CZARNY WEEKEND dla matematyki!
Od piątku do poniedziałku obniżamy ceny na wszystkie produkty o 25 %

blog

Przebieg zmienności funkcji – typowe i wyjątkowe przypadki

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Podczas nagrywania Lekcji 7 mojego Kursu Pochodnych i Badania Przebiegu Zmienności Funkcji mocno uświadomiłem sobie pewną wskazówkę, która może pomóc Wam w nauce matematyki na studiach.

 

Typowe i wyjątkowe przypadki

Atakując na początku jakieś zagadnienie (na przykład właśnie tą monotoniczność) skup się mocno na zrobieniu kilku – kilkunastu przykładów typowych, standardowych i sztampowych, w przypadku zastosowań pochodnych do badania monotoniczności mogły by to być jakieś tam:

y=x^2+4x-1

y={x^2}/{x-1}

albo klasyk:

y=xe^x

Właściwie na początku powinieneś robić tylko takie przykłady. Na tym etapie oprzyj się pokusie próbowania odpowiadania sobie od razu na wszystkie możliwe wątpliwości i pytania, taki jak: “Co będzie, jak dziedzina pochodnej będzie różna od dziedziny funkcji?”, albo co będzie, kiedy pochodna nie będzie miała miejsc zerowych. Po prostu odłóż je na później.

Kiedy otrzaskasz się w temacie na prostych i standardowych przykładach, powoli komplikuj sobie życie wprowadzając przykłady trudniejsze i problemowe. A jeżeli z tego powodu “skończy Ci się czas” i będziesz musiał iść na kolokwium bez gruntownego przerobienia każdego możliwego przypadku, to i tak lepiej, żebyś tam poszedł z wiedzą pewną odnośnie standardów, niż niepewną i nieutrwaloną, ale teoretycznie “ogarniającą wszystko”.

Powodzenia z pochodnymi funkcji!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.

Mateusz Andrzejewski

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Skomentuj Jerzy Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Natalia pisze:

    A co z przykładem f(x)=(8-x^2)*(pierwiastek trzeciego stopnia z x^2)? Jak tutaj będzie wyglądać monotoniczność i ekstrema?

  2. Jerzy pisze:

    Zabawę z analizą matematyczną skończyłem w roku 1963. Obecnie będąc na emeryturze postanowiłem, korzystając z Pana świetnych wykładów i poglądowych filmów ,
    rozruszać szare komórki. A tu klops! Siedzę już trzeci wieczór i nie mogę sobie poradzić z wydawało by się prostą rzeczą.Chodzi o wyznaczenie ekstremum warunkowego funkcji wielu zmiennych. Może Pan byłby uprzejmy i pomógł mi rozwiązać to zadanie. A oto treść: wyznacz ekstremum warunkowe funkcji :

    f(x,y,z)=sin(x)sin(y)sin(z) przy warunku x+y+z = pi/2; x,y,z>0

    1. Kamil Pietruszewski pisze:

      Panie Jerzy, funkcja f to niestety funkcja nie jednej, ale trzech zmiennych. Znajdowanie ekstremow takich funkcji jest troszke inne, w szczegolnosci, gdy na funkcje nalozony jest dodatkowy warunek. Proponuje zerknac gdzies i poczytac o metodzie tzw. Mnożników Lagrange’a 🙂

  3. Marcin pisze:

    Witam, mam pytanie. Otóż , jak zbadać monotoniczność takiej funkcji (za pomocą pochodnych). f(x)=(x-2)^5 * (2x+1)^4 ..oraz określić kiedy jest rosnąca , a kiedy malejąca. Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, rozwiązuję ten przykład w tym filmiku, zapraszam:

  4. mania pisze:

    W kursie nie spotkałam się z podobnym przypadkiem, natomiast na egzaminie tak. W badaniu monotoniczności funkcji, dziedzina funkcji = R, natomiast dziedziną pochodnej to już tylko R dodatnie. Moje pytanie brzmi, czy kiedy piszę odpowiedź odnośnie monotoniczności funkcji, to uwzględnić w niej przedział od -nieskończoności do 0? Czy skoro nie ma go w pochodnej to znaczy , że funkcja pierwotna również nie rośnie, ani nie maleje w tym przedziale. Z góry dziękuję za szybka odpowiedź (jutro egzamin ). Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      O rety, a co to za funkcja?

    2. mania pisze:

      może coś pokręciłam jednak. x^2x

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Niestety, to jest dosyć wyjątkowa funkcja, jej dziedziną jest zbiór R dodatnie (już na starcie…). Ma to sens, bo inaczej np. dla x=-\frac{1}{4}mielibyśmy pierwiastek z liczby ujemnej.

      Niech Pani zerknie na opis tej funkcji w WolframAlpha:

      x^(2x)

      I na jej wykres:

      Wykres funkcji x^(2x)

  5. Michał pisze:

    Mam pytanie:
    W kursie pochodnych- badanie monotoniczności funkcji. Powiedział Pan, że nie można dzielić obie strony przez liczbę ujemną gdy szukaliśmy miejsc zerowych danej funkcji (czyli gdy przyrównujemy ją do zera). I moje pytanie jest- dlaczego? Pierwszy raz spotkałem się z taką informacją.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, to jest taki mój prywatny “patent”. Dla samego wyznaczenia miejsc zerowych funkcji dzielenie przez liczbę ujemną równości nie ma oczywiście żadnego znaczenia.
      Natomiast takie dzielenie może zmienić wygląd wykresu, a przecież miejsca zerowe liczymy tylko po to, żeby narysować przybliżony wykres.
      Na przykład:
      Mamy (teoretycznie) obliczoną pochodną {y}'={{x}^{2}}
      Wiemy oczywiście, że jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi do góry, pochodna jest dodatnia dla wszystkich xróżnych od 0, wniosek z tego taki, że funkcja ynie osiąga ekstremum w zerze (pochodna “nie zmienia” znaku).
      Jednak powiedzmy, że nie mamy o tym pojęcia i liczymy według sztywnego schematu z Kursu:

      Liczymy jej miejsca zerowe:
      {{x}^{2}}=0
      Podzielenie obu stron tego równania przez xoczywiście nie zmieni w żaden sposób miejsc zerowych pochodnej, jednak drastycznie zmieni jej wykres, bo dostaniemy:
      x=0
      Dalej stosując się do reguł z Kursu narysowalibyśmy przybliżony wykres, którym była by prosta, wyszła by nam pochodna zmieniająca znak w zerze i wszystko by się posypało.
      Dlatego właśnie w Kursie wprowadziłem tą ścisła i z kosmosu wziętą regułę nie dzielenia przez wartości, które mogą być ujemne (chociaż oczywiście nie zmienia to rozwiązań równania)

    2. Kamil pisze:

      A co w takim wypadku gdy podczas liczenia jest takie dzielenie przez ujemną? Konkretnie chodzi mi o zadanie 9 gdzie dochodzi się do momentu (x-1)^2*(x+5) / (x+1)^3

  6. Havret pisze:

    Właśnie tylko co się dzieje, kiedy “dziedzina pochodnej będzie różna od dziedziny funkcji”?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Trzeba kombinować 🙂

      Zasadniczo dziedzina pochodnej nie może być “szersza” od dziedziny funkcji, bo pochodną liczymy tylko tam, gdzie istnieje funkcja (ściślej: nie może być tak, że dziedzina pochodnej NIE zawiera się w dziedzinie funkcji). Jeśli więc dziedzina pochodnej wyjdzie pozornie “szersza” (na przykład funkcja y=lnx i jej pochodna), trzeba ją “zawęzić” (ściślej: wziąść część wspólną dziedziny pochodnej i jej funkcji). Wiedząc o tym, odpada nam połowa kłopotów.

      Pozostają jeszcze sytuacje takie jak na przykład w funkcji y=root{3}{x^2}, w których pochodna ma “dziurę” w punkcie 0, a funkcja jej nie ma. Wtedy trzeba pamiętać, że warunkiem istnienia ekstremum jest tylko zmiana monotoniczności funkcji, a nie jakieś istnienie pochodnej. Jeśli funkcja zmienia monotoniczność w zerze, tzn. jeśli na lewo od zera pochodna ma inny znak niż na prawo od zera (a tak jest w naszym przykładzie), to funkcja MA tam ekstremum, mimo, że w tym punkcie pochodna nie istnieje. Na wykresie ekstremum to wygląda jak “ostrze”.

    2. Matylda pisze:

      a co z warunkiem koniecznym na istnienie ekstremum ? przeciez pochodna funkcji musi byc rowna 0 aby istanialo ekstremum funkcji. prosze o szybka odpowiedz

    3. Krystian Karczyński pisze:

      To prawda, takie jest warunek konieczny istnienia ekstremum, ale tylko funkcji RÓŻNICZKOWALNYCH w danym punkcie, a nie w ogóle wszystkich.

      Jeżeli funkcja nie jest w ogóle różniczkowalna w danym punkcie, nie dotyczy się jej ten warunek.