Instrukcja wpisywania formuł matematycznych do komentarzy

Komentarze – Latex

Na moim blogu możesz dodawać formuły i wzory matematyczne w języku Latex, pomiędzy tagami i [/latex].

Pełną listę formuł w języku Latex możesz znaleźć na przykład tutaj:

Kurs Latexa

Na przykład:

Aby wpisać do komentarza: $x^2$ musiałbyś wpisać w pole komentarza:
Aby wpisać do komentarza: $\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}$ musiałbyś wpisać w pole komentarza: $latex \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}$
Aby wpisać do komentarza: $\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}$ wpisz w pole komentarza: $latex \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}$
Aby wpisać do komentarza: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}$ wpisz w pole komentarza: $latex \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}$
Aby wstawić do Swojego komentarza macierz: $\left[ \begin{matrix}3&0\\ 4&-2\end{matrix} \right]$ wpisz w pole komentarza: $latex \left[ \begin{matrix} 3&0\\ 4&-2 \end{matrix} \right]$

Nie bój się eksperymentować, w razie błędu poprawię Twoją formułę!

38 Comments

Domcia
11 maja 2014 at 14:10

Mam do policzenia fantastyczną całkę z którą nie jestem w stanie sobie poradzić , odpowiedzi na tyłach mojej ukochanej ksiązki do matematyki jest inna niż oblicza to kalkulator całek próbowałam juz na milon sposobów $\int\left({{sin}^{3}{{2}*{x}}}\right)dx}$ w koncu zrobiłam podwójne podstawienie : pierwsze za 2x a drugie za cos t wychodzi mi wynik ale nie wiem jak go uporządkować , żeby wyszedł wynik tak jak w kalkulatorze albo w książce , więć suma sumarum nadal nie wiem czy robie to dobrze. Pomocy 🙁

Reply
1. Domcia
  11 maja 2014 at 14:12
  
  yy coś nie wyszło z tą formułą ;x napisze słownie : całka nieoznaczona z sin^3(2x) , taka niewinna………. a doprowadza mnie do palpitacji serca.
2. Krystian Karczyński
  12 maja 2014 at 14:01
  
  To będzie tak:
  
  $\int{{{sin }^{3}}2xdx}=\int{sin 2x{{sin }^{2}}2xdx}=\int{sin 2x\left( 1-{{cos }^{2}}2x \right)dx}=\left| \begin{matrix} & t=cos 2x \\ & dt=-2sin 2xdx \\ & -\frac{dt}{2}=sin 2xdx \end{matrix} \right|=$
  
  $=\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)\left( -\frac{dt}{2} \right)}=-\frac{1}{2}\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)dt}=-\frac{1}{2}\int{dt}+\frac{1}{2}\int{{{t}^{2}}dt}=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{{t}^{3}}+C=$
  
  $=-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{6}{{cos }^{3}}2x+C$
Paweł
15 kwietnia 2014 at 17:11

Proszę o pomoc w policzeniu całki: całka w granicach od 0 do a (1-(x/a)^1/2)arcsin(((1-x/a)/(1+x/a))^1/2)dx

albo całka (3a^2-x^2)arcsin(((3a^2-x^2)/(3a^2-x^2))^1/2)dx

powtarza się ona dość często przy objętościach brył

Reply
damian01237
21 marca 2014 at 11:16

prosze o pomoc w zadaniu
zbadać ekstremum funkcji
f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)

Reply
1. damian01237
  17 kwietnia 2014 at 16:53
  
  chyba coś Panu się nie chce robić tego typu zadania
2. damian01237
  12 maja 2014 at 21:52
  
  napisze mi Pan to rozwiazanie do tego zadania???
3. Ryhor Abramovich
  24 października 2016 at 01:31
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  Rozwiązanie:
  
  Liczymy pochodne cząstkowe, korzystając ze wzoru
  
  $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe$ :
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals$
  
  $open parentheses 2 x plus 0 close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets apostrophe equals$
  
  $2 x times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 1 close parentheses times open parentheses 2 x plus 0 close parentheses equals$
  
  $e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 2 x plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses negative 2 x close parentheses close square brackets equals e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times 2 x times open square brackets 1 minus open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  i analogiczne:
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 2 y times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals$
  
  $2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  Dalej tworzymy układ równań: $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals 0 end cell row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 0 end cell end table close$ czyli
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell row cell 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell end table close$
  
  Podzieliwszy oba równania przez $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent not equal to 0$ , mamy:
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell row cell y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell end table close$
  
  Iloczyn dwoch liczb jest równy zera wtedy, kiedy przynajmniej jedna z tych liczb równa się zeru.
  
  Z pierwszego równania mamy, że
  
  $open parentheses I close parentheses space x equals 0$ lub $open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0$ .
  
  Rozpatrzymy obie możliwości.
  
  Gdy $open parentheses I close parentheses space x equals 0$ , wtedy z drugiego równania mamy:
  
  $y times open parentheses 1 minus y squared close parentheses equals 0$
  
  Czyli znowu mamy dwie możliwości:
  
  $open parentheses I a close parentheses space y equals 0 comma space open parentheses I b close parentheses space 1 minus y squared equals 0$
  
  Ostatecznie otrzymamy punkty
  
  $P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ – tzw. punkty stacjonarne, czyli podejrzane na ekstremum.
  
  Gdy $open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0$ , wtedy oba równania układu są równe zero. Tzn, w tym przypadku mamy nieskończoną ilość punktów stacjonarnych, spełniających warunek $1 minus x squared minus y squared equals 0$ , czyli $x squared plus y squared equals 1$
  
  Jednak, w takim razie funkcja
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 1 times e to the power of negative 1 end exponent equals 1 over e$
  
  jest funkcją stałą, żadnych ekstremum nie mająca.
  
  Dalej liczymy pochodne drugiego rzędu według wzoru:
  
  $open parentheses u times v times w close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v times w plus u times v apostrophe times w plus u times v times w apostrophe$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential x end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential x end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $open parentheses 2 x close parentheses apostrophe times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus$
  
  $2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals 2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus$
  
  $2 x times open parentheses negative 2 x close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 x close parentheses equals$
  
  $2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 1 minus x squared minus y squared minus 2 x squared minus 2 x squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 3 x squared minus y squared minus 2 x squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 x squared minus y squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses$
  
  i analogiczne:
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $2 x times open square brackets open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe close square brackets equals$
  
  $2 x times open square brackets open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 x times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 plus 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals negative 4 x y times open parentheses 2 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open square brackets 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus y squared minus 2 y squared minus 2 y squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 3 y squared minus 2 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 5 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses$
4. Ryhor Abramovich
  14 listopada 2016 at 01:42
  
  Następny krok – to obliczanie tych pochodnych w punktach stacjonarnych. Niech
  
  $A equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction space comma space B equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction space comma space C equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction$
  
  Wtedy:
  
  $A subscript 1 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 0 squared close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2$
  
  $B subscript 1 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 0 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  $C subscript 1 equals fraction numerator \partial differential f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 0 squared plus 2 times 0 squared times 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2$
  
  $A subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0$
  
  $B subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  $C subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e$
  
  Ponieważ $P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ , a funkcja
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$ jest parzysta, to
  
  $A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0$
  
  $B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0$
  
  $C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e$
  
  Dalej liczymy hesjan:
  
  $H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared$
  
  $H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4$
  
  $H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0$
  
  $H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0$
  
  Ponieważ
  
  $H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0$ ,
  
  to w punkcie $P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja osiąga minimum lokalne, i
  
  $f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  Ponieważ
  
  $H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0$
  
  to w punktach $P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses$ oraz $P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań).
  
  Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek
  
  $x squared plus y squared equals 1$
  
  dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.
  
  Odpowiedź:
  
  $f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0$
Adrian
20 lutego 2014 at 13:32

Witam czy mógłby ktoś sprawdzić czy wykonałem to zadanie prawidłowo ? Chodzi m.in o ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych.
F(x,y)= $x^3$ – $x^2$ + $y^2$ – 2xy + 3
D:x iy należą do R
F’x(x,y)= $3x^2$ – 2x – 2y
F’y(x,y)= 2y-2x

$3x^2$ – 2x – 2y=0
2y-2x=0

2y=2x/:2
y=x

$3x^2$ – 2x – 2x= 0
$3x^2$ – 4x=0
x(3x-4)=0
x=0 lub 3x=4/:3
x=0 lub x=4/3
y=0 y=4/3

P1(0,0) , P2(4/3,4/3)

f’xx(x,y)= 6x-2
f’yx(x,y)= -2
F’xy(x,y)=-2
F’yy(x,y)=2

W(x,y)= $\left| \begin{matrix} 6x-2 & -2 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right|$
W(0,0)= po wyliczeniu wyszło mi 0 – czyli nie można określić czy istnieje ekstremum
W(4/3, 4/3) = po wyliczeniu wyszło mi 8 i ,że osiąga minimum .

Z góry dziękuję za sprawdzenie 🙂

Reply
1. Krystian Karczyński
  24 lutego 2014 at 09:58
  
  Wszystko dobrze, z wyjątkiem samego ostatniego kroku, czyli wyliczenia wartości w ekstremum. Powinno być:
  
  ${{f}_{min }}\left( \frac{4}{3},\frac{4}{3} \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}+3=\frac{64}{27}-\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+3=$
  
  $=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+3=\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{81}{27}=\frac{49}{27}$
Grzegorz
5 lutego 2014 at 17:53

Witam, jak zachowac się w takim przypadku,z jakiego wzoru korzystac $inte^-{a1+a2}*t dt$

Reply
1. Anna Zalewska
  2 listopada 2016 at 13:36
  
  $integral e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t space d t$
  
  W powyższej całce całkujemy po zmiennej $t$ , zatem całe wyrażenie $e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent$ jest stałą. Mamy więc prostą całkę do obliczenia:
  
  $integral e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t space d t equals e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent \integral t space d t equals e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent times 1 half t squared plus C equals 1 half e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t squared plus C$
Norbert
1 lutego 2014 at 10:55

Mam problem z zadaniem. A mianowicie : Okno ma kształt prostokąta zakończonego trójkątem równobocznym. Obwód całego okna jest równy 4m. Jakie powinny być wymiary części prostokątnej aby okno przeprowadzało jak najwięcej światła ? ( Korzystamy z pochodnej )

Reply
1. Anna Zalewska
  1 listopada 2016 at 00:43
  
  Oznaczmy boki trójkąta równobocznego przez $x$ oraz boki prostokąta przez $x$ i $y$ .
  
  Obliczymy obwód takiego okna: $3 x plus 2 y equals 4$
  
  Okno będzie przeprowadzało najwięcej światła, kiedy pole jego powierzchni będzie największe. Obliczamy pole stosując oznaczenia z rysunku:
  
  $P equals x times y plus fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction$
  
  Z równania prezentującego obwód okna wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do wzoru na pole.
  
  $3 x plus 2 y equals 4$
  $2 y equals 4 minus 3 x space space space space space divided by colon 2$
  $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x$
  
  $Error converting from MathML to accessible text.$
  
  Otrzymaliśmy wzór wyrażający pole okna w zależności od zmiennej $x$ :
  
  $P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus 3 over 2 x squared plus fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction$
  
  Aby obliczyć $x$ , dla którego wartość pola będzie największa, wyznaczymy pochodną i ekstrema:
  
  $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 minus 2 times \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style plus end style 2 times \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals 2 minus 3 x plus \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style$
  $2 minus 3 x plus \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style equals 0 space space space space space space space space divided by times 2$
  $4 minus 6 x plus \begin inline style x square root of 3 end style equals 0$
  $negative 6 x plus \begin inline style x square root of 3 end style equals negative 4$
  $x \left parenthesis negative 6 plus \begin inline style square root of 3 end style \right parenthesis equals negative 4 space space space space space space space divided by colon \left parenthesis negative 6 plus \begin inline style square root of 3 end style \right parenthesis$
  $x equals negative fraction numerator 4 over denominator negative 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  
  Dla $x less than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ mamy $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis greater than 0$ , czyli $P \left parenthesis x \right parenthesis space north east arrow$ .
  Dla $x greater than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ mamy $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis less than 0$ , czyli $P \left parenthesis x \right parenthesis space south east arrow$ .
  
  Zatem $x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ jest maksimum funkcji $P \left parenthesis x \right parenthesis$ w swojej dziedzinie.
  
  Obliczymy $y$ dla wyznaczonego $x$ :
  $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style times fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction equals 2 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals 22 over 11 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction$
  
  Zatem, aby okno przeprowadzało najwięcej światła, wymiary prostokąta powinny być następujące:
  
  bok wspólny z trójkątem równobocznym: $x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  drugi bok: $y equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction$
  
  W powyższym rozwiązaniu użyłam pochodnej, ponieważ tak sugerowała treść zadania. Można jednak posłużyć się prostszą metodą:
  
  Otrzymaliśmy wzór na pole okna: $P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style blank squared end style \begin inline style plus end style \begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals x squared open parentheses \begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end style minus \begin inline style 3 over 2 end style close parentheses plus 2 x$ dla $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x$ .
  Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku $a equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction minus 3 over 2 equals fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction less than 0$ . Aby obliczyć wartość największą takiej funkcji, wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem, a dokładnie pierwszą współrzędną: $p equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction$
  
  $p equals negative fraction numerator 2 over denominator 2 open parentheses fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction close parentheses end fraction equals negative fraction numerator 1 over denominator fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction end fraction equals negative fraction numerator 4 over denominator square root of 3 minus 6 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals$
  $equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  
  Dalsze obliczenia, jak wyżej.
Joanna
22 maja 2013 at 10:52

Witam. Czy mógłby mi Pan pomoc z rozwinieciem podanych funkcji w szereg Maclaurina
f(x)= ln(1+e^x)
f(x)= e^{-x^2}
f(x)=e^xsin
f(x)=sin^2 x

Reply
1. Kamil Kocot
  24 października 2016 at 01:58
  
  Aby rozwinąć funkcje bardziej złożone w szereg Maclaurina bardzo często korzystamy z gotowych rozwinięć prostszych funkcji. I tak w przypadku funkcji $f \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of negative x squared end exponent$ skorzystamy z szeregu
  
  $e to the power of x equals 1 plus x plus fraction numerator x squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator x cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction$
  
  Podstawiając $x \rightwards arrow negative x squared$ dostaniemy
  
  $e to the power of negative x squared end exponent equals 1 plus open parentheses negative x squared close parentheses plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction e to the power of negative x squared end exponent equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 2 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 3 factorial end fraction horizontal ellipsis plus \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction$
2. Kamil Kocot
  24 października 2016 at 02:11
  
  Dla funkcji $f \left parenthesis x \right parenthesis equals sin squared x space$ skorzystamy z rozwinięcia
  
  $cos x equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent$
  
  oraz przekształcenia:
  
  $cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x equals 1 minus 2 sin squared x sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses$
  
  Stąd
  
  $sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses equals 1 half minus 1 half open parentheses 1 minus open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half minus 1 half minus 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals negative 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half open parentheses open parentheses 2 x close parentheses squared minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half open parentheses 2 squared x squared minus 2 to the power of 4 fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 6 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 2 to the power of 1 x squared minus 2 cubed fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 5 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 1 to infinity of 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent$
Krzysztof
11 marca 2013 at 22:59

proszę o pomoc w rozwiązaniu
$\underset{x\to\infty}{\mathop{lim}},\frac{{x}^{1/m}-1}{{x}^{1/n}-1}$

Reply
1. Krystian Karczyński
  21 marca 2013 at 10:02
  
  A czy stałe $m$ i $n$ to liczby naturalne i mamy na ich temat jakieś założenia?
mary
21 stycznia 2013 at 23:31

int{2x}{x/2}{e^(-t^2)}dt proszę o pomoc

Reply
1. Krystian Karczyński
  25 stycznia 2013 at 11:11
  
  Przykro mi, nie mogę odczytać tej całki… Ale jeżeli jedyna funkcja zmiennej $t$ w wyrażeniu podcałkowym to ${{e}^{-{{t}^{2}}}}$ i całka jest po $dt$ to wygląda mi to na całkę nieelementarną (taką, którą nie można wyrazić wzorem)…
Artur
9 listopada 2012 at 17:19

Co do wyniku końcowego to teraz myślę że uda mi się napisać poprawnie tą formułę
$\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{2}+\frac{1}{2}ln|sqrt{x^{2}+1}+x|-\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{-2}+C$

Reply
1. Ryhor Abramovich
  20 października 2016 at 13:43
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x$
  
  Rozwiązanie:
  
  Stosujemy całkowanie przez części:
  
  $integral u times v apostrophe equals u times v minus \integral v times u apostrophe$
  
  oraz rekurencję, i otrzymamy:
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x equals open vertical bar table row cell u equals square root of x squared plus 1 end root end cell cell v apostrophe equals d x end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared plus 1 end root end fraction times 2 x d x equals fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction end cell cell v equals x end cell end table close vertical bar equals$ $square root of x squared plus 1 end root times x minus$
  
  $negative \integral x times fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral fraction numerator x squared d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral fraction numerator x squared plus 1 minus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d x equals$
  
  $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral open parentheses fraction numerator x squared plus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction minus fraction numerator 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction close parentheses d x equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral square root of x squared plus 1 end root d x plus \integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$
  
  $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral square root of x squared plus 1 end root d x plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$
  
  Niech
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x equals K$ . Wtedy
  
  $K equals x times square root of x squared plus 1 end root minus K plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$
  
  Stąd przenosimy K z prawej strony tego równania do lewej i mamy:
  
  $2 K equals x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$ ,
  
  i ostatecznie:
  
  $K equals \integral square root of x squared plus 1 end root d x equals 1 half times open square brackets x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses close square brackets plus C$
Artur
9 listopada 2012 at 17:13

Dzień dobry !
Panie Krystianie mam do takie małe pytanie co do pewnej całki a mianowicie do $\intsqrt{x^{2}+1}dx$

Zrobiłem to przez pierwsze podstawienie Eulera i wyszedłem na coś takiego ( wynik końcowy)
$\intsqrt{x^{2}+1}dx = (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^{2}+(1/2)*ln(sqrt(x^{2}+1)+x) – (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^[-2} +C$

Reply
Kasia
25 kwietnia 2012 at 21:11

Witam! Jak poradzić sobie z taką całką [pmath]int{}{}{\sqrt{e^x-1}dx}[/pmath] Bardzo proszę o pomoc 🙂

Reply
1. Krystian Karczyński
  27 kwietnia 2012 at 13:06
  
  Trzeba trochę nietypowo z podstawieniem zadziałać:
  
  $\int{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}dx=\left| \begin{matrix} &t=\sqrt{{{e}^{x}}-1}\ &{{t}^{2}}={{e}^{x}}-1\Rightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}+1\ &2tdt={{e}^{x}}dx\ &2tdt=\left( {{t}^{2}}+1 \right)dx\ &dx=\frac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}\end{matrix} \right|=\int{\tfrac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}=2\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}dt}=}2\int{\frac{{{t}^{2}}+1-1}{{{t}^{2}}+1}dt=}$
  
  $=2\left( \int{\frac{{{t}^{2}}+1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt} \right)=2\left( \int{dt}-arctgt \right)+C=2\left( t-arctgt \right)+C=2\left( \sqrt{{{e}^{x}}-1}-arctg\sqrt{{{e}^{x}}-1} \right)+C$
Łukasz
19 kwietnia 2012 at 23:12

Witam. Mam problem ze zbadaniem ekstremów globalnych funkcji: f(x,y)=[pmath]x^4[/pmath]+[pmath]y^4[/pmath]-[pmath]2x^2[/pmath]+4xy-[pmath]2y^2[/pmath] W obszarze: x=0; y=0; x+y=5 Nie mogę jednoznacznie wyliczyć miejsca zerowego pierwszej pochodnej. Punkt podejrzewany o to, że może być ekstremum wyszedł mi P1(0,0). Uważam, że nie należy on do obszaru D, a leży na jego brzegu. Czy ten punkt jest ekstremum globalnym funkcji, czy ekstremum w takim razie w ogóle nie istnieje? Dziękuję za wyjaśnienie tego przykładu. Pozdrawiam.

Reply
1. Krystian Karczyński
  20 kwietnia 2012 at 09:17
  
  Witam!
  
  1. Jeśli punkt, w którym obie pochodne cząstkowe równe są zero wychodzi na brzegu nie ma problemu – NALEŻY on do obszaru i być może jest ekstremum globalnym.
  
  2. W tym konkretnym przykładzie punkt (0,0) nie jest jedynym „miejscem zerowym” pochodnych cząstkowych, oprócz niego są to punkty : ${{P}_{1}}\left( -\sqrt{2},sqrt{2} \right),{{P}_{2}}\left( \sqrt{2},sqrt{-2} \right)$
  
  3. Trzeba pamiętać o sprawdzeniu największych/najmniejszych wartości na brzegach obszaru być może ekstrema globalne są właśnie tam, a nie w „miejscach zerowych” pochodnych cząstkowych. Chociaż akurat nie w tym przypadku. Pokazuję, jak to się robi w moim Kursie.
  
  4. Rozwiązanie tego konkretnego zadania można sprawdzić w Wolframie: Rozwiązanie 🙂
2. Łukasz
  20 kwietnia 2012 at 19:02
  
  dziękuję za odpowiedź.Sprawdzałem min.i max. wartości na brzegach obszaru .Wychodzi mi między innymi f(5)=575. To jest chyba jakiś błędny wynik. Poza tym na brzegu o równaniu y=5-x jak podstawiłem to równanie do funkcji początkowej f(x,y) to wyszła mi jakaś masakra.Nawet nie policzyłem z tego pochodnej. Gdzieś popełniam chyba błąd lub czegoś nie rozumiem. Proszę o pomoc.
  Łukasz.
3. Anna Zalewska
  3 listopada 2016 at 03:32
  
  $f \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals x to the power of 4 plus y to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x y minus 2 y squared$
  
  Zaczniemy od wyznaczenia pochodnych I-go rzędu:
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals 4 x cubed minus 4 x plus 4 y$
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals 4 y cubed plus 4 x minus 4 y$
  
  Obliczamy współrzędne punktów podejrzanych o ekstremum:
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 4 x cubed minus 4 x plus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell row cell 4 y cubed plus 4 x minus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x cubed minus x plus y equals 0 end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x minus open parentheses negative x cubed plus x close parentheses equals 0 end cell end table close$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x plus x cubed minus x equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x cubed equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x space space plus space space x close parentheses open parentheses open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses squared minus open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses x plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus 2 x to the power of 4 plus x squared plus x to the power of 4 minus x squared plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus x to the power of 4 plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x open parentheses x squared minus 2 close parentheses x squared open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 plus 2 x squared plus 1 minus 3 x squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared minus open parentheses square root of 3 x close parentheses squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x squared minus square root of 3 x plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus square root of 3 x plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $x equals 0 space logical or space x equals square root of 2 space logical or space x equals negative square root of 2 space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses space space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative 0 cubed plus 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 cubed plus square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative open parentheses negative square root of 2 close parentheses cubed plus open parentheses negative square root of 2 close parentheses end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals square root of 2 end cell end table close$
  
  Punkty podejrzane o ekstremum to: $open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses comma space open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses$
  Wszystkie te punkty mieszczą się we wskazanym obszarze ograniczonym prostymi: $x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5$ .
  
  Obliczamy pochodne cząstkowe II-go rzędu:
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals 12 x squared minus 4$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y \partial differential x end fraction equals 4$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4$
  
  Macierz Hessego ma postać:
  
  $H subscript f \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets$
  
  $H subscript f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals H subscript f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets$
  
  $M subscript 1 \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals M subscript 1 \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 20 greater than 0$
  
  $M subscript 2 \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals M subscript 2 \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0$
  
  Zatem w punktach $open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses$ oraz $open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses$ podana funkcja ma minima lokalne właściwe.
  
  $H subscript f \left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets$
  
  $M subscript 2 \left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0$
  
  Na razie nie wiemy, czy w punkcie $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja $f$ ma ekstremum.
  
  Dla $x equals 0$ mamy: $f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared$ . Wtedy punkt $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ to maksimum lokalne funkcji $f$ .
  
  Dla $y equals x$ mamy:
  $f \left parenthesis x comma x \right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4$ . Wtedy
  punkt $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ to minimum lokalne.
  
  Zatem w punkcie $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja $f$ nie posiada ekstremum.
  
  Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: $x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5$ .
4. Anna Zalewska
  3 listopada 2016 at 12:42
  
  Dla $x equals 0$ mamy: $f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared$ . Minimum lokalne dla $y equals 1$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis$ .
  $f \left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis equals negative 1$
  
  Dla $y equals 0$ mamy: $f \left parenthesis x comma 0 \right parenthesis equals x to the power of 4 minus 2 x squared$ . Minimum lokalne dla $x equals 1$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis$ .
  $f \left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis equals negative 1$
  
  Dla $y equals 5 minus x$ mamy: $f \left parenthesis x comma 5 minus x \right parenthesis equals 2 open parentheses 5 minus x close parentheses to the power of 4$ . Minimum lokalne dla $x equals 5$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis$
  $f \left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis equals 575$
  
  Ponadto obliczymy wartość w punkcie $left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis$ , ponieważ jest to wierzchołek trójkąta wyznaczonego przez zadany obszar. Wartość w drugim wierzchołku $left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis$ obliczyliśmy powyżej. W przypadku trzeciego wierzchołka $left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis$ powyżej stwierdziliśmy, że nie jest ekstremum.
  $f \left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis equals 575$
  
  Obliczymy również wartości minimum w wyznaczonych wcześniej punktach wewnątrz obszaru:
  $f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8$
  $f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8$
Martyna
1 kwietnia 2012 at 11:23

Witam. Mam prośbę. Chodzi o rozwiązanie takich przykładów do polecenia: Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji….., wyznaczyć szeregi Maclaurina podanych funkcji.
f(x)= x* [pmath] e^{-2x} [/pmath]
f(x)= cos (pix)

Reply
1. Krystian Karczyński
  2 kwietnia 2012 at 12:32
  
  Ten pierwszy przykład poszedł na Facebooku, wkleję może jeszcze raz obrazek…
2. Krystian Karczyński
  2 kwietnia 2012 at 19:54
  
  Co do tego drugiego przykładu, zgaduję trochę, że chodzi o to, aby rozwinąć $cos \pi x$ korzystając ze znanego już rozwinięcia $cos x$ – prawda?
  
  No więc nasze ZNANE już na wejściu rozwinięcie $cos x$ w szereg Maclaurina wygląda tak:
  
  $cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}-\frac{{{x}^{6}}}{6!}+\frac{{{x}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}$
  
  Żeby zaś rozwinąć $cos \pi x$ wstawiamy po prostu do niego wszędzie w miejsce $x$ -> $\pi x$ i mamy:
  
  $cos \pi x=1-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2}}}{2!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{4}}}{4!}-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{6}}}{6!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}$
  
  Wszystko 🙂
Jacek
2 czerwca 2011 at 17:45

Witam.
Mam problem z obliczeniem tej całaki oznaczonej. Prosiłem o pomoc już kilka osób, ale nie potrafią mi pomóc. Czy jesteście w stanie to rozwiązać?
[pmath]int{1}{2}{1/x(x^3-1)}[/pmath]

Reply
1. Krystian Karczyński
  2 czerwca 2011 at 18:31
  
  Miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}[/pmath] – prawda?
2. Krystian Karczyński
  4 czerwca 2011 at 04:05
  
  Jeżeli miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
  
  to:
  
  1. To nie jest całka oznaczona, to jest całka niewłaściwa (proszę wstawić 1 z granic całkowania, dostaniemy dzielenie przez zero).
  
  2. Trzeba policzyć całkę nieoznaczoną taką: [pmath]int{}{}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
  
  Jest to żmudna, ale nie taka trudna, całka wymierna. Wyjdzie wynik (z kalkulatora wzięty) taki:
  
  [pmath]-ln{delim{|}{x}{|}}-{1/3}ln{delim{|}{x^3-1}{|}}+C[/pmath]
  
  3. Nie możemy wstawić do wyniku na żywca granic całkowania (to jest całka niewłaściwa), wstawiamy więc zamiast 1 [pmath]epsilon{right}1[/pmath] i przechodzimy do granicy, która równa będzie:
  
  [pmath]-{\infty}[/pmath]
  
  Jest to więc całka ROZBIEŻNA. Co do znaku nieskończoności mogłem się dziabnąć z tym kalkulatorem, ale całka jest ROZBIEŻNA.

Instrukcja wpisywania formuł matematycznych do komentarzy

Komentarze – Latex

38 Comments

Domcia

Domcia

Krystian Karczyński

Paweł

damian01237

damian01237

damian01237

Ryhor Abramovich

Ryhor Abramovich

Adrian

Krystian Karczyński

Grzegorz

Anna Zalewska

Norbert

Anna Zalewska

Joanna

Kamil Kocot

Kamil Kocot

Krzysztof

Krystian Karczyński

mary

Krystian Karczyński

Artur

Ryhor Abramovich

Artur

Kasia

Krystian Karczyński

Łukasz

Krystian Karczyński

Łukasz

Anna Zalewska

Anna Zalewska

Martyna

Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

Jacek

Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

Leave a Reply Anuluj pisanie odpowiedzi

Sign in

Sign up