Kalkulator do równań różniczkowych

Krystian Karczyński
5 sierpnia 2011
Comment 88

Przedstawiam kolejny z serii kalkulatorów, tym razem do równań różniczkowych (a propos nowo powstającego Kursu):

Jak używać kalkulatora?

Kalkulator jest gotowy do obliczeń, trzeba tylko wpisać do niego równanie (zgodnie z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych), kliknąc na 'Oblicz’ i mamy rozwiązanie. Jako pochodną funkcji y mozna wpisywać zarówno: y’, jak i: dy/dx .

Kalukatorek ma swoje ograniczenia, to znaczy na pewno nie rozwiąże każdego możliwego równania i bardzo uparcie (za bardzo) wyznacza rozwiązanie w postaci rozwikłanej (co to jest postać uwikłana i rozwikłana rozwiązania równania różniczkowego możesz dowiedzieć się z mojego Kursu Równań Różniczkowych, który powinien ukazać się już w przyszłym tygodniu).

Nie widać też toku rozwiązywania równania, ale i tak przyda się każdemu, kto chce sprawdzić wynik, albo po prostu szybko coś policzyć, co jest potrzebne do czegoś innego.

Z tymi wynikami też trzeba uważać, bo jak wiemy w równaniach różniczkowych na przykład: $1 minus C x$ i $1 plus C x$ to jedno i te same rozwiązanie równania różniczkowego (dlaczego? – zapraszam znowu do mojego Kursu). Bez paniki więc, jeśli to co mamy na kartce różni się z pozoru od tego, co nam wyszło w kalkulatorze. Ta sama uwaga zresztą tyczy się sprawdzania z odpowiedziami np. w książce.

Jeśli macie jakieś pytania odnośnie kalkulatora, nie wiecie, jak wpisać do niego jakieś równanie – wrzucajcie je śmiało w komentarzach 🙂

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Fragment powstającego Kursu Równań Różniczkowych (VIDEO)

Kurs Równań Różniczkowych – fragment 2 (VIDEO)

88 Comments

Dzień dobry dostałem taką zagadkę
1 lipca 2023 at 13:21

1+1=1

Reply
21 marca 2022 at 16:42

Czy mógłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem?

Rozwiąż równanie różniczkowe Riccatiego y’=y^2-xy-x wiedzac, że y=ax+b jest rozwiązaniem szczególnym.

Reply
Iga
13 czerwca 2021 at 09:49

Mam problem z poniższym przykładem, mogłabym prosić o pomoc z rozwiązaniem?

Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego: y’=(1-y^2)x, y(0)=3

Reply
Anna
12 maja 2021 at 14:32

Mogę prosić o pomoc przy rozwiązaniu przykładu:

y’=(cos2x – sin2x) y^3

Reply
10 maja 2021 at 11:49

1. x^2 * (dy/dx) + y – 1 =0 (rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)

2. y’ = (y/x) + 1 (rozwiązać równanie różniczkowe)

Bardzo prosiłbym o rozwiązanie tych przykładów z chociaż najprostszym wyjaśnieniem …. niestety nie zrozumiałem ich na wykładzie i teraz nie umiem nic ruszyć żadnego z nich :/

Reply
Energetyk98
20 kwietnia 2021 at 16:28

Na studiach inżynierskich udało mi się przy pomocy Pana kursów E trapez zaliczyć matematykę na wysokie oceny. Teraz po kilku latach przerwy od matematycznych przedmiotów sporo zapomniałem i mam problem z zadaniem na studiach magisterskich. Uprzejmie proszę o pomoc w poniższym zadaniu.

Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.
Korzystając z metody Eulera, wyznaczyć przybliżone rozwiązanie y'(t) następującego problemu wartości początkowej:

dy/dt=2(y-1); y(0)=3; t należy [0,2]

dla kroków czasowych: h=1/2; h=1/4; h=1/8; h=1/16; h=1/32

Następnie proszę rozwiązać powyższe równanie różniczkowe metodą zmiennych rozdzielonych.

Reply
Monia
20 kwietnia 2021 at 15:52

Rozwiąż równanie różniczkowe II rzędu:

y”=1-(y’)^2

Reply
1. Krystian
  22 kwietnia 2021 at 10:56
  
  Sposób rozwiązywania tego typu równań (drugiego rzędu sprowadzalne do pierwszego przez podstawienie) przedstawiłem w tej Lekcji.
  
  Pójdzie tak:
  
  $y double apostrophe equals 1 minus open parentheses y apostrophe close parentheses squared open parentheses y apostrophe close parentheses apostrophe equals 1 minus open parentheses y apostrophe close parentheses squared$
  
  Stosuję teraz podstawienie: $t equals y apostrophe$
  
  $t apostrophe equals 1 minus t squared$
  
  I dalej już ciurkiem metodą zmiennych rozdzielonych:
  
  $fraction numerator d t over denominator d x end fraction equals 1 minus t squared space divided by times d x space divided by colon open parentheses 1 minus t squared close parentheses fraction numerator begin display style d t end style over denominator begin display style 1 minus t squared end style end fraction equals d x space divided by integral integral space fraction numerator begin display style d t end style over denominator begin display style 1 minus t squared end style end fraction equals integral d x integral space fraction numerator begin display style d t end style over denominator begin display style negative open parentheses negative 1 plus t squared close parentheses end style end fraction equals x plus C subscript 1 minus integral space fraction numerator begin display style d t end style over denominator begin display style t squared minus 1 end style end fraction equals x plus C subscript 1 minus 1 half ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar equals x plus C subscript 1 space divided by times open parentheses negative 2 close parentheses ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar equals negative 2 x plus C subscript 1 open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar equals e to the power of negative 2 x plus C subscript 1 end exponent fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction equals C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent space divided by times open parentheses t plus 1 close parentheses t minus 1 equals C subscript 1 t e to the power of negative 2 x end exponent plus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent t minus C subscript 1 t e to the power of negative 2 x end exponent equals 1 plus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent t open parentheses 1 minus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses equals 1 plus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent t equals fraction numerator 1 plus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent over denominator 1 minus C subscript 1 e to the power of negative 2 x end exponent end fraction t equals fraction numerator 1 plus C subscript 1 over e to the power of 2 x end exponent over denominator 1 minus C subscript 1 over e to the power of 2 x end exponent end fraction t equals fraction numerator e to the power of 2 x end exponent over e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over e to the power of 2 x end exponent over denominator e to the power of 2 x end exponent over e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 over e to the power of 2 x end exponent end fraction t equals fraction numerator fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent end fraction over denominator fraction numerator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent end fraction end fraction t equals fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent end fraction times fraction numerator e to the power of 2 x end exponent over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction t equals fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction$
  
  Wracamy teraz do podstawienia:
  
  $y apostrophe equals fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction y apostrophe equals fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction space divided by integral y equals integral fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction d x$
  
  No i rozwiązujemy tą całeczkę:
  
  $integral fraction numerator e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 1 over denominator e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 end fraction d x equals integral fraction numerator open parentheses e to the power of x close parentheses squared plus C subscript 1 over denominator open parentheses e to the power of x close parentheses squared minus C subscript 1 end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals e to the power of x end cell row cell d t equals e to the power of x d x end cell row cell fraction numerator d t over denominator t end fraction equals d x end cell end table close vertical bar equals integral fraction numerator t squared plus C subscript 1 over denominator t squared minus C subscript 1 end fraction fraction numerator d t over denominator t end fraction equals equals integral fraction numerator t squared plus C subscript 1 over denominator t open parentheses t squared minus C subscript 1 close parentheses end fraction d t$
  
  Jest to całka wymierna:
  
  $integral fraction numerator t squared plus C subscript 1 over denominator t open parentheses t squared minus C subscript 1 close parentheses end fraction d t equals integral fraction numerator t squared plus C subscript 1 over denominator t open parentheses t minus square root of C subscript 1 end root close parentheses open parentheses t plus square root of C subscript 1 end root close parentheses end fraction d t equals... fraction numerator t squared plus C subscript 1 over denominator t open parentheses t minus square root of C subscript 1 end root close parentheses open parentheses t plus square root of C subscript 1 end root close parentheses end fraction equals A over t plus fraction numerator B over denominator t minus square root of C subscript 1 end root end fraction plus fraction numerator C over denominator t plus square root of C subscript 1 end root end fraction space divided by times t open parentheses t minus square root of C subscript 1 end root close parentheses open parentheses t plus square root of C subscript 1 end root close parentheses t squared plus C subscript 1 equals A open parentheses t minus square root of C subscript 1 end root close parentheses open parentheses t plus square root of C subscript 1 end root close parentheses plus B t open parentheses t plus square root of C subscript 1 end root close parentheses plus C t open parentheses t minus square root of C subscript 1 end root close parentheses t squared plus C subscript 1 equals A t squared minus A C subscript 1 plus B t squared plus B t square root of C subscript 1 end root plus C t squared minus C t square root of C subscript 1 end root open curly brackets table row cell 1 equals A plus B plus C end cell row cell 0 equals B square root of C subscript 1 end root minus C square root of C subscript 1 end root end cell row cell C subscript 1 equals negative A C subscript 1 space divided by colon C subscript 1 comma space z a ł. space C subscript 1 not equal to 0 end cell end table close 1 equals negative A A equals negative 1 open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 1 equals negative 1 plus B plus C end cell row cell 0 equals B square root of C subscript 1 end root minus C square root of C subscript 1 end root end cell end table close open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 equals B plus C end cell row cell C square root of C subscript 1 end root equals B square root of C subscript 1 end root space divided by colon square root of C subscript 1 end root end cell end table close B equals C 2 equals C plus C 2 C equals 2 C equals 1 B equals 1 ... equals integral open parentheses fraction numerator negative 1 over denominator t end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t minus square root of C subscript 1 end root end fraction plus fraction numerator 1 over denominator t plus square root of C subscript 1 end root end fraction close parentheses d t equals negative integral 1 over t d t plus integral fraction numerator 1 over denominator t minus square root of C subscript 1 end root end fraction d t plus plus integral fraction numerator 1 over denominator t plus square root of C subscript 1 end root end fraction d t equals negative ln open vertical bar t close vertical bar plus ln open vertical bar t minus square root of C subscript 1 end root close vertical bar plus ln open vertical bar t plus square root of C subscript 1 end root close vertical bar plus C subscript 2 equals equals negative ln open vertical bar e to the power of x close vertical bar plus ln open vertical bar e to the power of x minus square root of C subscript 1 end root close vertical bar plus ln open vertical bar e to the power of x plus square root of C subscript 1 end root close vertical bar plus C subscript 2 equals equals negative ln e to the power of x plus ln open vertical bar e to the power of x minus square root of C subscript 1 end root close vertical bar open vertical bar e to the power of x plus square root of C subscript 1 end root close vertical bar plus C subscript 2 equals negative x plus ln open vertical bar e to the power of 2 x end exponent minus C subscript 1 close vertical bar plus C subscript 2$
Krenig Kacper 1PBA 19
14 kwietnia 2021 at 16:12

y=−3(x+2)2−4

prosze o odpowiedź

Reply
1. Krystian
  14 kwietnia 2021 at 16:29
  
  A jakie jest pytanie?
Magda
12 stycznia 2019 at 12:15

mogę prosic o rozwiązanie?
Zadanie. Rozwiązać rownanie różniczkowe postaci y’=3×2-y , w przedziale od x=0 do x=2, warunek początkowy y(0)=-1, krok calkowania h=0,5. Użyć polepszoną metodę eulera. narysować wykres obliczonej funkcji.

Reply
Agata
29 sierpnia 2018 at 13:34

Czy mogłby mi ktoś pomóc z rozwiązaniem ?

y’-y=(x^2+ 2x + 1)e^x

Bardzo proszę ! 🙂

Reply
1. Krystian Karczyński
  6 września 2018 at 10:43
  
  Jasne.
  
  Stosując metodę „uzmienniania stałej”, pokazaną w Lekcji 3 mojego Kursu do równań różniczkowych, jadę tak:
  
  $y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x$
  
  Rozwiązuję najpierw odpowiadające temu równaniu równanie jednorodne:
  
  $y apostrophe minus y equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y space space space space divided by colon y space space divided by times d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals d x space space space divided by integral integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals integral d x ln open vertical bar y close vertical bar equals x plus C space space space space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln open vertical bar y close vertical bar end exponent equals e to the power of x plus C end exponent open vertical bar y close vertical bar equals e to the power of x times e to the power of C y equals C e to the power of x$
  
  Mam w ten sposób rozwiązanie równania jednorodnego. W rozwiązaniu tym „uzmienniam stałą” i wiem, że rozwiązanie będzie postaci:
  
  $y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of x$
  
  Liczę pochodną z tej postaci:
  
  $y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of x close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x$
  
  Wstawiam tą postać i jej pochodną do równania na samym początku, czyli do równania $y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x$ , i mam:
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by integral C open parentheses x close parentheses equals integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals integral x squared d x plus integral 2 x d x plus integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C$
  
  Czyli:
  
  $C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C$
  
  Moje rozwiązanie równania jest więc równe:
  
  Odp. $y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x$
  
  Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.
GalachadV (Edyta)
23 sierpnia 2018 at 21:43

Witam! W jakiej postaci należy przewidzieć rozwiązanie równania niejednorodnego różniczkowego: y” – 2y’ +10y = 6e^(x) sin (3x), równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne: y = C(1) e^(x) sin (3x) + C(2) e^(x) cos (3x). Będę wdzięczna za pomoc. Pozdrawiam Edyta (GalachadV)

Reply
1. Krystian Karczyński
  6 września 2018 at 10:25
  
  Witam!
  
  Zaglądamy do odpowiedniej tabelki i orientujemy się, że prawa strona równania pasuje nam do postaci:
  
  $W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent sin b x space plus space W I E L O M I A N times e to the power of a x end exponent cos b x$
  
  bo:
  
  $6 e to the power of x sin 3 x equals 6 times e to the power of 1 times x end exponent sin open parentheses 3 times x close parentheses plus 0 times e to the power of 1 times x end exponent cos open parentheses 3 times x close parentheses$
  
  $a comma b$ z tabelki równają się odpowiednio $a equals 1 comma space b equals 3$ , WIELOMIAN jest zerowego stopnia (stałe).
  
  Zgodnie z tabelką, przewidujemy więc rozwiązanie w postaci:
  
  $y subscript p equals A e to the power of x sin 3 x plus B e to the power of x cos 3 x$
  
  Nie jest to jednak prawidłowa odpowiedź! Tak jak pokazuję w moim Kursie do równań różniczkowych, trzeba tutaj zorientować się, że…
  
  Uwaga!
  
  Rozwiązanie w tej postaci przewidywanej zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego! ( $y subscript j equals C subscript 1 e to the power of x sin 3 x plus C subscript 2 e to the power of x cos 3 x$ , jaką literką oznaczymy stałą nie ma znaczenia)
  
  Co w tej sytuacji robimy?
  
  Ano zwiększamy o 1 stopnie wielomianów w postaci przewidywanej, uzyskując wielomiany pierwszego stopnia, czyli:
  
  $y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x$
  
  I to jest dopiero postać, w której przewidujemy rozwiązanie szczególne równania.
  
  Odp. $y subscript p equals open parentheses A x plus B close parentheses e to the power of x sin 3 x plus open parentheses C x plus D close parentheses e to the power of x cos 3 x$
  
  Ten i podobne „myki” związane z równaniami różniczkowymi II rzędu pokazuję w mojej Lekcji Video im poświęconej. Cały Kurs tutaj.
Łukasz
12 czerwca 2018 at 14:58

$integral fraction numerator square root of ln x end root over denominator x end fraction d x$ $integral open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x d x$ $integral open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses ln x d x$ tą chyba rozwiązałęm mam taki wynik = $fraction numerator 2 x squared plus 1 over denominator x end fraction minus 4 x plus C$ to jest ok?

Reply
1. Krystian Karczyński
  13 czerwca 2018 at 11:04
  
  Pierwsza pójdzie tak (metoda przez podstawienie):
  
  $integral fraction numerator square root of ln x end root over denominator x end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals ln x end cell row cell d t equals 1 over x d x end cell end table close vertical bar equals integral square root of t d t equals integral t to the power of begin inline style 1 half end style end exponent d t equals fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 half end fraction t to the power of 1 plus begin inline style 1 half end style end exponent plus C equals equals fraction numerator 1 over denominator 3 over 2 end fraction t to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C equals 2 over 3 t to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C equals fraction numerator begin display style 2 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction open parentheses ln x close parentheses to the power of begin inline style 3 over 2 end style end exponent plus C$
  
  Druga przez części:
  
  $integral open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals 3 x squared plus 5 x minus 1 end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 6 x plus 5 end cell cell v open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell end table close vertical bar equals equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus integral open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals 6 x plus 5 end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 6 end cell cell v open parentheses x close parentheses equals e to the power of x end cell end table close vertical bar equals equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus open square brackets open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x minus integral 6 e to the power of x d x close square brackets equals open parentheses 3 x squared plus 5 x minus 1 close parentheses e to the power of x minus open parentheses 6 x plus 5 close parentheses e to the power of x plus 6 integral e to the power of x d x equals equals 3 x squared e to the power of x plus 5 x e to the power of x minus e to the power of x minus 6 x e to the power of x minus 5 e to the power of x plus 6 e to the power of x plus C equals 3 x squared e to the power of x minus x e to the power of x plus C equals equals open parentheses 3 x squared minus x close parentheses e to the power of x plus C$
  
  Trzecia też przez części:
  
  $integral open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses ln x d x equals open vertical bar table row cell u open parentheses x close parentheses equals ln x end cell cell v apostrophe open parentheses x close parentheses equals 2 x squared plus 1 end cell row cell u apostrophe open parentheses x close parentheses equals 1 over x end cell cell v open parentheses x close parentheses equals 2 over 3 x cubed plus x end cell end table close vertical bar equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus integral 1 over x open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses d x equals equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus integral open parentheses 2 over 3 x squared plus 1 close parentheses d x equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus integral 2 over 3 x squared d x minus integral d x equals equals open parentheses 2 over 3 x cubed plus x close parentheses ln x minus 2 over 9 x cubed minus x plus C$
Paweł
22 maja 2018 at 19:39

a co jeśli mamy równanie i do tego warunki początkowe x0 ,y0=…….

Reply
Kasia
17 maja 2018 at 13:56

Dzień dobry, czy ktoś mógłby mi pomóc z rozwiązaniem równania różniczkowego: (y”)^2 =4y’ Byłabym wdzięczna za pomoc 🙂

Reply
eliza
17 maja 2018 at 10:24

Dzień dobry Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu następującego równaniady/dx=x/y* (1+x)/(1+y)

Reply
Kasia
16 maja 2018 at 12:39

Potrzebuję pomocy z równaniem różniczkowym II rzędu: y”- 2y’ +2y = [e^(2x)] +xy=yj + ypPoliczyłam yj= [e^(x)]*(C1cosx + C2sinx)Nie wiem jak policzyć yp, czy ktoś wie jak to rozwiązać?

Reply
1. Kasia
  16 maja 2018 at 12:45
  
  y”- 2y’ +2y = [e^(2x)] +x piszę jeszcze raz, bo pomimo spacji źle się zapisało
Kumori
18 kwietnia 2018 at 14:21

Dzień dobry! Czy ktoś jest w stanie pomóc mi z analitycznym rozwiązaniem krok po kroku równania:y’ + 3 y = 4 Sin4x, y(0)=1Z góry dziękuję!

Reply
Moniaa
3 marca 2018 at 13:45

Witam. Pomoże ktoś w rozwiązaniu układu dx/dt=y dy/dt=-x metodą różniczkowa?

Reply
Berner paulina
25 stycznia 2018 at 14:33

pomoze mi ktos rozwiazac zadanie ?x’=pod pierwiastkiem arctg(t) / t^2+1

Reply
haniasss
21 stycznia 2018 at 18:54

Potrzebuję pomocy z rozwiązaniem następującego zdania:y(3)+y’-10y=10e^x*sin2x

Reply
Dawid
8 grudnia 2017 at 13:55

y1=(1-y1-y2)y1 y’2=(a-y2-4a2y1)y2 a to jak zapisać ?

Reply
1. Dawid
  8 grudnia 2017 at 13:56
  
  dla a=0.1
BBB
28 sierpnia 2017 at 15:50

W kursie, w lekcji drugiej jest błąd, w przykładzie $y apostrophe equals fraction numerator y squared minus x y over denominator x squared minus x y plus y squared end fraction$ , w momencie $fraction numerator d t over denominator d x end fraction cross times x equals fraction numerator t squared minus t over denominator 1 minus t plus t squared end fraction minus t$ za „t” podstawiasz $fraction numerator 1 minus t plus t squared over denominator 1 minus t plus t squared end fraction$ a przecież mamy podstawić „t” a nie „1”, dzięki temu rozwinięcie przykładu wygląda zupełnie inaczej, wynik pewnie też. Pozdrawiam. Prosiłbym o ewentualne rozwinięcie prawidłowego przykładu.

Reply
Ania
22 czerwca 2017 at 11:06

Witam. Czy mógłby mi ktoś pomóc z równaniem : x^2*y’=sin(1/x)? 🙁

Reply
1. Krystian Karczyński
  18 lipca 2017 at 15:08
  
  To będzie równanie o zmiennych rozdzielonych. Pójdzie to tak (polecam tutaj mój Kurs, gdzie pokazuję, jak to się robi):
  
  $x squared y apostrophe equals sin 1 over x x squared fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals sin 1 over x space space divided by times d x space colon x squared d y equals fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x \integral d y equals \integral fraction numerator sin 1 over x over denominator x squared end fraction d x$
  
  …
  
  Całkę po prawej stronie rozwiązujemy „na boczku” przez podstawienie:
  
  $integral fraction numerator sin \begin display style 1 over x end style over denominator x squared end fraction d x equals open vertical bar table row cell t equals fraction numerator \begin display style 1 end style over denominator \begin display style x end style end fraction end cell row cell d t equals negative 1 over x squared d x end cell end table close vertical bar equals \integral negative sin t d t equals cos t plus C equals cos 1 over x plus C$
  
  Wracając więc do równania mamy:
  
  …
  
  $y equals cos 1 over x plus C$
  
  I rozwiązane.
Maciej1
6 czerwca 2017 at 21:10

Witam, mam problem z rozwiązaniem równania (2xy^2-y)dx+(y^2+x+y)=0.

Reply
Krzysiek22
1 czerwca 2017 at 20:00

Witam, mam problem z rozwiązaniem równania y’+ty=t za pomocą czynnika całkującego. Przez uzmiennianie stałej wychodzi mi dobry wynik y=1+Ce^(-0,5t^2).Z góry dziękuję

Reply
andtom
30 maja 2017 at 09:48

Mam jeszcze problem z następujacym zadaniem:( x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0Nie jest ono zupełne bo różniczki nie są takie same, nie są też postaci f(y/x)O ile to możliwe, to prosiłbym o pomoc.Z góry dziękujęAndtom

Reply
andtom
29 maja 2017 at 09:00

Czy mógłbym prosić o rozwiązanie równania różniczkowego xdx+(y+1)dy=0Wartości y otrzymuje w postaci uwikłanej, czy jest jakiś sposób na rozwikłanie tego.

Reply
1. Joanna Grochowska
  29 maja 2017 at 11:38
  
  $space x space d x plus \left parenthesis y plus 1 \right parenthesis space d y equals 0$
  
  Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych. Porządkuję więc je tak, by po jednej stronie mieć wyrażenia związane z „y”, a po drugiej z „x”.
  
  $left parenthesis y plus 1 \right parenthesis space d y equals space minus x space d x$ – całkuję obustronnie
  
  $integral \left parenthesis y plus 1 \right parenthesis space d y equals space \integral negative x space d x$
  
  $1 half y squared plus y space equals space minus 1 half x squared plus C$
  
  Mam więc rozwiązane równanie, ale w postaci uwikłanej (tzn. nie mam wprost wyliczonego „y=….”, ale jakieś wyrażenie z „y”).
  
  Alby je „rozwikłać”, czyli wyliczyć samego „y”, musimy popatrzeć jakie mamy to wyrażenie/równanie z igrekami. Jak widać jest to równanie kwadratowe, z tym że inaczej niż pamiętamy ze szkoły średniej (bo nie na „x”, ale na „y” – to jest moja zmienna). Dla pełnej jasności przeniosę wszystko na jedną stronę
  
  $1 half y squared plus y space plus 1 half x squared minus C equals 0$
  
  Stąd mam że: $a equals 1 half space space space comma space space space b equals 1 space space comma space c equals 1 half x squared minus C$
  
  Liczę deltę: $increment equals b squared minus 4 a c equals 1 squared minus 4 times 1 half times open parentheses 1 half x squared minus C close parentheses equals 1 minus x squared plus 4 C space equals space 1 minus x squared plus C subscript 1$
  
  Stąd moje wartości y, czyli „jawne” rozwiązania:
  
  $y subscript 1 equals fraction numerator negative b minus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 minus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times \begin display style 1 half end style end fraction equals negative square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root space minus 1$
  
  $y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times \begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1$
2. andtom
  30 maja 2017 at 06:08
  
  Serdeczne dzięki za pomoc. Pozdrawiam.
ewcia5665
18 kwietnia 2017 at 13:09

ydy/dx=1-xy dx/dy=(1-x)ydy=(1-x)dx $integral y d y equals \integral x d x$ y^2=x^2+c i nie nie wiem co dalej

Reply
1. Joanna Grochowska
  27 kwietnia 2017 at 08:13
  
  Domyślam się, że to to samo równanie zamieszczone wyżej prawda? Wyżej pokazałam jak je rozwiązać 🙂
ewcia5665
18 kwietnia 2017 at 12:49

ydy/dx=1-x

Reply
1. Joanna Grochowska
  27 kwietnia 2017 at 08:12
  
  $y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x$
  
  Jest to równanie liniowe o zmiennych rozdzielonych, doprowadzam do tego, by po jednej stronie mieć same „y”, po drugie stronie wyrażenia z „x” i pozostałe.
  
  $y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 minus x space space space space divided by times d x$
  $y space d y equals open parentheses 1 minus x close parentheses space d x$
  Całkuję obie strony
  
  $integral space y space d y equals \integral open parentheses 1 minus x close parentheses space d x$
  $1 half y squared equals x minus 1 half x squared plus C space space space divided by times 2$
  $y squared equals 2 x minus x squared plus C subscript 1 space$
  $y equals square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root space space space space l u b space space y equals negative square root of 2 x minus x squared plus C subscript 1 space end root$
Ada
28 stycznia 2017 at 23:36

3 dy/dx = – [1 + 3y kwadrat] y(0) = 1/3

Nie mogę sobie poradzić z tą całką. Proszę o pomoc.

Reply
Paulina
20 grudnia 2016 at 14:10

Witam można prosić o pomoc? Ogólnie mam takie równanie: $mu space equals space R times space fraction numerator phi subscript o minus space phi subscript n over denominator 4 times n end fraction space times c t g \beta$ i z tego potrzebuję : $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction$ , $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential \beta end fraction$ . Niby wiem na jakiej zasadzie to działa, ale nie mam pojęcia jak to rozpisać. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc i ewentualne wytłumaczenie.

Reply
1. Paulina
  20 grudnia 2016 at 14:27
  
  : $mu equals space fraction numerator R \left parenthesis phi subscript o space minus space phi subscript n \right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 times n end fraction$ , to czy te rozwiązania są poprawne? $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential R end fraction space space equals space fraction numerator 1 \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space phi subscript n \right parenthesis space c t g space \beta over denominator 4 n end fraction$ $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript o end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space 1 space minus space phi subscript n \right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fraction$ $fraction numerator \partial differential mu over denominator \partial differential phi subscript n end fraction space equals space fraction numerator R space \left parenthesis space phi subscript o space end subscript minus space 1 \right parenthesis space c t g \beta over denominator 4 n end fraction$ czy to raczej totalna głupota?
Mateusz
7 grudnia 2016 at 17:11

y(x) = x (y'(x) – y”(x)) bardzo proszę o pomoc z tym rownaniem.

Reply
Martyna
18 października 2016 at 15:49

Jak potraktować takie równanie:d^(2)x/dt^2 + x =0potrzebuję tylko początkowego wyjścia.Nie jestem pewna czy mogę zapisać to w takiej postaci: x” +x =0

Reply
1. Anna Zalewska
  2 listopada 2016 at 13:55
  
  $fraction numerator d squared x over denominator d t squared end fraction plus x equals 0$
  
  Faktycznie, można to równanie zapisać w postaci: $x apostrophe apostrophe plus x equals 0$ , gdzie $x equals x \left parenthesis t \right parenthesis$ .
  
  Mamy tu do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego rzędu linowym jednorodnym o stałych współczynnikach.
  
  Dla takiego równania przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci funkcji wykładniczej: $x equals e to the power of s t end exponent$ .
  Mamy więc: $x apostrophe equals s e to the power of s t end exponent semicolon space space space space x apostrophe apostrophe equals s squared e to the power of s t end exponent$ .
  
  Podstawiamy do podanego równania i otrzymujemy:
  
  $s squared e to the power of s t end exponent plus e to the power of s t end exponent equals 0 space space space space space space space space space space space space divided by colon e to the power of s t end exponent$
  
  $s squared plus 1 equals 0$
  
  Ponieważ w tym równaniu mamy $capital delta less than 0$ , postąpimy według następującego schematu:
  
  $s subscript 1 equals a plus b i semicolon space space space space space s subscript 2 equals a minus b i$
  
  całki szczególne: $x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos \left parenthesis b t \right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin \left parenthesis b t \right parenthesis$
  
  całka ogólna: $x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos \left parenthesis b t \right parenthesis plus C subscript 2 sin \left parenthesis b t \right parenthesis close parentheses$
  
  Dla naszego przykładu:
  
  $s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i$
  
  całki szczególne: $x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t$
  
  całka ogólna: $x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t$
Syll
23 maja 2016 at 20:05

x*dy/dx-y = 2x^3

pilnie proszę o pomoc..

Reply
1. Kamil Kocot
  15 października 2016 at 05:33
  
  Witam
  
  To jest zwykłe równanie liniowe, rozwiążę je metodą uzmienniania stałej.
  
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed$
  
  1) równanie jednorodne
  
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0 x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y x d y equals y d x space fraction numerator d y over denominator y end fraction equals fraction numerator d x over denominator x end fraction integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral fraction numerator d x over denominator x end fraction ln open vertical bar y close vertical bar equals ln open vertical bar x close vertical bar plus C y equals C asterisk times x$
  
  Przejście w ostatniej linijce jest standardowe, należy zapamiętać bo to wynika z definicji logarytmu, własności logarytmu
  
  $log subscript a b equals c \left \right double arrow b equals a to the power of c a to the power of log subscript a x end exponent equals x$
  
  oraz własności potęgowania. Wyjaśnienie jest następujące
  
  $ln open vertical bar f \left parenthesis x \right parenthesis close vertical bar equals ln open vertical bar g \left parenthesis x \right parenthesis close vertical bar plus C f \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x \right parenthesis close vertical bar plus C end exponent equals e to the power of ln open vertical bar g \left parenthesis x \right parenthesis close vertical bar end exponent e to the power of C equals g \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times C subscript 1 \rightwards double arrow f \left parenthesis x \right parenthesis equals C asterisk times g \left parenthesis x \right parenthesis$
  
  gdzie przyjmujemy w skrócie, że $e to the power of C equals C subscript 1 equals C$ .
  
  Powracając do przykładu, w punkcie
  
  2) uzmienniamy stałą tzn.
  
  $y equals C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x$
  
  3) Obliczamy pochodną $y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times 1$
  
  4) Wstawiamy do początkowego równania (zarówno y jak i y’) tzn.
  
  $x asterisk times fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 2 x cubed x asterisk times open parentheses C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x plus C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times 1 close parentheses minus C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x squared plus C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x minus C \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis asterisk times x squared equals 2 x cubed C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x C \left parenthesis x \right parenthesis equals \integral 2 x d x C \left parenthesis x \right parenthesis equals x squared plus C$
  
  Wyliczone C(x) wstawiamy do punktu 2) i dostajemy rozwiązanie
  
  $y equals \left parenthesis x squared plus C \right parenthesis asterisk times x$
Piter
8 lutego 2016 at 12:29

Proszę o pomoc u”+u=cos2x

Reply
1. Syll
  23 maja 2016 at 20:04
  
  xdy/dx-y = 2x^3
  
  pilnie proszę o pomoc..
2. Kamil Kocot
  16 października 2016 at 12:47
  
  Równanie $u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x$ jest równaniem różniczkowym rzędu II-ego. Rozwiążemy je w dwóch etapach, najpierw równanie jednorodne a później równanie niejednorodne metodą przewidywań. Wszystko zostało omówione też w lekcji Pana Krystiana
  
  https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-5-rownania-rozniczkowe-ii-rzedu-liniowe-o-stalych-wspolczynnikach-sprowadzalne-do-rownan-i-go-rzedu/
  
  Zatem
  
  1) Etap I (za prawą stronę podstawiamy zero, rozwiązujemy równanie charakterystyczne)
  
  $u apostrophe apostrophe plus u equals 0 r squared plus 1 equals 0 r squared equals negative 1 r equals plus-or-minus i$
  
  Ponieważ rozwiązanie wychodzi zespolone $r equals alpha plus-or-minus beta i$ stąd rozwiązaniem równania jednorodnego jest zgodnie ze schematem $u subscript j equals e to the power of alpha x end exponent open parentheses C subscript 1 cos beta x plus C subscript 2 i sin beta x close parentheses$ czyli
  
  $u subscript j equals e to the power of 0 x end exponent open parentheses cos 1 x plus i sin 1 x close parentheses u subscript j equals cos x plus i sin x$
  
  2) Etap II
  
  Przewidujemy rozwiązanie równania niejednorodnego $u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x$ na podstawie funkcji znajdującej się po prawej stronie tj. $r left parenthesis x right parenthesis equals cos 2 x$ . Przewidujemy je jako
  
  $u subscript p equals A cos 2 x plus B sin 2 x$
  
  Podane $u subscript p$ nie zawiera się w rozwiązaniu równania jednorodnego (mamy w nim $cos x$ a tu jest cos2x ), tym samym jest to dobre rozwiązanie. W dalszym etapie wyliczamy $u apostrophe comma space u apostrophe apostrophe$ i podstawiamy do początkowego równania.
  
  $u subscript p apostrophe equals negative 2 A sin 2 x plus 2 B cos 2 x u subscript p apostrophe apostrophe equals negative 4 A cos 2 x minus 4 B sin 2 x u apostrophe apostrophe plus u equals cos 2 x minus 4 A c o s 2 x minus 4 B sin 2 x plus A c o s 2 x plus B sin 2 x equals c o s 2 x$
  
  Porównując współczynniki przy $cos 2 x comma space sin 2 x$ po lewej i prawej stronie dostajemy
  
  $open negative 4 A plus A equals 1 minus 4 B plus B equals 0 close curly brackets rightwards double arrow A equals negative 1 divided by 3 semicolon space B equals 0$
  
  czyli
  
  $u subscript p equals negative bevelled 1 third cos 2 x$
  
  Odp.: $u equals u subscript j plus u subscript p equals C subscript 1 cos x plus C subscript 2 sin x minus bevelled 1 third cos 2 x$
ROck
10 maja 2015 at 19:09

Kto pomoże ? y’-(y +cosx)sinx=0

Reply
1. Kamil Kocot
  17 października 2016 at 00:51
  
  Mamy tu do czynienia z równaniem liniowym I-go rzędu. Rozwiązujemy w dwóch etapach 1) równanie jednorodne i 2) równanie niejednorodne metodą uzmienniania stałej.
  
  $y apostrophe minus open parentheses y plus cos x close parentheses sin x equals 0 y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x$
  
  1) Równanie jednorodne
  
  $y apostrophe minus y sin x equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y sin x equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y sin x d y equals y sin x space d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals sin x space d x space divided by \integral integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals \integral sin x space d x ln vertical line y vertical line equals negative cos x plus C space divided by e to the power of horizontal ellipsis e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of negative cos x plus C end exponent equals e to the power of negative cos x end exponent e to the power of C y equals C e to the power of negative cos x end exponent$
  
  2) Uzmiennianie stałej
  
  $y equals C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x$
  
  Wstawiamy do równania $y apostrophe minus y sin x equals sin x cos x$ i dostajemy
  
  $C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent plus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x minus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent sin x equals sin x cos x C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of negative cos x end exponent equals sin x cos x space divided by asterisk times e to the power of cos x end exponent C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals sin x cos x e to the power of cos x end exponent C \left parenthesis x \right parenthesis equals \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x$
  
  Wyliczamy całkę na boku
  
  $table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell \integral sin x cos x e to the power of cos x end exponent d x end cell equals cell open vertical bar table row cell cos x equals t end cell row cell negative sin x space d x equals d t end cell row cell sin x space d x equals negative d t end cell end table close vertical bar equals negative \integral t e to the power of t d t end cell row blank equals cell open vertical bar table row t cell e to the power of t end cell row 1 cell e to the power of t end cell end table close vertical bar equals negative open parentheses t e to the power of t minus e to the power of t close parentheses plus C equals e to the power of t minus t e to the power of t plus C end cell row blank equals cell open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C end cell end table$
  
  czyli $C \left parenthesis x \right parenthesis equals open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C$ oraz ostateczna odpowiedź po wstawieniu do 2) za C(x):
  
  $y equals open square brackets open parentheses 1 minus cos x close parentheses e to the power of cos x end exponent plus C close square brackets asterisk times e to the power of negative cos x end exponent y equals C e to the power of negative cos x end exponent plus \left parenthesis 1 minus cos x \right parenthesis$
Kamil
31 stycznia 2015 at 15:40

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu równania:
y’=y+y/x+x

Reply
1. Kamil Kocot
  17 października 2016 at 01:15
  
  Mamy tutaj równanie liniowe, które można zapisać w postaci
  
  $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x$ .
  
  1) Rozwiązujemy równanie jednorodne
  
  $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d y equals y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x fraction numerator d y over denominator y end fraction equals open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses d x space divided by \integral ln vertical line y vertical line equals x plus ln vertical line x vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln vertical line y vertical line end exponent equals e to the power of x plus ln vertical line x vertical line plus C end exponent equals e to the power of x e to the power of ln vertical line x vertical line end exponent e to the power of C y equals C x e to the power of x$
  
  2) Uzmienniamy stałą
  
  $y equals C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x$
  
  i obliczamy pochodną jako iloczyn 3 funkcji
  
  $y apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x$ .
  
  Wstawiając do równania początkowego $y apostrophe minus y open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x$ dostajemy
  
  $C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x open parentheses 1 plus 1 over x close parentheses equals x C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of x plus C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x minus C \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of x equals x C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis x e to the power of x equals x C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis e to the power of x equals 1 space divided by asterisk times e to the power of negative x end exponent C apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of negative x end exponent space divided by \integral C \left parenthesis x \right parenthesis equals \integral e to the power of negative x space end exponent d x equals negative e to the power of negative x end exponent plus C$
  
  Następnie powracając do 2) i wstawiając w miejsce C(x) otrzymujemy rozwiązani
  
  $y equals open parentheses negative e to the power of negative x end exponent plus C close parentheses x e to the power of x y equals negative x plus C x e to the power of x$
Karolina
7 stycznia 2015 at 00:01

A równań różniczkowych II rzędu nie liczy?

Reply
JOANNA
17 października 2014 at 12:21

proszę o rozwiązanie równania u”-u’-y=0 lub p’-p-y=0. Bardzo proszę o pomoc.

Reply
studentka
22 września 2014 at 18:03

Bardzo proszę o rozwiązanie tego równania różniczkowego próbowałam wiele razy i wychodzą mi jakieś głupoty. Bardzo proszę o pomoc : 2y’lnt+y/t=(1/y)(cost)^2

Reply
1. Kamil Kocot
  17 października 2016 at 02:11
  
  Równanie
  
  $2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t$
  
  jest równaniem różniczkowym Bernoulliego tzn. równaniem typu
  
  $p \left parenthesis x \right parenthesis times y apostrophe plus q \left parenthesis x \right parenthesis times y equals r \left parenthesis x \right parenthesis times y to the power of n$ .
  
  Rozwiążemy je zgodnie ze schematem podanym w kursie Pana Krystiana
  
  https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-4-niektore-rownania-nieliniowe-rzedu-pierwszego-rownanie-rozniczkowe-rodziny-linii/
  
  Z postaci równania wynika, że $n equals negative 1$ . Robimy podstawienie $z equals y to the power of 1 minus n end exponent$ czyli $z equals y squared$ . Następnie obliczamy pochodną pamiętając o tym, że y jest funkcją zmiennej t, zatem pochodną $y squared$ wyliczamy jako pochodną złożoną tzn.
  
  $z equals y squared z apostrophe equals 2 y y apostrophe$
  
  Wracamy do równania, troszeczkę przekształcamy i podstawiamy to co powyżej
  
  $2 y apostrophe ln t plus y over t equals 1 over y cos squared t space divided by asterisk times y 2 y y apostrophe ln t plus y squared over t equals cos squared t z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t$
  
  Powyższe równanie jest równaniem liniowym, rozwiązujemy je metodą uzmienniania stałej
  
  1) Równanie jednorodne
  
  $z apostrophe ln t plus z over t equals 0 fraction numerator d z over denominator d t end fraction ln t equals negative z over t d z space ln t equals negative z over t d t minus fraction numerator d z over denominator z end fraction equals fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction d t minus ln vertical line z vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line equals ln vertical line ln t vertical line plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent e to the power of ln vertical line z to the power of negative 1 end exponent vertical line end exponent equals e to the power of ln vertical line ln t vertical line plus C end exponent equals e to the power of negative ln vertical line ln t vertical line end exponent times e to the power of C z to the power of negative 1 end exponent equals C times ln t \left \right double arrow 1 over z equals C times ln t \rightwards double arrow z equals fraction numerator 1 over denominator C times ln t end fraction equals 1 over C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals C times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction$
  
  2) Uzmiennianie stałej
  
  $z equals C \left parenthesis t \right parenthesis space fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z apostrophe equals C apostrophe \left parenthesis t \right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction plus C \left parenthesis t \right parenthesis times fraction numerator negative 1 times \begin display style 1 over t end style over denominator ln squared t end fraction equals C apostrophe \left parenthesis t \right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t \right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction$
  
  Wstawiamy do $z apostrophe ln t plus z over t equals cos squared t$ i dostajemy
  
  $open parentheses C apostrophe \left parenthesis t \right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction minus C \left parenthesis t \right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t ln squared t end fraction close parentheses ln t plus fraction numerator C \left parenthesis t \right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction over denominator t end fraction equals cos squared t C apostrophe \left parenthesis t \right parenthesis minus C \left parenthesis t \right parenthesis times fraction numerator 1 over denominator t times ln t end fraction plus fraction numerator C \left parenthesis t \right parenthesis over denominator t times ln t end fraction equals cos squared t C apostrophe \left parenthesis t \right parenthesis equals cos squared t C \left parenthesis t \right parenthesis equals \integral cos squared t space d t space equals 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C$
  
  Po wstawieniu do 2) mamy
  
  $z equals C \left parenthesis t \right parenthesis fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction equals open square brackets 1 half open parentheses t plus sin t cos t close parentheses plus C close square brackets fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 end fraction times fraction numerator 1 over denominator ln t end fraction z equals fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction$
  
  Na sam koniec powracamy z podstawieniem $y squared equals z$ czyli
  
  $y squared equals z \rightwards double arrow y equals plus-or-minus square root of z y equals plus-or-minus square root of fraction numerator t plus sin t cos plus 2 C over denominator 2 ln t end fraction end root$
  
  Uwaga! Program Wolfram zwraca troszkę inny wynik ale jest on równoważny powyższemu.
Joanna
13 sierpnia 2014 at 11:01

Witam mam problem z równaniem różniczkowym dy/dx- (2yx)/(x^2 + 4)= 1/(x+2) bardzo proszę o pomoc byłabym bardzo wdzięczna 🙂

Reply
1. Krystian Karczyński
  14 sierpnia 2014 at 12:06
  
  Witam, to zwykłe liniowe, z tym, że trochę się przedłuży, bo wyjdzie po drodze całka wymierna. Lecę metodami z mojego Kursu Równań Różniczkowych:
  
  $frac{dy}{dx}-frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=frac{1}{x+2}$
  
  $frac{dy}{dx}-frac{2x}{{{x}^{2}}+4}y=0$
  
  $frac{dy}{dx}=frac{2x}{{{x}^{2}}+4}yquad /:y/cdot dx$
  
  $frac{dy}{y}=frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dxquad /int{{}}$
  
  $int{frac{dy}{y}}=int{frac{2x}{{{x}^{2}}+4}dx}$
  
  $ln left| y right|=ln left| {{x}^{2}}+4 right|+Cquad /{{e}^{left( ldots right)}}$
  
  ${{e}^{ln left| y right|}}={{e}^{ln left| {{x}^{2}}+4 right|+C}}$
  
  $left| y right|={{e}^{ln left| {{x}^{2}}+4 right|}}{{e}^{C}}$
  
  $y=Cleft( {{x}^{2}}+4 right)$
  
  $y=Cleft( x right)left( {{x}^{2}}+4 right)$
  
  ${y}'={C}'left( x right)left( {{x}^{2}}+4 right)+Cleft( x right)2x$
  
  ${C}'left( x right)left( {{x}^{2}}+4 right)+Cleft( x right)2x-frac{2x}{{{x}^{2}}+4}Cleft( x right)left( {{x}^{2}}+4 right)=frac{1}{x+2}$
  
  ${C}'left( x right)left( {{x}^{2}}+4 right)=frac{1}{x+2}quad /:left( {{x}^{2}}+4 right)$
  
  ${C}'left( x right)=frac{1}{left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)}quad /int{{}}$
  
  $Cleft( x right)=int{frac{1}{left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)}dx}$
  
  No i to jest właśnie ta wymierna do rozwalenia. Prosta, ale żmudna. Pokazuję cały schemat na tej Lekcji, a tutaj tylko stosuję:
  
  $int{frac{1}{left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)}dx}$
  
  $frac{1}{left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)}=frac{A}{x+2}+frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+4}quad /cdot left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)$
  
  $1=Aleft( {{x}^{2}}+4 right)+left( Bx+C right)left( x+2 right)$
  
  $1=A{{x}^{2}}+4A+B{{x}^{2}}+2Bx+Cx+2C$
  
  ${ begin{matrix} & 0=A+Bquad Rightarrow A=-B \ & 0=2B+C \ & 1=4A+2C end{matrix}$
  
  ${ begin{matrix} & 0=2B+Cquad Rightarrow C=-2B \ & 1=-4B+2C end{matrix}$
  
  $1=-4B-4B$
  
  $B=-frac{1}{8}$
  
  $C=frac{1}{4},A=frac{1}{8}$
  
  Wracam się do całki:
  
  $int{frac{1}{left( x+2 right)left( {{x}^{2}}+4 right)}dx}=int{frac{tfrac{1}{8}}{x+2}dx}+int{frac{-tfrac{1}{8}x+tfrac{1}{4}}{{{x}^{2}}+4}dx}=$
  
  $=frac{1}{8}int{frac{1}{x+2}dx}-frac{1}{8}int{frac{x}{{{x}^{2}}+4}dx+frac{1}{4}int{frac{1}{{{x}^{2}}+4}dx}}=$
  
  Tu trochę przyspieszę, bo wszystkie trzy całki są proste:
  
  $=frac{1}{8}ln left| x+2 right|-frac{1}{16}ln left| {{x}^{2}}+4 right|+frac{1}{8}arctgfrac{x}{2}+C$
  
  Mając rozwiązaną całkę, wracam się do równania:
  
  $Cleft( x right)=frac{1}{8}ln left| x+2 right|-frac{1}{16}ln left| {{x}^{2}}+4 right|+frac{1}{8}arctgfrac{x}{2}+C$
  
  Czyli jeszcze jeden „powrót” i mam rozwiązanie:
  
  $y=left( frac{1}{8}ln left| x+2 right|-frac{1}{16}ln left| {{x}^{2}}+4 right|+frac{1}{8}arctgfrac{x}{2}+C right)left( {{x}^{2}}+4 right)$
2. Joanna
  20 sierpnia 2014 at 21:15
  
  Dziękuje za pomoc 🙂
Paweł
2 lipca 2014 at 10:32

Witam, dziękuję za kalkulator, super sprawa 🙂 Aczkolwiek chyba to dla mnie niewystarczające, bo nie potrafię dojść do tego czemu nie wychodzi mi takie rozwiązanie jak powinno. Jakbym mógł prosić o pomoc w rozwiązaniu równania różniczkowego to byłbym bardzo wdzięczny 🙂 Równanie: x * y’ = y * ln (x/y)

Reply
1. Krystian Karczyński
  16 lipca 2014 at 20:06
  
  Witam. To równanie jednorodne względem y i x, polecam odpowiednią Lekcję z mojego Kursu Równań Różniczkowych, na której omawiam wszystkie potrzebne patenty i przejścia.
  
  $x{y}'=yln left( frac{x}{y} right)$
  
  $x{y}'=yln left( frac{x}{y} right)quad /:x$
  
  ${y}'=frac{y}{x}ln left( frac{1}{tfrac{y}{x}} right)quad /:x$
  
  Teraz odpowiednie podstawienie:
  
  $t=frac{y}{x}$
  
  $y=tx$
  
  ${y}'={{left( tx right)}^{prime }}={t}'x+t$
  
  ${t}'x+t=tln left( frac{1}{t} right)$
  
  $frac{dt}{dx}x=tln left( frac{1}{t} right)-tquad /cdot dx/:x$
  
  $dt=tleft( ln left( frac{1}{t} right)-1 right)frac{dx}{x}quad /:tleft( ln left( frac{1}{t} right)-1 right)$
  
  $frac{dt}{tleft( ln left( tfrac{1}{t} right)-1 right)}=frac{dx}{x}quad /int{{}}$
  
  $int{frac{dt}{tleft( ln left( tfrac{1}{t} right)-1 right)}}=int{frac{dx}{x}}$
  
  Na boku liczę całkę $int{frac{dt}{tleft( ln left( tfrac{1}{t} right)-1 right)}}$
  
  $int{frac{dt}{tleft( ln left( tfrac{1}{t} right)-1 right)}}=int{frac{dt}{tleft( ln left( {{t}^{-1}} right)-1 right)}}=int{frac{dt}{tleft( -ln t-1 right)}}=left| begin{matrix} & u=-ln t-1 \ & du=-frac{1}{t}dt \ & -du=frac{dt}{t} end{matrix} right|=int{frac{-du}{u}}=-ln left| u right|+C=$
  
  $=-ln left| -ln t-1 right|+C$
  
  Wracam się z wynikiem do równania różniczkowego:
  
  $-ln left| -ln t-1 right|=ln left| x right|+C$
  
  $ln left| -ln t-1 right|=-ln left| x right|+C$
  
  $ln left| -ln t-1 right|=ln {{left| x right|}^{-1}}+Cquad /{{e}^{left( ldots right)}}$
  
  ${{e}^{ln left| -ln t-1 right|}}={{e}^{ln {{left| x right|}^{-1}}}}{{e}^{C}}$
  
  $-ln t-1=frac{C}{x}$
  
  $-ln t=frac{C}{x}+1$
  
  $ln t=frac{C}{x}-1quad /{{e}^{left( ldots right)}}$
  
  $t={{e}^{tfrac{C}{x}-1}}$
  
  $frac{y}{x}={{e}^{tfrac{C}{x}-1}}quad /cdot x$
  
  $y=x{{e}^{tfrac{C}{x}-1}}$ – i to jest wynik 🙂
2. Paweł
  4 września 2014 at 22:17
  
  Bardzo dziękuję, jestem niezmiernie wdzięczny 🙂 A z Pana lekcji na pewno skorzystam 🙂
Aleksandra
30 czerwca 2014 at 18:27

A to jak by Pan rozwiązał :y’-2/x*y=4x^3 ? Mam potem problem ze ”skreśleniem”.

Reply
1. Krystian Karczyński
  23 lipca 2014 at 20:06
  
  Nie wiem, czy dobrze odczytałem, lecę metodami z mojego Kursu Video do równań różniczkowych:
  
  ${y}'-\frac{2}{x}y=4{{x}^{3}}$
  
  ${y}'-\frac{2}{x}y=0$
  
  $\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}$
  
  $\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}\quad /\int{\left( \ldots \right)}$
  
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{2dx}{x}}$
  
  $ln \left| y \right|=2ln \left| x \right|+C$
  
  $ln \left| y \right|=ln {{\left| x \right|}^{2}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  
  ${{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{2}}+C}}$
  
  ${{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{2}}}}{{e}^{C}}$
  
  $y=C{{x}^{2}}$
  
  $y=C\left( x \right){{x}^{2}}$
  
  ${y}'={C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x$
  
  Podstawiając do wyjściowego równania:
  
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}+C\left( x \right)\cdot 2x-\frac{2}{x}C\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}$
  
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}+2xC\left( x \right)-2xC\left( x \right)=4{{x}^{3}}$
  
  ${C}'\left( x \right){{x}^{2}}=4{{x}^{3}}\quad /:{{x}^{2}}$
  
  ${C}'\left( x \right)=4x\quad /\int{\left( \ldots \right)}$
  
  $C\left( x \right)=\int{4x}dx=2{{x}^{2}}+C$
  
  I mam rozwiązanie:
  
  $y=\left( 2{{x}^{2}}+C \right){{x}^{2}}=2{{x}^{4}}+C{{x}^{2}}$
Monika
11 czerwca 2014 at 19:50

Witam, mam problem z różniczka: dy/dx+y/x=2 proszę o pomoc

Reply
1. Krystian Karczyński
  13 czerwca 2014 at 19:47
  
  Po pierwsze: to jest „równanie różniczkowe”, a nie: „różniczka” 🙂
  
  A po drugie…
  
  $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=2$
  
  Równanie jest także liniowe, ale rozwiążę je jako jednorodne względem y i x:
  
  Podstawiam:
  
  $t=\frac{y}{x}$
  
  $y=tx$
  
  ${y}'={{\left( tx \right)}^{\prime }}={t}'x+t{x}'={t}'x+t$
  
  Wracam się do równania z tymi podstawieniami:
  
  ${t}'x+t+t=2$
  
  $\frac{dt}{dx}x+2t=2$
  
  $\frac{dt}{dx}x=2-2t\quad /:x/\cdot dx/\left( 2-2t \right)$
  
  $\frac{dt}{2-2t}=\frac{dx}{x}\quad /\int{{}}$
  
  $\int{\frac{dt}{2-2t}}=\int{\frac{dx}{x}}$
  
  Całkę po lewej stronie liczę na boku:
  
  $\int{\frac{dt}{2-2t}}=\left| \begin{matrix} & u=2-2t \\ & du=-2dt \\ & dt=\frac{du}{-2} \end{matrix} \right|=-\frac{1}{2}ln \left| u \right|+C=-\frac{1}{2}ln \left| 2-2t \right|+C$
  
  $-\frac{1}{2}ln \left| 2-2t \right|=ln \left| x \right|+C\quad /\cdot \left( -2 \right)$
  
  $ln \left| 2-2t \right|=-2ln \left| x \right|+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  
  ${{e}^{ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{-2ln \left| x \right|+C}}$
  
  ${{e}^{ln \left| 2-2t \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{-2}}}}\cdot {{e}^{C}}$
  
  $2-2t=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}$
  
  $-2\cdot \frac{y}{x}=C\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}-2\quad /\cdot x/:\left( -2 \right)$
  
  $y=\frac{C}{x}+x$
RN
30 maja 2014 at 12:01

Witam mam problem z równaniem y’=y(2(x^3)-1) y=(2)=1
a mianowicie przy liczeniu rozwiązania szczególnego.

Reply
1. Krystian Karczyński
  30 maja 2014 at 12:31
  
  Zakładam, że warunek początkowy był taki: y(2)=1
  
  Jedziemy 🙂
  
  ${y}'=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)$
  
  $\frac{dy}{dx}=y\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)\quad /:y/\cdot dx$
  
  $\frac{dy}{y}=\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx\quad /\int{{}}$
  
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}$
  
  $\int{\left( 2{{x}^{3}}-1 \right)dx}=\int{2{{x}^{3}}dx}-\int{dx}=2\int{{{x}^{3}}dx}-x+C=2\cdot \frac{1}{4}{{x}^{4}}-x+C=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C$
  
  $ln \left| y \right|=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  
  ${{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x+C}}$
  
  $y={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}\cdot {{e}^{C}}$
  
  $y=C{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}$
  
  Teraz uwzględniamy warunek początkowy:
  
  $1=C{{e}^{\frac{1}{2}\cdot {{2}^{4}}-2}}$
  
  $1=C{{e}^{6}}\quad /:{{e}^{6}}$
  
  $C=\frac{1}{{{e}^{6}}}$
  
  Zatem nasza odpowiedź to:
  
  ${{y}_{sz}}=\frac{1}{{{e}^{6}}}\cdot {{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}=\frac{{{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x}}}{{{e}^{6}}}={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{4}}-x-6}}$
KM
8 maja 2014 at 06:54

Dlaczego wynik w kalkulatorze y”-2y’ = x nie zgadza sie z wynikiem z kursu

Reply
1. Krystian Karczyński
  8 maja 2014 at 08:16
  
  A gdzie w Kursie jest taki przykład?
2. Ryhor Abramovich
  23 października 2016 at 15:02
  
  $y apostrophe apostrophe minus 2 y apostrophe equals x$
  
  Rozwiązanie:
  
  To jest równanie różniczkowe II rzędu, nie zawierające niewiadomej funkcji (y). Dlatego możemy obniżyć rząd tego równania za pomocy podstawy.
  
  Niech $y apostrophe equals p open parentheses x close parentheses$ . Wtedy $y apostrophe apostrophe equals p apostrophe open parentheses x close parentheses$ , i równanie zapiszemy w postaci:
  
  $p apostrophe minus 2 p equals x$
  
  To jest równanie I rzędu (liniowe). Rozwiązujemy go na 2 sposoby.
  
  Sposob 1 (wg schematu z lekcji 3):
  
  $p apostrophe minus 2 p equals 0$
  
  $fraction numerator d p over denominator d x end fraction equals 2 p space divided by times d x space divided by p$
  
  $fraction numerator d p over denominator p end fraction equals 2 d x space divided by \integral$
  
  $integral fraction numerator d p over denominator p end fraction equals \integral 2 d x$
  
  $ln open vertical bar p close vertical bar equals 2 x plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent$
  
  $e to the power of ln open vertical bar p close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x plus C end exponent$
  
  $open vertical bar p close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of 2 x end exponent$
  
  $p equals C times e to the power of 2 x end exponent$
  
  Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniamy” stałą:
  
  $p equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent$
  
  $p apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2$
  
  Podstawiamy wyniki do równania $p apostrophe minus 2 p equals x$ :
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent times 2 minus 2 times C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x$
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals x space divided by divided by e to the power of 2 x end exponent$
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x times e to the power of negative 2 x end exponent space divided by \integral$
  
  $integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x times e to the power of negative 2 x end exponent d x space$
  
  Całkę liczymy przez części: $integral u times v apostrophe equals u times v minus \integral v times u apostrophe$
  
  $C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell u equals x end cell cell v apostrophe equals e to the power of negative 2 x end exponent d x end cell row cell u apostrophe equals d x end cell cell v equals negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent end cell end table close vertical bar equals x times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses minus \integral open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses times d x equals$
  
  $equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half \integral e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent plus 1 half times open parentheses negative 1 half e to the power of negative 2 x end exponent close parentheses plus C equals$
  
  $negative x over 2 e to the power of negative 2 x end exponent minus 1 fourth e to the power of negative 2 x end exponent plus C equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C$
  
  Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:
  
  $p open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C times e to the power of 2 x end exponent$
  
  Dalej, $p open parentheses x close parentheses equals y apostrophe open parentheses x close parentheses$ , czyli
  
  $y apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent space divided by \integral$
  
  $y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals$
  
  $equals negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2$
  
  Sposób 2.
  
  $p apostrophe minus 2 p equals x$
  
  Podstawa: $p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses$ , czyli $p equals u v$ . Wtedy
  
  $p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$ , i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:
  
  $u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x$
  
  $u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$
  
  Wyznaczymy funkcję $v equals v open parentheses x close parentheses$ w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:
  
  $v apostrophe minus 2 v equals 0$
  
  $fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v$
  
  $fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x$
  
  $integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals \integral 2 d x$
  
  $ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x$
  
  Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:
  
  $e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent$
  
  $open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent$
  
  $v equals e to the power of 2 x end exponent$
  
  Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:
  
  $u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$
  
  $u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x$
  
  $u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x$
  
  $u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent$
  
  Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:
  
  $u open parentheses x close parentheses equals \integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C$
  
  Stąd
  
  $p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent$
  
  i, odpowiednio,
  
  $y open parentheses x close parentheses equals \integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral p open parentheses x close parentheses d x equals \integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals$
  
  $negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2$
Adam Kołodziejski
5 lutego 2014 at 11:59

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego równania
((3/2)*(y^2)*cos(x)+2)*dx= -(3y*sin(x)+1)*dy

Reply
Agatha
22 stycznia 2014 at 01:51

Witam czy mógłby Pan rozwiązać równanie
$x \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dy} + z^2 y \frac{dy}{dz} = 0$
Kurs równań różniczkowych nie bardzo i tu pomógł.

Reply
1. Amelia
  22 stycznia 2014 at 14:24
  
  Jak jest Pan takim kozakiem to dlaczego po przerobieniu całego kursu z równań różniczkowych nikt z mojego roku nie zdał kolokwium. O chyba robi Pan trywialne przykłady, które mój wykładowca pomija bo są zbyt oczywiste.
  Chcecie fun?! Rozwiążcie to:
  
  $\frac{x^2}{y^2 + yx} \frac{du}{dx} + {du}{dy} + (1+z^2) \frac{du}{dz} = 0$
2. Krystian Karczyński
  22 stycznia 2014 at 14:40
  
  To jest przykład z równań różniczkowych cząstkowych, mój Kurs jest do równań różniczkowych zwyczajnych. Sorry, że nie zdaliście kolokwium.
3. Amelia
  24 stycznia 2014 at 03:12
  
  Więc może już nadszedł czas, aby stworzyć kolejny kurs.
Mariusz
12 września 2013 at 21:21

Czy mógłby Pan rozwiązać poniższe równanie?

xy’=x+3y, y(1)=2

Pozdrawiam serdecznie!

Reply
1. Krystian Karczyński
  16 września 2013 at 10:04
  
  Dobra, krok po kroku:
  
  $x{y}'=x+3y,\quad y\left( 1 \right)=2$
  
  $x{y}'-3y=x$
  
  Czyli to jest zwykłe, liniowe równanie I rzędu. Ruszam ze schematem z mojego Kursu Równań Różniczkowych.
  
  $x{y}'-3y=0$
  
  $x{y}'=3y$
  
  $x\frac{dy}{dx}=3y\quad /:x \cdot dx :y$
  
  $\frac{dy}{y}=\frac{3}{x}dx\quad /\int{{}}$
  
  $\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{3}{x}dx}\quad /\int{{}}$
  
  $ln \left| y \right|=3ln \left| x \right|+C$
  
  $ln \left| y \right|=ln {{\left| x \right|}^{3}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}$
  
  ${{e}^{ln \left| y \right|}}={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{3}}+C}}$
  
  $\left| y \right|={{e}^{ln {{\left| x \right|}^{3}}}}{{e}^{C}}$
  
  $y=C{{x}^{3}}$
  
  „Uzmienniam” stałą:
  
  $y=C\left( x \right){{x}^{3}}$
  
  ${y}'={C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}}$
  
  $x\left( {C}'\left( x \right){{x}^{3}}+C\left( x \right)\cdot 3{{x}^{2}} \right)-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x$
  
  ${C}'\left( x \right){{x}^{4}}+3C\left( x \right){{x}^{3}}-3C\left( x \right){{x}^{3}}=x$
  
  ${C}'\left( x \right){{x}^{4}}=x\quad /:{{x}^{4}}$
  
  ${C}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{3}}}\quad /\int{{}}$
  
  $C\left( x \right)=\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=\int{{{x}^{-3}}dx}=\frac{1}{-3+1}{{x}^{-3+1}}+C=$
  
  $=-\frac{1}{2}{{x}^{-2}}+C=-\frac{1}{2}\frac{1}{{{x}^{2}}}+C=-\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C$
  
  Czym mam rozwiązanie równania ogólnego:
  
  $y=\left( -\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C \right){{x}^{3}}=-\frac{x}{2}+C{{x}^{3}}$
  
  Teraz uwzględniam warunek początkowy $y\left( 1 \right)=2$ :
  
  $2=-\frac{1}{2}+C\cdot {{1}^{3}}$
  
  $C=2\tfrac{1}{2}$
  
  I mogę pisać odpowiedź:
  
  $y=-\frac{x}{2}+2\tfrac{1}{2}{{x}^{3}}$
2. Michał
  18 września 2013 at 11:54
  
  Czy mógłbym prosić o pomoc w rozwiązaniu tego równania: dy/dx-xy^3=-xy ? Dochodzę do momentu gdzie mam już dwie całki i mam problem przy policzeniu całki z dy/y(y^2-1). Można rozłożyć sobie to na trzy ułamki proste, ale nie potrafię potem rozwikłać y.
3. Ryhor Abramovich
  23 października 2016 at 15:53
  
  $fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus x times y cubed equals negative x times y$
  
  Rozwiązanie:
  
  Zapiszem to równanie w postaci:
  
  $y apostrophe plus x y equals x y cubed$
  
  To jest równanie Bernoulli’ ego typu
  
  $y apostrophe plus p open parentheses x close parentheses times y equals q open parentheses x close parentheses times y to the power of \alpha$ ,
  
  gdzie $alpha equals 3$
  
  Najpierw – podstawa
  
  $z equals y to the power of 1 minus \alpha end exponent equals y to the power of 1 minus 3 end exponent equals y to the power of negative 2 end exponent equals 1 over y squared$
  
  I liczymy:
  
  $z apostrophe equals open parentheses y to the power of negative 2 end exponent close parentheses apostrophe equals negative 2 y to the power of negative 3 end exponent times y apostrophe equals negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction$
  
  Dalej,
  
  $y apostrophe plus x y equals x y to the power of 3 space end exponent divided by times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses$
  
  $y apostrophe times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses plus x y times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses equals x y cubed times open parentheses negative 2 over y cubed close parentheses$
  
  $negative fraction numerator 2 y apostrophe over denominator y cubed end fraction minus 2 x times 1 over y squared equals negative 2 x$
  
  $z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x$
  
  To jest równanie liniowe I rzędu. Rozwiązujemy go wg schematu z lekcji 3.
  
  $z apostrophe minus 2 x z equals 0$
  
  $fraction numerator d z over denominator d x end fraction equals 2 x z space divided by times fraction numerator d x over denominator z end fraction$
  
  $fraction numerator d z over denominator z end fraction equals 2 x d x space divided by \integral$
  
  $integral fraction numerator d z over denominator z end fraction equals \integral 2 x d x$
  
  $ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent$
  
  $e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent$
  
  $open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent$
  
  $z equals C times e to the power of x squared end exponent$
  
  Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:
  
  $z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent$
  
  $z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x$
  
  Wstawiamy wyniki do początkowego równania:
  
  $z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x$
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x$
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent$
  
  $C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by \integral$
  
  $integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals \integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x$
  
  $C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals \integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C$
  
  Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:
  
  $z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent$
  
  Ponieważ $z equals 1 over y squared$ , to
  
  $y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction$
Karolina
23 stycznia 2013 at 10:27

y”=+4y=4(cos2x+sin2x)
y(pi)=y’ (pi)=2\pi

Reply
1. Krystian Karczyński
  23 stycznia 2013 at 17:39
  
  Witam, rozumiem, że mam rozwiązać Pani równanie? 🙂
  
  Bo WolframAlpha rozwiązuje je tak:
  
  y”+4y=4(cos2x+sin2x), y(pi)=2pi, y’(pi)=2pi
  
  No, a my poradzilibyśmy sobie tak (lecę metodą przewidywań pokazaną w moim Kursie Video):
  
  Na początku rozwiązujemy równanie jednorodne:
  
  ${y}''+4y=0$
  
  Równanie charakterystyczne ma więc postać:
  
  ${{r}^{2}}+4=0$
  
  Delta jest tu ujemna, ale jest ono bardzo proste i możemy sobie poradzić bez delty:
  
  ${{r}^{2}}=-4$
  
  $r=sqrt{-4}$
  
  A wiemy, że te pierwiastki istnieją i są zespolone:
  
  $r=2i vee r=-2i$ , bo $sqrt{-4}=sqrt{left( -1 right)cdot 4}=sqrt{{{i}^{2}}}cdot sqrt{4}=pm 2i$
  
  Czyli korzystając z ogólnego wzoru na rozwiązanie równania jednorodnego (zawarty w Kursie) mam:
  
  ${{y}_{j}}={{e}^{0cdot x}}left( Acos 2x+Bsin 2x right)$
  
  czyli mam rozwiązanie równania jednorodnego $y_j$ :
  
  ${{y}_{j}}=Acos 2x+Bsin 2x$
  
  Teraz jedno rozwiązanie szczególne. Zgodnie ze schematem, biorę postać:
  
  ${{y}_{p}}=Acos 2x+Bsin 2x$
  
  Teraz ważny moment. Zauważam, że to rozwiązanie zawiera się już w rozwiązaniu równania jednorodnego $y_j$ , zatem muszę zwiększyć stopień wielomianów o 1, „przewiduję” więc rozwiązanie w postaci:
  
  ${{y}_{p}}=left( Ax+B right)cos 2x+left( Cx+D right)sin 2x$
  
  Teraz liczę pochodną i drugą pochodną, porządkując je i pomagając sobie Wolframem:
  
  ${{y}_{p}}^{prime }=left( 2Cx+A+2D right)cos 2x+left( -2Ax-2B+C right)sin 2x$ (obliczenia)
  
  ${{y}_{p}}{{^{prime }}^{prime }}=-4left( Ax+B-C right)cos 2x-4left( Cx+A+D right)sin 2x$ (obliczenia)
  
  Wstawiam drugą pochodną i funkcję do wyjściowego równania i mam:
  
  $-4left( Ax+B-C right)cos 2x-4left( Cx+A+D right)sin 2x+4left( left( Ax+B right)cos 2x+left( Cx+D right)sin 2x right)=4left( cos 2x+sin 2x right)$
  
  Po ponownym uporządkowaniu Wolframem mam więc:
  
  $4Ccos 2x-4Asin 2x=4cos 2x+4sin 2x$
  
  Ponieważ stałe $B$ i $D$ zredukowały się, mogę przyjąć za nie $0$ .
  
  Przyrównując więc współczynniki przy $cos2x$ i $sin2x$ mam:
  
  ${ begin{matrix} & 4C=4 & -4A=4 end{matrix} Rightarrow { begin{matrix} & C=1 & A=-1 end{matrix}$
  
  Podstawiając więc wszystko do ogólnego wzoru ${{y}_{p}}=left( Ax+B right)cos 2x+left( Cx+D right)sin 2x$ mam policzone $y_p$ :
  
  ${{y}_{p}}=-xcos 2x+xsin 2x$
  
  Mając $y_j$ i $y_p$ mogę już wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ze wzoru $y=y_j+y_p$ :
  
  $y=Acos 2x+Bsin 2x-xcos 2x+xsin 2x$
  
  Teraz przechodzę do rozwiązania szczególnego, uwzględniając warunki początkowe y(pi)=2pi, y'(pi)=2pi.
  
  Najpierw liczę pochodną z rozwiązania ogólnego:
  
  ${y}'=left( 2x-2A+1 right)sin 2x+left( 2x+2B-1 right)cos 2x$ (obliczenia)
  
  Teraz do rozwiązania ogólnego i do jego pochodnej wstawiam wartości z warunków początkowych otrzymując układ równań:
  
  ${ begin{matrix} & 2pi =Acos 2pi +Bsin 2pi -pi cos 2pi +pi sin 2pi & 2pi =left( 2pi -2A+1 right)sin 2pi +left( 2pi +2B-1 right)cos 2pi end{matrix}$
  
  $cos 2pi =1$ i $sin 2pi =0$ , zatem:
  
  ${ begin{matrix} & 2pi =A-pi & 2pi =2pi +2B-1 end{matrix}$
  
  ${ begin{matrix} & A=3pi & B=frac{1}{2} end{matrix}$
  
  Podstawiając tak obliczone stałe do rozwiązania ogólnego mam rozwiązanie szczególne przy danych warunkach początkowych:
  
  ${{y}_{SZ}}=3pi cos 2x+frac{1}{2}sin 2x-xcos 2x+xsin 2x$
  
  KONIEC
  
  Polecam też moje:
  
  Kurs Video Równań Różniczkowych
2. Marcin
  31 stycznia 2013 at 14:05
  
  Witam czy pomoze ktos rozwiazac rownanie
  1/5*y’+y=-3*x^2*e^(3x-1)+2/5*cos2x
3. Maciej
  29 sierpnia 2014 at 16:28
  
  Witam. Mógłbym prosić o pomoc z równaniem:
  
  (x*siny +y+2x)dx + ((x^2)*cosy + x*ln(x))dy = 0
  
  Nasz docent ma fantazję 😛

Kalkulator do równań różniczkowych

Jak używać kalkulatora?

Krystian Karczyński

Fragment powstającego Kursu Równań Różniczkowych (VIDEO)

Kurs Równań Różniczkowych – fragment 2 (VIDEO)

Related Posts

88 Comments

Dzień dobry dostałem taką zagadkę

Iga

Anna

Energetyk98

Monia

Krystian

Krenig Kacper 1PBA 19

Krystian

Magda

Agata

GalachadV (Edyta)

Łukasz

Paweł

Kasia

eliza

Kasia

Kasia

Kumori

Moniaa

Berner paulina

haniasss

Dawid

Dawid

BBB

Ania

Maciej1

Krzysiek22

andtom

andtom

andtom

ewcia5665

ewcia5665

Ada

Paulina

Paulina

Mateusz

Martyna

Syll

Kamil Kocot

Piter

Syll

Kamil Kocot

ROck

Kamil Kocot

Kamil

Kamil Kocot

Karolina

JOANNA

studentka

Kamil Kocot

Joanna

Krystian Karczyński

Joanna

Paweł

Krystian Karczyński

Paweł

Aleksandra

Krystian Karczyński

Monika

Krystian Karczyński

RN

Krystian Karczyński

KM

Krystian Karczyński

Ryhor Abramovich

Adam Kołodziejski

Agatha

Amelia

Krystian Karczyński

Amelia

Mariusz

Krystian Karczyński

Michał