Bywają w życiu takie sytuacje, kiedy obszarem całkowania w całce podwójnej jest elipsa….
Co wtedy?
Współrzędne eliptyczne
Zgrabną metodą rozwiązania jest najczęściej zastosowanie tzw. współrzędnych eliptycznych. To coś takiego jak współrzędne biegunowe, mechanizm działania jest zupełnie podobny, tylko co innego podstawiasz za x i za y i inny jest jakobian. Interpretacja 'r’ także jest inna. No podsumowując, jeśli umiesz przechodzić na współrzędne biegunowe (a robi się to najczęściej kiedy obszarem całkowania jest koło) to bez trudu załapiesz też eliptyczne.
Mamy więc całkę: 
i obszar całkowania ograniczony elipsą o środku w początku układu współrzędnych, której równanie jest: 
. Niech tam po prawej stronie równania elipsy będzie na pewno 1-ka, dobra? Jakby była na przykład 9 możesz ją łatwo zrobić, dzieląc obie strony równania przez 9.
Obszar całkowania narysowany wygląda tak:
Co oznaczają a i b każdy widzi na rysunku. Trzeba uważać, bo jak w równaniu elipsy jest w mianowniku pod 
na przykład 9, to znaczy, że 
, wiadomo dlaczego, prawda?
No i teraz mając taką „czystą” sytuację przechodzimy na współrzędne eliptyczne, podstawiając:
Znaczenie zmiennych we współrzędnych eliptycznych
Kąt 
oznacza dokładnie to samo co we współrzędnych biegunowych, a 
dla odmiany co innego. W zadaniach podstawowych z elipsą daną ładnym równaniem przyjmuj po prostu, że zmienia się od zera do jeden (w bardziej skomplikowanych wstaw i do równania elipsy i wylicz górne ograniczenie r).
Jakobian
Jakobian we współrzędnych eliptycznych równy jest 
.
Pamiętając o jakobianie przechodzimy więc na całkę we współrzędnych eliptycznych:
gdzie zmienne i są ograniczone: w granicach od zera do jeden, a w zależności czy mówimy o całej elipsie, czy o połowie, czy o np. ćwiartce różnymi wartościami kąta – tak jak we współrzędnych biegunowych.
Tylko brać i liczyć.
Przykład
Oblicz całkę 
, gdzie D jest elipsą o równaniu: 
.
Zgodnie z powyższym schematem podstawiamy:
Bierzemy obszar całkowania:
I liczymy całeczkę:
Co już jest oczywiście formalnością 🙂
Co słychać ogólnie?
Co do spraw ogólnych, w tej chwili pracuję nad Kursem Całek Wielokrotnych, a w marcu będę pokazywał na blogu trochę fajnych narzędzi ułatwiających mocno pracę nad tymi całkami. Będą to na przykład bajerancki kalkulator online do całek podwójnych i fajny program do dwu i trzy wymiarowych wykresów funkcji.
Zachęcam więc do zaglądania na bloga i zapisywania na newsletter, pozdrawiam i sukcesów w bojach z całkami podwójnymi!
grusia
Czy ktoś mógłby mi pomóc z wyznaczeniem przedziału fi w takim przykładzie : {(x,y) należy do R^2, x^2 + y^2 <= 4x}? Wiem, że będzie to koło o środku (2,0) i promieniu 2, ale nie wiem jakie będzie fi. Czy może być od -\pi/2 do pi/2?
Wiktor
nie rozumiem tego mamy całkować po elipsie a całkujemy po kole o promieniu 1…. we współrzędnych biegunowych promień elipsy zależy od kąta i zmienia się od 0 do r=a*b/sqrt(a^2*sin^2(fi)+b^2*cos^2(fi)) ( jest jeszcze inna wersja tego wzoru z kwadratem mikośrodu http://pl.wikipedia.org/wiki/Elipsa
Grzesiek
a jak rozwiązać całkę potrójną, w której jedną 'płaszczyzną’ jest elipsa? Próbowałem rozwiązywać to przy pomocy współrzędnych walcowych, ale nie potrafię określić jak zmienia się promień…
Grzesiek
chodzi mi o to, czy też można na przykład przyjąć, że promień zmienia się w granicach od 0 do 1? dla równania 1=(x^2)/4 + y^2 ?
Mateusz
Mam w zadaniu obliczyć obj. bryły ograniczonej powierzchniami x^2/4 + y^2/9 + z = 1 oraz z=0. Wnioskuję, że mam policzyć połowę obj. tej elipsy. Zastanawia mnie tylko co mam zrobić z tym „z” w równaniu elipsy. Bardzo proszę o pomoc
Damian
A co wtedy gdy elipsa (obszar calkowania) jest „przesuniety” i jej srodek nie jest w poczatku uklady wspolrzednych? Jak wtedy beda zmienialy sie r i fi?
Darek
Możesz sobie podstawić (x’ = x – przesunięcie x) oraz (y’ = y – przesunięcie y) i postępować dalej jak wyżej, ale ze zmiennymi x’ i y’. Na koniec wystarczy podstawić z powrotem.