“Sławne” asymptoty funkcji

Asymptoty Wykład 4

Temat: “Sławne” asymptoty funkcji

Streszczenie

Temat asymptot na studiach nie jest czymś zupełnie nowym. Wiele znanych od czasów szkoły średniej wykresów funkcji posiada asymptoty, które wyznaczać można nawet bez obliczania granic. Na wykładzie powtórzymy sobie kilka popularnych funkcji z asymptotami.

Asymptoty funkcji trygonometrycznych

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji  :

Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Jak myślisz, czy proste y=1 i y=-1 są równaniami asymptot wykresu?

Prawidłowa odpowiedź to: oczywiście NIE. Dlaczego?

Pozostając na gruncie intuicyjnego rozumienia asymptoty: miało być to “coś” do czego przybliża się coraz bardziej wykres funkcji. Na wykresie sinusa widać zaś, że wykres funkcji zamiast przybliżać się do prostej y=1/y=-1 rytmicznie się od niej oddala i znów przybliża.

A teraz będąc bardziej ścisłym, prosta y=a była równaniem asymptoty poziomej funkcji f(x), wtedy, gdy istniała granica:

W naszym zaś przypadku granica funkcji sinusx przy :

 – nie istnieje.

Jasnym jest, że to samo tyczy się cosinusa x.

Asymptoty pionowe posiadają zaś funkcja tgx:

Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Widać, że funkcja ta ma nawet nieskończenie wiele asymptot pionowych obustronnych o równaniach: , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Przykładowe równania tych asymptot to więc:

Jeżeli chcemy więc obliczyć równania asymptot pionowych funkcji tangens x, trzeba przyrównać jego argument do i rozwiązać równanie (wiąże się to oczywiście z wyznaczeniem dziedziny tangensa).

Przykład

Wyznacz równania asymptot funkcji

Przyrównujemy argument tangensa do :

Przenosimy na prawo:

Dzielimy obustronnie przez 4:

A powyższe to właśnie równania asymptot pionowych obustronnych, które mieliśmy wyznaczyć.

Asymptoty pionowe ma także funkcja ctgx:

Źródło: Wikipedia (licencja public domain)

Ich równaniami będą proste: .

Asymptoty funkcji cyklometrycznych

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Oznaczamy je: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Skoro funkcje sinx i cosx nie posiadały asymptot, to raczej trudno, żeby odwrotne do nich je miały 🙂

Asymptoty poziome będzie miał natomiast wykres funkcji arctgx:

Przy asymptotą poziomą arcusa tangensa jest prosta: ,a przy prosta .

Asymptoty poziome będzie miał także wykres funkcji arcctgx:

Przy równaniem asymptoty poziomej będzie prosta , a przy będzie to prosta .

Asymptoty funkcji wykładniczych

Przez “funkcję wykładniczą” rozumieć będziemy funkcję , gdzie a>0   i a\ne 1.

Jeżeli a>1 jej wykres będzie wyglądał w przybliżeniu tak:

Ma on tylko jedną asymptotę poziomą: o równaniu przy .

Jeżeli zaś a<1 wykres przyjmie postać:

Widać, że tym razem prosta jest równaniem asymptoty przy .

Asymptoty funkcji logarytmicznych

Funkcje logarytmiczne, o równaniach  dla a>0   i a\ne 1 – to funkcje odwrotne do wykładniczych, spodziewamy się więc asymptot pionowych i rzeczywiście, obojętnie który z dwóch rodzajów wykresu narysujemy (ich kształt zależy od a)…

Wykres funkcji logarytmicznej dla a>1

Wykres funkcji logarytmicznej dla a<1

Widać, że niezależnie od a prosta jest równaniem asymptoty pionowej  (ale tylko prawostronnej!).

Asymptoty funkcji homograficznych

Z funkcjami homograficznymi spotkaliśmy się w szkole średniej. Były to szczególne rodzaje funkcji wymiernych, postaci:

 – gdzie stałe a,b,c,d musiały spełniać pewne warunki, które w tej chwili sobie darujemy 🙂

Przy pomocy specjalnych przekształceń doprowadzało się tą funkcję do tzw. “postaci kanonicznej”:

Z której to od razu można odczytać było równanie asymptoty poziomej: i asymptoty pionowej: .

A na wykresie wyglądało by to tak:

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać asymptoty ukośne w funkcjach wymiernych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do określenia, czym są ekstrema funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji