Matematyka w szkole średniej. Podstawa programowa obowiązująca od matury 2023 – wersja OGÓLNA.

---

W roku szkolnym 2022/23 po raz pierwszy do egzaminu maturalnego przystąpią uczniowie, których objęła ostatnia reforma edukacji i ukończyli 8-letnią szkołę podstawową oraz ukończą 4- lub 5-letnią szkołę średnią. Zmiany nastąpiły nie tylko w systemie nauczania, ale również w egzaminie maturalnym – sposobie jego przeprowadzenia oraz obowiązujących treściach podstawy programowej.

Poniżej prezentujemy treść podstawy programowej z matematyki – wykaz wymagań szczegółowych obowiązujących uczniów kończących szkołę średnią po reformie. Jest to treść oryginalna, która będzie obowiązywać kolejne roczniki uczniów w najbliższych latach. Można by rzec, że są to wymogi obowiązujące w “idealnym” świecie. 🙂

Od roku 2025 egzamin maturalny w Formule 2023 będzie przeprowadzany na podstawie wymagań określonych w podstawie programowej kształcenia ogólnego, prezentowanego poniżej.

Należy jednak pamiętać, że w związku z pandemią COVID-19 oraz długą nauką zdalną, Ministerstwo Edukacji wprowadziło pewne ułatwienia w egzaminie maturalnym dla uczniów zdających egzamin w latach 2022/23 oraz 2023/24.

Zmiany w maturze 2023 i 2024 – co zostało usunięte do matury.

Poniższy spis zawiera treści podstawy programowej BEZ zmian i ograniczeń pandemicznych.

---

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I.  Liczby rzeczywiste.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2.  przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2;
3.  stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4.  stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5.  stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli    oraz    , to  , zaś gdy     i     , to  ;
6.  posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7.  stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu:  ,  ,  ;
8.  wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów;
9.  stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

II.  Wyrażenia algebraiczne.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  stosuje wzory skróconego mnożenia na:  ,  , , ,   ,    ,     ;
2.  dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3.  wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4.  rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu   ;
5.  znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;
6.  dzieli wielomian jednej zmiennej    przez dwumian postaci  ;
7.  mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
8.  dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:  ,   ,   .

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
2.  stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):  ,  ,  ,     ,   ;
3.  korzysta ze wzorów na:  ,  ,   .

III.  Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
2.  interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
3.  rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4.  rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5.  rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe;
6.  rozwiązuje równania wielomianowe postaci    dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
7.  rozwiązuje równania wymierne postaci  , gdzie wielomiany    i    są zapisane w postaci iloczynowej.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  rozwiązuje nierówności wielomianowe typu:  ,  ,  ,    dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
2.  rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż   ;
3.  stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
4.  rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż:  ,   ;
5.  analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

IV.  Układy równań.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2.  stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych;
3.  rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci    lub   .

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  rozwiązuje układy równań kwadratowych postaci   .

V.  Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2.  oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3.  odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4.  odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6.  wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
7.  szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8.  interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9.  wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10.  wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
11.  wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12.  na podstawie wykresu funkcji    szkicuje wykresy funkcji  ,  ,  ,   ;
13.  posługuje się funkcją   , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych;
14.  posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  na podstawie wykresu funkcji   rysuje wykres funkcji   ;
2.  posługuje się złożeniami funkcji;
3.  dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja    jest monotoniczna w przedziale   .

VI.  Ciągi.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2.  oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:
a)   ,
b)   .

3.  w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
4.  sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
5.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
6.  stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
7.  wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu  ,    oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach;
2.  rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

VII.  Trygonometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2.  znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;
3.  znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej;
4.  korzysta z wzorów  ,   ;
5.  stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta   ;
6.  oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
2.  posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
3.  wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
4.  stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
5.  korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
6.  rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach:  ,   .

VIII.  Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2.  rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3.  rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4.  korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5.  stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6.  stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7.  stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
8.  korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9.  wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10.  wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11.  stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;
12.  przeprowadza dowody geometryczne.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

IX.  Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2.  posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
3.  oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4.  posługuje się równaniem okręgu   ;
5.  oblicza odległość punktu od prostej;
6.  znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej;
7.  wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej;
2.  znajduje punkty wspólne dwóch okręgów;
3.  zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.

X.  Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2.  posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3.  rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4.  rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
5.  określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6.  oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
7.  wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
2.  wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.

XI.  Kombinatoryka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2.  zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:
a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;
2.  stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

XII.  Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2.  stosuje skalę centylową;
3.  oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
4.  oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
5.  oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach losowych i loteriach.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
2.  stosuje schemat Bernoulliego.

XIII.  Optymalizacja i rachunek różniczkowy.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1.  rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1.  oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
2.  stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego;
3.  stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;
4.  oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
5.  stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6.  rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

---

Źródło:

https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2023/podstawa_programowa/matematyka.pdf