x[/pmath] – a więc pomniejszone jednym słowem) wartości funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] są większe od wartości funkcji w tym sąsiedztwie.

Wykazałem więc w ten sposób pierwszą część naszego lematu:

Lemat o monotoniczności funkcji
Niech funkcja [pmath]f(x)[/pmath] ma w punkcie [pmath]x_0[/pmath] pochodną skończoną:

Jeśli pochodna w tym punkcie przyjmuje wartość dodatnią, to funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest w tym punkcie rosnąca.

Jako że wykazane przeze mnie nierówności oznaczają nie mniej nie więcej, a to, że funkcja jest rosnąca w punkcie z definicji.

Dowód drugiej części przebiegał by zupełnie analogicznie.

KONIEC DOWODU LEMATU O MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI

Mając udowodniony lemat o monotoniczności funkcji dowód Twierdzenia Fermata staje się dziecinnie prosty:

Dowód Twierdzenia Fermata

Jeżeli (zgodnie z założeniami twierdzenia) funkcja [pmath]f(x)[/pmath] osiąga w pewnym punkcie [pmath]x_0[/pmath] ekstremum i posiada w nim pochodną, to:

1. Jeżeli wartość tej pochodnej jest dodatnia ( f\left( {{x}_{0}} \right)>0) to zgodnie z lematem o monotoniczności funkcji funkcja w tym punkcie jest rosnąca.

Jeśli funkcja w tym punkcie jest rosnąca, to nie może w tym punkcie osiągać ekstremum. Faktycznie – jeśli jej wartości są większe od wartości na lewo od [pmath]x_0[/pmath] i mniejsze od wartości na prawo od [pmath]x_0[/pmath] – to na pewno nie istnieje żadne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath] w którym wartość funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] jest największa, albo najmniejsza – a tak zdefiniowaliśmy ekstrema funkcji na poprzednim wykładzie. Pisząc prościej: jeśli funkcja jest w punkcie rosnąca, to zawsze będzie od czegoś większa i od czegoś mniejsza, a zgodnie z definicją ekstremum powinna być zawsze większa (maksimum), albo zawsze mniejsza (minimum).

Wartość pochodnej w punkcie [pmath]x_0[/pmath] nie może być zatem dodatnia.

2. Jeżeli wartość tej pochodnej jest ujemna ([pmath]f{prime}(x_0)<0[/pmath]) to zgodnie z lematem o monotoniczności funkcji funkcja w tym punkcie jest malejąca.

Jeśli funkcja w tym punkcie jest malejąca, to nie może w tym punkcie osiągać ekstremum. Faktycznie – jeśli jej wartości są mniejsze od wartości na lewo od [pmath]x_0[/pmath] i większe od wartości na prawo od [pmath]x_0[/pmath] – to na pewno nie istnieje żadne otoczenie punktu [pmath]x_0[/pmath] w którym wartość funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] jest największa, albo najmniejsza – a tak zdefiniowaliśmy ekstrema funkcji na poprzednim wykładzie. Pisząc prościej: jeśli funkcja jest w punkcie malejąca, to zawsze będzie od czegoś większa i od czegoś mniejsza, a zgodnie z definicją ekstremum powinna być zawsze większa (maksimum), albo zawsze mniejsza (minimum).

Wartość pochodnej w punkcie [pmath]x_0[/pmath] nie może być zatem ujemna.

3. Skoro wartość pochodnej funkcji w punkcie nie może być ani dodatnia (1.), ani ujemna (2.), to musi koniecznie być równa 0, co należało wykazać.

KONIEC DOWODU TWIERDZENIA FERMATA

Twierdzenie Fermata jako warunek konieczny, ale nie wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie

Należy jeszcze raz podkreślić, że warunek konieczny istnienia ekstremum działa tak:

JEŻELI: Funkcja ma ekstremum w punkcie [pmath]x_0[/pmath] i pochodną w punkcie [pmath]x_0[/pmath]

WTEDY: Pochodna funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] równa jest 0

Nie działa on jednak tak:

JEŻELI: Pochodna funkcji w punkcie [pmath]x_0[/pmath] równa jest 0

WTEDY: Funkcja ma ekstremum w punkcie [pmath]x_0[/pmath]

To ważne. W praktyce oznacza to, że aby pokazać, że funkcja osiąga ekstremum w punkcie nie wystarczy sprawdzić, czy jej pochodna w tym punkcie równa jest zero.

Przykład

Weźmy funkcję [pmath]f(x)=x^3[/pmath]. Jej pochodna równa jest [pmath]f{prime}(x)=3x^2[/pmath]. Jej pochodna w punkcie [pmath]x_0=0[/pmath] jest jak najbardziej równa 0 (bo [pmath]f{prime}(0)=3*0^2=0[/pmath]), ale ekstremum, jak widzimy na wykresie tej funkcji ni ma…

Funkcja f(x)=x^3 - brak ekstremum w punkcie x_0=0Możliwe są różne inne akcje, na przykład funkcja [pmath]f(x)=delim{|}{x}{|}[/pmath] w punkcie [pmath]x_0[/pmath] w ogóle nie posiada pochodnej (pokazywałem na Wykładach z pochodnych) – a ekstremum ma jak najbardziej (można narysować i zobaczyć).

Widzimy więc, że samo Twierdzenie Fermata nie wystarczy nam do tego, aby ekstrema funkcji wyznaczać…

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

 

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, czym są ekstrema funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jakie warunki są wystarczające do istnienia ekstremum funkcji w punkcie (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Aga pisze:

    Wszędzie jest napisane Lemat zamiast Temat.Pozdrawiam 🙂

    1. Ola pisze:

      Lemat to twierdzenie pomocnicze. W tym wypadku błędu nie ma. Pozdrawiam 😉  

  2. Piotr pisze:

    Tak jest, gdy dzieciaki próbują nauczać MATEMATYKI WYŻSZEJ 🙂

    1. Bartosz pisze:

      Każdemu zdarza się drobny błąd. Akurat ten blog jest bardzo przydatny dla studentów i jeden mały błąd na tyle wykładów to coś normalnego. Profesorowie na mojej uczelni, którzy wykładają matematykę bardzo często robią błędy. Studenci myślący wyłapią te błędy i poprawią. A ten błąd to błąd klasyczny 😀 pozdrawiam

  3. Jakub Pytlik pisze:

    (zaznaczone na czerwono na osi OY) są większe od wartości funkcji w punkcie x0 (czylif(x0)>f(x))—-> czy nie powinno być na odwrót?, bo z rysunku co innego wynika. Pozdrawiam

  4. Andrzej pisze:

    W definicji funkcji rosnącej i malejącej jest chyba drobny błąd