blog

Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zależność wyrazów. Matura rozszerzona (także i podstawowa). [VIDEO]

Anna Zalewska

Absolwentka matematyki na Politechnice Śląskiej.
Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem. Trener i wykładowca na Uniwersytecie Śląskim Maturzystów przy Uniwersytecie Śląskim w Katowicach. Certyfikowany nauczyciel MathRiders.
Mieszka w Chorzowie. Jest ratownikiem wodnym i członkiem Zarządu Oddziału Miejskiego WOPR. Lubi piec ciasta, ciasteczka, torty i przygotowywać różne słodkości.


Oto fragment kolejnej – trzeciej lekcji NOWEGO, tworzącego się Kursu eTrapez skierowanego do maturzystów z matematyki – Matura Rozszerzona część 2.

Zadanie: “Trzy liczby, których suma jest równa 65, tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są jednocześnie pierwszym, trzecim i dziewiątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.”

Zadanie polecane również maturzystom z zakresu PODSTAWOWEGO – podobnego typu zadanie zdarza się często na maturze majowej jako zadanie otwarte. ?

Pokazuję jak się zabrać za tego typu zadanie. Najważniejsze to przyjęcie jednolitych oznaczeń, wykorzystując wzór ogólny ciągu. Sam zobacz:

Kurs Matura Rozszerzona Część 2 w obecnej chwili jest w trakcie przygotowywania. Docelowo będzie zawierał cztery lekcje z tematów: Funkcje, Rachunek Różniczkowy, Ciągi, Trygonometria.

Lekcja nr 5 „Funkcje” oraz Lekcja nr 6 „Rachunek Różniczkowy” są już gotowe. Właśnie pojawiła się na Akademii w ramach Abonamentu lekcja nr 7 “Ciągi”:

Lekcja 7 – Ciągi

P.S. Część 2 Kursu pojawi się w osobnej sprzedaży już niebawem (na początku kwietnia 2019 roku). Tymczasem warto zajrzeć do Części 1 Kursu Matura Rozszerzona! ?

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Dami pisze:

    W zadaniu 27 ostatniej próbnej matury Moim zdaniem zupełnie zbędny jest ów zawiły komentarz, że podana liczba jest podzielna przez 4 a wystarczyło tylko z iloczynu 2ab równoważnie napisać cztery drugie a x b i wówczas wiadomo, że taka liczba naturalnie jest podzielna przez 4. wszystko

    1. Anna Zalewska pisze:

      Rozumiem, że chodzi o maturę podstawową z Wydawnictwa Operon z listopada 2018.

      Nie uważam, aby ten komentarz był zawiły. Jasno tłumaczy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, ponieważ dokładnie jedna z tych liczb jest parzysta.

      Unikałabym raczej tworzenia ułamków w miejscu, gdzie mamy wykazać podzielność. Zapewne w tym przypadku byłoby to uznane za dobre rozwiązanie, ale przecież i tak sprowadza się to do tego, że trzeba w jakiś sposób – symbolicznie lub słownie, zapisać, że właśnie iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty, ponieważ dokładnie jedna z tych liczb jest parzysta. Nie można zostawić postaci 2 a b lub 4 over 2 a b bez dodatkowego komentarza, bo to nie jest kompletny dowód.

       

      Do tego proszę pamiętać, że nasze nagrania z rozwiązaniami zadań, czy to matur czy dowolnych innych zadań, mają na celu przedstawienie tematu tak, aby nawet słaby uczeń zrozumiał rozwiązanie od A do Z, a nie przedstawienie jak najszybszej drogi i jak najkrótszego zapisu.

      Mimo to, dziękuję za tę uwagę, bo przedstawia ona kolejną wersję rozwiązania :)b8/6a/62a481e9796ffaf00121b29155c5.png” alt=”B subscript 1 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 0 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»B«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»P«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />

      C subscript 1 equals fraction numerator partial differential f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 0 squared plus 2 times 0 squared times 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2

      A subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0

      B subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0

      C subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e

      Ponieważ P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses , a funkcja

      f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent jest parzysta, to

      A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

      B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

      C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

      Dalej liczymy hesjan:

      H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

      H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

      H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

      H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

      Ponieważ

      H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

      to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

      f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

      Ponieważ

      H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

      to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

       

      Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

      x squared plus y squared equals 1

      dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

      Odpowiedź:

      f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

      5b/4e/4a87bb1fa7976d920fd270009d4b.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»” />

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

       

      Macierz Hessego ma postać:

      H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

       

      H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

      M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

      M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

      Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

       

      H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

      M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

      Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

      Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

      Dla y equals x mamy:
       f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
      punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

      Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

       

      Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.