Własności pochodnych

Wzory na pochodne

Temat: Właściwości pochodnych. Wyprowadzenie właściwości pochodnych.

Streszczenie

Jak wiemy, istnieją reguły dotyczące obliczania pochodnej z dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i mnożenia funkcji:

Pozwalają one obliczać pochodne już z bardziej złożonych stworów matematycznych, takich jak:

Na tym wykładzie wyprowadzimy sobie wszystkie właściwości pochodnych, jedna po drugiej, z samej definicji pochodnej 🙂

1. – pochodna dodawania

Weźmy funkcję składającą się z sumy dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest sumie pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:

Wzór na mamy z założenia, zatem:

Pierwszy składnik to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy ), a drugi składnik to pochodna funkcji g w punkcie x z definicji. Założyliśmy, że obie te pochodne istnieją, zatem można zapisać, że:

Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.

2. – pochodna odejmowania

Weźmy funkcję składającą się z różnicy dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest różnicy pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:

Wzór na mamy z założenia, zatem:

Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.

Uogólnienie własności 1. i 2.

Własności 1. i 2. można łatwo uogólnić na przypadek sumy/różnicy nie tylko dokładnie dwóch funkcji, ale sumę/różnicę dowolnej ‘n’ liczby funkcji:

Postępujemy analogicznie, jak dowodząc przypadku dwóch zmiennych, bralibyśmy:

3. – wyłączanie stałej przed nawias

Weźmy funkcję składającą się ze stałej przemnożonej przez inną funkcję: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest stałej c przemnożonej przez funkcję f. Zakładamy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): wszędzie w miejsce x-sa , czyli:

Wzór na mamy z założenia, zatem:

Ułamek w wyrażeniu to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy ). Założyliśmy, że ta pochodne istnieje, zatem można zapisać, że:

Własność jest więc udowodniona.

4. – pochodna z mnożenia

Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest pochodnej z funkcji f pomnożonej przez funkcję g plus funkcja f przemnożona przez funkcję g . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

W dowodzie tej własności dogodnie będzie przyjąć trochę inne oznaczenia, niż stosowaliśmy do tej pory – dla czytelności zapisu. Jest to zarazem świetny test dla Ciebie – czy rozumiesz rzeczywiście o co chodzi z tą definicją pochodnej, czy tylko skułeś wzorek na pamięć i umiesz do niego podstawić.

We definicji pochodnej z funkcji u mamy wyrażenie: . Zauważmy, że TO SAMO (wartość funkcji u w punkcie x powiększonym o przyrost można zapisać INACZEJ:

– czyli jako wartość funkcji u w punkcie x powiększonej o pewien przyrost wartości funkcji u.

ZATRZYMAJ SIĘ TUTAJ – JEŚLI TEGO NIE ZROZUMIESZ NIE IDŹ DALEJ 🙂

Wiemy, że jeśli z założenia , to:

Korzystając z naszych zmienionych oznaczeń (można je zastosować także do funkcji f i funkcji g):

Z założenia – korzystam z tego po lewej stronie, a po prawej stronie przemnażam nawiasy i mam:

Po skróceniu:

Zauważmy teraz, że wracając do naszej pochodnej, którą mamy policzyć z definicji:

Wyrażenie w liczniku: jest to dokładnie nasz przyrost wartości , bo przyrost wartości to wartość w punkcie powiększonym o przyrost pomniejszona o wartość w punkcie “wyjściowym”. Również konieczne jest tutaj, żebyś się zatrzymał, ewentualnie wrócił do definicji pochodnej, żeby zrozumieć, dlaczego:

I w konsekwencji:

policzyliśmy parę linijek wyżej:

Czyli:

Przyrosty wartości funkcji f i funkcji g równe są odpowiednio (zgodnie z naszymi oznaczeniami):

Mamy zatem granicę:

Zauważmy, że w pierwszych dwóch składnikach mamy pochodne funkcji f i g z definicji (założyliśmy, że istnieją) – a co z trzecim składnikiem? Rozpiszmy go trochę na boczku:

Mamy więc pochodną funkcji f w punkcie x (jakąś wartość) pomnożoną przez coś dążącego do zera (przyrost wartości g dąży oczywiście do zera przy ), czyli całość zbiega do zera.

Trzeci składnik więc w wyrażeniu:

…zbiega do zera i mamy:

…czego należało dowieść.

5. – pochodna z dzielenia

Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: . Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest funkcji jak we wzorze . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, oraz, że funkcja g jest przyjmuje wartość różną od zera w punkcie, w którym liczymy pochodną.