Kilka rzeczy, których powinieneś się dobrze nauczyć w średniej, ale nikt Ci tego nie powiedział – część 5 Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
W tym poście będę kontynuował tematykę zagadnień ze szkoły średniej, na które – być może – nie miałeś położonego zbyt wielkiego nacisku, a które bardzo ułatwią Ci życie na studia.
To już część 5 – jeśli wskoczyłeś tutaj dopiero teraz możesz zerknąć na 4 poprzednie posty 🙂
Tutaj zajmę się obustronnym mnożeniem i dzieleniem nierówności.
Dzielenie nierówności? A to już chyba wiem, o co chodzi…
No tak. Wszyscy już wiemy (chociaż czasami zapominamy) o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu/dzieleniu jej przez liczbę ujemną.
Na przykład:
/:(-2)
(zmienił się znak nierówności, bo podzieliłem obie strony przez liczbę ujemną)
albo:
/
(znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)
Co jednak z mnożeniem i dzieleniem nie przez LICZBĘ, tylko przez ZMIENNĄ, na przykład:
Możemy zrobić takie mnożenie i wyjść na:
…?
Prawidłowa odpowiedź to: NIE, NIE MOŻEMY.
Pamiętamy zasadę: “Jeśli mnożymy przez dodatnią nie zmieniamy znaku, jeśli mnożymy przez ujemną zmieniamy”. Mnożąc przez zmienną 
NIE WIEMY, czy mnożymy przez liczbę dodatnią, czy ujemną. Zmienna może być równa -100, a może być równa także 15. To, że nie ma przed nią znaku minus niczego nie zmienia (może być i tak ujemna).
Jeśli tego nie wiemy, nie możemy przechodzić na…
…bo na taką nierówność moglibyśmy wyjść tylko wtedy, kiedy mnożylibyśmy przez liczbę dodatnią (nie zmieniając znaku), a tego NIE WIEMY.
Analogiczna zasada obowiązuje w dzieleniu, nie możemy więc wykonać sobie czegoś takiego:
/:x
…bo, jeszcze raz powtórzmy: nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
Podsumowując więc
Nie dzielimy obustronnie nierówności przez zmienne.
I jeszcze….
Ciekawostka
Jeżeli – skądinąd – mielibyśmy informację, że zmienna (albo całe wyrażenie) przez które obustronnie chcemy pomnożyć/podzielić JEST zawsze dodatnie (albo ujemne) możemy sobie śmiało mnożyć/dzielić.
Na przykład jeśli dziedziną (o dziedzinie będzie jeszcze post powtórkowy później) jest zbiór liczb 
, to wiemy, że jest na pewno dodatni.
Wtedy MOŻEMY machnąć sobie…
/:x
…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę (wziąć z niego tylko 
.
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
@Bob Tak, oczywiście, poprawiłem i dziękuję za zwrócenie uwagi.
W tym miejscu jest błąd
albo:
zakładam że miał Pan na myśli –
na samym początku prawda ?
Na Pańskim kursie Liczb Zespolonych spotkałem się z obustronnym dzieleniem przez jednostkę urojoną “i”.
I tak zastanawiam się jak to jest z tym dzieleniem. Skoro i^2 to -1, a i = \sqrt(-1), to do końca nie wiadomo czy dzieląc przez “i” dzielimy przez liczbę ujemną, bo przecież pierwiastek z takowej w rzeczywistych nie istnieje ;).
No, ale jakbyśmy to sobie wszystko do kwadratu podnieśli (obie strony nierówności) i podzielili przez i^2 które przecież wynosi -1, to znak wypadałoby zmienić, prawda?
Z góry dziękuję za odpowiedź, kurs fajny 🙂
Cześć!
Dzięki za pytanie. Serio jest gdzieś tam dzielenie przez “i”? Może jest ale na pewno w RÓWNOŚCI, a nie w NIERÓWNOŚCI.
Mnożyć i dzielić równości przez liczby dodatnie, ujemne i takie, o których nie wiem, czy są dodatnie, czy ujemne można bez problemu (no chyba, że nie chcemy po takim pomnożeniu “zepsuć” wykresu funkcji po lewej stronie równania – jak pokazuję w moim Kursie Pochodnych).
Problem jest tylko z dzieleniem i mnożeniem nierówności, w których nie możemy np. podzielić przez ‘x’, gdy nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.
Z zespolonymi liczbami w ogóle nie bawimy się w nierówności – bo nie określamy liczb zespolonych nie-rzeczywistych jako “dodatnich”, albo “ujemnych”, albo “większych” albo “mniejszych” 🙂
O proszę.
Ma Pan całkowitą rację, ten ostatnie przykład z Lekcji 7 absolutnie nie powinien znaleźć się w Kursie, bo wyszła z niego nierówność zespolona…
Czyli cały przykład jest źle ułożony przeze mnie i nie da się go “rozwiązać”.
Wszystkie wcześniejsze nierówności są O.K., bo rachują na sprzężeniach, częściach rzeczywistych i urojonych – czyli liczbach rzeczywistych.
Przepraszam i bardzo dziękuję za świetne i trafne pytanie.
Tak, tak, zgadza się o to mi chodziło. Rozwiązanie nierówności x-1>0 to zbiór \left(1,+{\infty}\right), dziedzina to zbiór \left(0,+{\infty}\right), czyli rozwiązanie CAŁEJ nierówności to:
\left(1,+{\infty}\right) (część rozwiązania ostatniej nierówności i dziedziny)
…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę:
Mamy dwa warunki:
x>1 i x należy (0, nieskończoność) więc rozwiązaniem będzie zbiór x należy (1, nieskończoność)
To tak a propos ostatnich dwóch linijek…