“Sławne” asymptoty funkcji

 

Asymptoty Wykład 4

 

Temat: “Sławne” asymptoty funkcji

 

Streszczenie

Temat asymptot na studiach nie jest czymś zupełnie nowym. Wiele znanych od czasów szkoły średniej wykresów funkcji posiada asymptoty, które wyznaczać można nawet bez obliczania granic. Na wykładzie powtórzymy sobie kilka popularnych funkcji z asymptotami.

Asymptoty funkcji trygonometrycznych

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji f(x)=sinx:

Wykres funkcji sinus x

Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Jak myślisz, czy proste y=1 i y=-1 są równaniami asymptot wykresu?

Prawidłowa odpowiedź to: oczywiście NIE. Dlaczego?

Pozostając na gruncie intuicyjnego rozumienia asymptoty: miało być to “coś” do czego przybliża się coraz bardziej wykres funkcji. Na wykresie sinusa widać zaś, że wykres funkcji zamiast przybliżać się do prostej y=1/y=-1 rytmicznie się od niej oddala i znów przybliża.

A teraz będąc bardziej ścisłym, prosta y=a była równaniem asymptoty poziomej funkcji f(x), wtedy, gdy istniała granica:

{lim}under{x{right}{pm}{infty}}f(x)=a

W naszym zaś przypadku granica funkcji sinusx przy x{right}{infty}:

{lim}under{x{right}{pm}{infty}}sinx – nie istnieje.

Jasnym jest, że to samo tyczy się cosinusa x.

Asymptoty pionowe posiadają zaś funkcja tgx:

Wykres funkcji tangens x

Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Widać, że funkcja ta ma nawet nieskończenie wiele asymptot pionowych obustronnych o równaniach: x={pi}/2+k{pi}, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Przykładowe równania tych asymptot to więc: x={pi}/2,x=3/2{pi},x=-5/2{pi}

Jeżeli chcemy więc obliczyć równania asymptot pionowych funkcji tangens x, trzeba przyrównać jego argument do {pi}/2+k{pi} i rozwiązać równanie (wiąże się to oczywiście z wyznaczeniem dziedziny tangensa).

Przykład

Wyznacz równania asymptot funkcji y=tg(4x-{pi}/2)

Przyrównujemy argument tangensa do {pi}/2+k{pi}:

4x-{pi}/2={pi}/2+k{pi}

Przenosimy {pi}/2 na prawo:

4x={pi}/2+{pi}/2+k{pi}

4x=pi+k{pi}

Dzielimy obustronnie przez 4:

x={pi}/4+{pi}/4{k}

A powyższe to właśnie równania asymptot pionowych obustronnych, które mieliśmy wyznaczyć.

Asymptoty pionowe ma także funkcja ctgx:

Wykres funkcji kotangens x

Źródło: Wikipedia (licencja public domain)

Ich równaniami będą proste: x=k{pi}.

 

Asymptoty funkcji cyklometrycznych

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Oznaczamy je: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Skoro funkcje sinx i cosx nie posiadały asymptot, to raczej trudno, żeby odwrotne do nich je miały 🙂

Asymptoty poziome będzie miał natomiast wykres funkcji arctgx:

Wykres funkcji arctgxPrzy x{right}{+infty} asymptotą poziomą arcusa tangensa jest prosta: y={pi}/2,a przy x{right}{~-infty} prosta y=-{pi}/2

Asymptoty poziome będzie miał także wykres funkcji arcctgx:

Wykres funkcji arcctgxPrzy x{right}{~infty} równaniem asymptoty poziomej będzie prosta y=pi, a przy x{right}{+infty} będzie to prosta y=0.

Asymptoty funkcji wykładniczych

Przez “funkcję wykładniczą” rozumieć będziemy funkcję f(x)=a^x, gdzie a>0 i a\ne 1.

Jeżeli a>1 jej wykres będzie wyglądał w przybliżeniu tak:

Wykres funkcji wykładniczej przy a>1Ma on tylko jedną asymptotę poziomą: o równaniu y=0 przy x{right}{~-infty}.

Jeżeli zaś a<1 wykres przyjmie postać:

Wykres funkcji wykładniczej przy a<1Widać, że tym razem prosta y=0 jest równaniem asymptoty przy x{right}{+infty}

Asymptoty funkcji logarytmicznych

Funkcje logarytmiczne, o równaniach f(x)=log_a{x} dla a>0 i a\ne 1 – to funkcje odwrotne do wykładniczych, spodziewamy się więc asymptot pionowych i rzeczywiście, obojętnie który z dwóch rodzajów wykresu narysujemy (ich kształt zależy od a)…

Wykres funkcji logarytmicznej dla a>1

Wykres funkcji logarytmicznej dla a>1

Wykres funkcji logarytmicznej dla a<1

Wykres funkcji logarytmicznej dla a<1

Widać, że niezależnie od a prosta x=0 jest równaniem asymptoty pionowej  (ale tylko prawostronnej!).

 

Asymptoty funkcji homograficznych

Z funkcjami homograficznymi spotkaliśmy się w szkole średniej. Były to szczególne rodzaje funkcji wymiernych, postaci:

f(x)={ax+b}/{cx+d} – gdzie stałe a,b,c,d musiały spełniać pewne warunki, które w tej chwili sobie darujemy 🙂

Przy pomocy specjalnych przekształceń doprowadzało się tą funkcję do tzw. “postaci kanonicznej”:

f(x)={ax+b}/{cx+d}=...=A/{x-B}+C

Z której to od razu można odczytać było równanie asymptoty poziomej: y=C i asymptoty pionowej: x=B.

A na wykresie wyglądało by to tak:

Wykres funkcji homograficznej

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać asymptoty ukośne w funkcjach wymiernych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do określenia, czym są ekstrema funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Karolina pisze:

    Jakie asymptoty będzie maiła funkcjag(x)=1/tanx

  2. Dociekliwy pisze:

    Ile maksymalnie asymptot ukośnych bądź poziomych może mieć funkcja?

    1. Dociekliwy pisze:

      ok już wiem 2

  3. Szymon pisze:

    Panie Krystianie a czy wykres z log przy podstawi a = pi/3 bedzie rosnący czy malejący ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Rosnący, bo \pi /3jest większe od 1.

      Ale prawidłowo powinno się powiedzieć, że to FUNKCJA będzie rosnąca (a nie “wykres”).

  4. Adrian pisze:

    Witaj!
    Mam pytanie a właściwie problem z obliczeniem asymptot funkcji. Mam taką funkcję: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C\frac%7Bx%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D-1%7D

    Oczywiście dziedzina to <0;1) u (1;inf).

    I tu moje pytanie, skoro asymptoty liczymy na skraju funkcji, to czy w tym przypadku powinno się ją liczyć w punkcie 0, czy nie?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, oczywiście nie, asymptoty liczymy “na skraju”, czyli trzeba liczyć w punkcie 1.