Komentarze – Latex
Na moim blogu możesz dodawać formuły i wzory matematyczne w języku Latex, pomiędzy tagami i [/latex].
Pełną listę formuł w języku Latex możesz znaleźć na przykład tutaj:
Na przykład:
- Aby wpisać do komentarza: x^2musiałbyś wpisać w pole komentarza:
- Aby wpisać do komentarza: \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}musiałbyś wpisać w pole komentarza:
- Aby wpisać do komentarza: \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}wpisz w pole komentarza:
- Aby wpisać do komentarza: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}wpisz w pole komentarza:
- Aby wstawić do Swojego komentarza macierz: \left[ \begin{matrix}3&0\\ 4&-2\end{matrix} \right]wpisz w pole komentarza:
Nie bój się eksperymentować, w razie błędu poprawię Twoją formułę!
Mam do policzenia fantastyczną całkę z którą nie jestem w stanie sobie poradzić , odpowiedzi na tyłach mojej ukochanej ksiązki do matematyki jest inna niż oblicza to kalkulator całek próbowałam juz na milon sposobów \int\left({{sin}^{3}{{2}*{x}}}\right)dx}w koncu zrobiłam podwójne podstawienie : pierwsze za 2x a drugie za cos t wychodzi mi wynik ale nie wiem jak go uporządkować , żeby wyszedł wynik tak jak w kalkulatorze albo w książce , więć suma sumarum nadal nie wiem czy robie to dobrze. Pomocy 🙁
yy coś nie wyszło z tą formułą ;x napisze słownie : całka nieoznaczona z sin^3(2x) , taka niewinna………. a doprowadza mnie do palpitacji serca.
To będzie tak:
\int{{{sin }^{3}}2xdx}=\int{sin 2x{{sin }^{2}}2xdx}=\int{sin 2x\left( 1-{{cos }^{2}}2x \right)dx}=\left| \begin{matrix}
& t=cos 2x \\
& dt=-2sin 2xdx \\
& -\frac{dt}{2}=sin 2xdx \end{matrix} \right|=
=\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)\left( -\frac{dt}{2} \right)}=-\frac{1}{2}\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)dt}=-\frac{1}{2}\int{dt}+\frac{1}{2}\int{{{t}^{2}}dt}=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{{t}^{3}}+C=
=-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{6}{{cos }^{3}}2x+C
Proszę o pomoc w policzeniu całki: całka w granicach od 0 do a (1-(x/a)^1/2)arcsin(((1-x/a)/(1+x/a))^1/2)dx
albo całka (3a^2-x^2)arcsin(((3a^2-x^2)/(3a^2-x^2))^1/2)dx
powtarza się ona dość często przy objętościach brył
prosze o pomoc w zadaniu
zbadać ekstremum funkcji
f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)
chyba coś Panu się nie chce robić tego typu zadania
napisze mi Pan to rozwiazanie do tego zadania???
Rozwiązanie:
Liczymy pochodne cząstkowe, korzystając ze wzoru
i analogiczne:
Dalej tworzymy układ równań:![open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals 0 end cell row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 0 end cell end table close](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals 0 end cell row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 0 end cell end table close](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/c2/30/051eaba5bc43d18360c150dab417.png)
czyli
Podzieliwszy oba równania przez![2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent not equal to 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent not equal to 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e3/97/1a28bf6480c934b5ec35c77a461f.png)
, mamy:
Iloczyn dwoch liczb jest równy zera wtedy, kiedy przynajmniej jedna z tych liczb równa się zeru.
Z pierwszego równania mamy, że
Rozpatrzymy obie możliwości.
Gdy![open parentheses I close parentheses space x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses I close parentheses space x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses I close parentheses space x equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/46/90/9a8bb65748eda74c057767b76789.png)
, wtedy z drugiego równania mamy:
Czyli znowu mamy dwie możliwości:
Ostatecznie otrzymamy punkty
Gdy![open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/7a/13/3b071b435eef20cf764a557fcbfa.png)
, wtedy oba równania układu są równe zero. Tzn, w tym przypadku mamy nieskończoną ilość punktów stacjonarnych, spełniających warunek ![1 minus x squared minus y squared equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![1 minus x squared minus y squared equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/b7/b0/1e16fe6f4c31af02bdc73603b732.png)
, czyli ![x squared plus y squared equals 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x squared plus y squared equals 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x squared plus y squared equals 1](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f3/86/c317e2d5398fe1c7065ab4acc2f9.png)
Jednak, w takim razie funkcja
jest funkcją stałą, żadnych ekstremum nie mająca.
Dalej liczymy pochodne drugiego rzędu według wzoru:
i analogiczne:
Następny krok – to obliczanie tych pochodnych w punktach stacjonarnych. Niech
Wtedy:
Ponieważ![P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/a4/2f/c7b0d24ba2abd7a4aaf28252f308.png)
, a funkcja
Dalej liczymy hesjan:
Ponieważ
to w punkcie![P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/6f/85/2dda76d5bc3de69ec8178e03e623.png)
funkcja osiąga minimum lokalne, i
Ponieważ
to w punktach![P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/fe/7c/bcc9fa8412c708f3e5b1f0a3365f.png)
oraz ![P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/2a/62/9d943026777a599edb10abe40725.png)
sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań).
Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek
dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.
Odpowiedź:
Witam czy mógłby ktoś sprawdzić czy wykonałem to zadanie prawidłowo ? Chodzi m.in o ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych.
F(x,y)= x^3– x^2+ y^2– 2xy + 3
D:x iy należą do R
F’x(x,y)= 3x^2– 2x – 2y
F’y(x,y)= 2y-2x
3x^2– 2x – 2y=0
2y-2x=0
2y=2x/:2
y=x
3x^2– 2x – 2x= 0
3x^2– 4x=0
x(3x-4)=0
x=0 lub 3x=4/:3
x=0 lub x=4/3
y=0 y=4/3
P1(0,0) , P2(4/3,4/3)
f’xx(x,y)= 6x-2
f’yx(x,y)= -2
F’xy(x,y)=-2
F’yy(x,y)=2
W(x,y)= \left| \begin{matrix}
6x-2 & -2 \\
-2 & -2 \end{matrix} \right|
W(0,0)= po wyliczeniu wyszło mi 0 – czyli nie można określić czy istnieje ekstremum
W(4/3, 4/3) = po wyliczeniu wyszło mi 8 i ,że osiąga minimum .
Z góry dziękuję za sprawdzenie 🙂
Wszystko dobrze, z wyjątkiem samego ostatniego kroku, czyli wyliczenia wartości w ekstremum. Powinno być:
{{f}_{min }}\left( \frac{4}{3},\frac{4}{3} \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}+3=\frac{64}{27}-\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+3=
=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+3=\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{81}{27}=\frac{49}{27}
Witam, jak zachowac się w takim przypadku,z jakiego wzoru korzystac inte^-{a1+a2}*t dt
W powyższej całce całkujemy po zmiennej![t](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![t](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/55/35/14cdd59548dc84216a06892170a8.png)
, zatem całe wyrażenie ![e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/65/94/093bdf1fe95f2672c99292eb591f.png)
jest stałą. Mamy więc prostą całkę do obliczenia:
Mam problem z zadaniem. A mianowicie : Okno ma kształt prostokąta zakończonego trójkątem równobocznym. Obwód całego okna jest równy 4m. Jakie powinny być wymiary części prostokątnej aby okno przeprowadzało jak najwięcej światła ? ( Korzystamy z pochodnej )
Oznaczmy boki trójkąta równobocznego przez![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/09/06/011f3a5875232c2aad39e52caca7.png)
oraz boki prostokąta przez ![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/09/06/011f3a5875232c2aad39e52caca7.png)
i ![y](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/68/43/23164be0eab85d2a7dea420a7715.png)
.
Obliczymy obwód takiego okna:![3 x plus 2 y equals 4](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![3 x plus 2 y equals 4](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![3 x plus 2 y equals 4](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/91/c1/4117b8d807fe7ee8cc812378f362.png)
Okno będzie przeprowadzało najwięcej światła, kiedy pole jego powierzchni będzie największe. Obliczamy pole stosując oznaczenia z rysunku:
Z równania prezentującego obwód okna wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do wzoru na pole.
Otrzymaliśmy wzór wyrażający pole okna w zależności od zmiennej![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/09/06/011f3a5875232c2aad39e52caca7.png)
:
Aby obliczyć![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/09/06/011f3a5875232c2aad39e52caca7.png)
, dla którego wartość pola będzie największa, wyznaczymy pochodną i ekstrema:
Dla![x less than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x less than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/2b/0f/57f7c0afcb2a5a7418d75ccb82ef.png)
mamy ![P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis greater than 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis greater than 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/26/fd/8eae8d96af9b5cb1d1bcae2fbced.png)
, czyli ![P \left parenthesis x \right parenthesis space north east arrow](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P \left parenthesis x \right parenthesis space north east arrow](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ae/79/7cee47f3080d3164e89b201a114d.png)
.![x greater than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x greater than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/62/fa/84a760dc1803154da13e1b5e4bcb.png)
mamy ![P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis less than 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis less than 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/1b/07/8b7a88ac153de906a5ef7ba46495.png)
, czyli ![P \left parenthesis x \right parenthesis space south east arrow](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P \left parenthesis x \right parenthesis space south east arrow](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/9e/c5/6cc11557f154991a2de427dc4496.png)
.
Dla
Zatem![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ab/1c/ff7072d81516a72a0e4eea85f22f.png)
jest maksimum funkcji ![P \left parenthesis x \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P \left parenthesis x \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ad/86/7bb179a5f9273832a92fbeed59ae.png)
w swojej dziedzinie.
Obliczymy![y](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/68/43/23164be0eab85d2a7dea420a7715.png)
dla wyznaczonego ![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/09/06/011f3a5875232c2aad39e52caca7.png)
:
![y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style times fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction equals 2 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals 22 over 11 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style times fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction equals 2 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals 22 over 11 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/60/cf/b3dca6e7d0bbe4dd72af04d2406b.png)
Zatem, aby okno przeprowadzało najwięcej światła, wymiary prostokąta powinny być następujące:
bok wspólny z trójkątem równobocznym:![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ab/1c/ff7072d81516a72a0e4eea85f22f.png)
![y equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/45/82/4828d5332dcf681e760365dd6924.png)
drugi bok:
W powyższym rozwiązaniu użyłam pochodnej, ponieważ tak sugerowała treść zadania. Można jednak posłużyć się prostszą metodą:
Otrzymaliśmy wzór na pole okna:![P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style blank squared end style \begin inline style plus end style \begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals x squared open parentheses \begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end style minus \begin inline style 3 over 2 end style close parentheses plus 2 x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style blank squared end style \begin inline style plus end style \begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals x squared open parentheses \begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end style minus \begin inline style 3 over 2 end style close parentheses plus 2 x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ff/75/1005d9e183e760cbc36753a5f8a7.png)
dla ![y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/77/6b/5cda1f4f1d0787bae5633e2bb6ad.png)
.![a equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction minus 3 over 2 equals fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction less than 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![a equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction minus 3 over 2 equals fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction less than 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/fd/4e/acb3d5d6e92c24424209fe6162d6.png)
. Aby obliczyć wartość największą takiej funkcji, wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem, a dokładnie pierwszą współrzędną: ![p equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![p equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/06/4a/59c169a0627e5f57b356936ce538.png)
Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku
Dalsze obliczenia, jak wyżej.
Witam. Czy mógłby mi Pan pomoc z rozwinieciem podanych funkcji w szereg Maclaurina
f(x)= ln(1+e^x)
f(x)= e^{-x^2}
f(x)=e^xsin
f(x)=sin^2 x
Aby rozwinąć funkcje bardziej złożone w szereg Maclaurina bardzo często korzystamy z gotowych rozwinięć prostszych funkcji. I tak w przypadku funkcji![f \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of negative x squared end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of negative x squared end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/48/73/89b60b4ad82479c4d89f96f50437.png)
skorzystamy z szeregu
Podstawiając![x \rightwards arrow negative x squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x \rightwards arrow negative x squared](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/6e/20/0d0e711222ab2514590d518bd81b.png)
dostaniemy
Dla funkcji![f \left parenthesis x \right parenthesis equals sin squared x space](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis x \right parenthesis equals sin squared x space](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f2/de/106f1e3ff258e91347e81688ee86.png)
skorzystamy z rozwinięcia
oraz przekształcenia:
Stąd
proszę o pomoc w rozwiązaniu
\underset{x\to\infty}{\mathop{lim}},\frac{{x}^{1/m}-1}{{x}^{1/n}-1}
A czy stałe mi nto liczby naturalne i mamy na ich temat jakieś założenia?
int{2x}{x/2}{e^(-t^2)}dt proszę o pomoc
Przykro mi, nie mogę odczytać tej całki… Ale jeżeli jedyna funkcja zmiennej tw wyrażeniu podcałkowym to {{e}^{-{{t}^{2}}}}i całka jest po dtto wygląda mi to na całkę nieelementarną (taką, którą nie można wyrazić wzorem)…
Co do wyniku końcowego to teraz myślę że uda mi się napisać poprawnie tą formułę
\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{2}+\frac{1}{2}ln|sqrt{x^{2}+1}+x|-\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{-2}+C
Rozwiązanie:
Stosujemy całkowanie przez części:
oraz rekurencję, i otrzymamy:
Niech
Stąd przenosimy K z prawej strony tego równania do lewej i mamy:
i ostatecznie:
Dzień dobry !
Panie Krystianie mam do takie małe pytanie co do pewnej całki a mianowicie do \intsqrt{x^{2}+1}dx
Zrobiłem to przez pierwsze podstawienie Eulera i wyszedłem na coś takiego ( wynik końcowy)
\intsqrt{x^{2}+1}dx = (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^{2}+(1/2)*ln(sqrt(x^{2}+1)+x) – (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^[-2} +C
Witam! Jak poradzić sobie z taką całką [pmath]int{}{}{\sqrt{e^x-1}dx}[/pmath] Bardzo proszę o pomoc 🙂
Trzeba trochę nietypowo z podstawieniem zadziałać:
\int{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}dx=\left| \begin{matrix}
&t=\sqrt{{{e}^{x}}-1}\
&{{t}^{2}}={{e}^{x}}-1\Rightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}+1\
&2tdt={{e}^{x}}dx\
&2tdt=\left( {{t}^{2}}+1 \right)dx\
&dx=\frac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}\end{matrix} \right|=\int{\tfrac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}=2\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}dt}=}2\int{\frac{{{t}^{2}}+1-1}{{{t}^{2}}+1}dt=}
=2\left( \int{\frac{{{t}^{2}}+1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt} \right)=2\left( \int{dt}-arctgt \right)+C=2\left( t-arctgt \right)+C=2\left( \sqrt{{{e}^{x}}-1}-arctg\sqrt{{{e}^{x}}-1} \right)+C
Witam. Mam problem ze zbadaniem ekstremów globalnych funkcji: f(x,y)=[pmath]x^4[/pmath]+[pmath]y^4[/pmath]-[pmath]2x^2[/pmath]+4xy-[pmath]2y^2[/pmath] W obszarze: x=0; y=0; x+y=5 Nie mogę jednoznacznie wyliczyć miejsca zerowego pierwszej pochodnej. Punkt podejrzewany o to, że może być ekstremum wyszedł mi P1(0,0). Uważam, że nie należy on do obszaru D, a leży na jego brzegu. Czy ten punkt jest ekstremum globalnym funkcji, czy ekstremum w takim razie w ogóle nie istnieje? Dziękuję za wyjaśnienie tego przykładu. Pozdrawiam.
Witam!
1. Jeśli punkt, w którym obie pochodne cząstkowe równe są zero wychodzi na brzegu nie ma problemu – NALEŻY on do obszaru i być może jest ekstremum globalnym.
2. W tym konkretnym przykładzie punkt (0,0) nie jest jedynym “miejscem zerowym” pochodnych cząstkowych, oprócz niego są to punkty : {{P}_{1}}\left( -\sqrt{2},sqrt{2} \right),{{P}_{2}}\left( \sqrt{2},sqrt{-2} \right)
3. Trzeba pamiętać o sprawdzeniu największych/najmniejszych wartości na brzegach obszaru być może ekstrema globalne są właśnie tam, a nie w “miejscach zerowych” pochodnych cząstkowych. Chociaż akurat nie w tym przypadku. Pokazuję, jak to się robi w moim Kursie.
4. Rozwiązanie tego konkretnego zadania można sprawdzić w Wolframie: Rozwiązanie 🙂
dziękuję za odpowiedź.Sprawdzałem min.i max. wartości na brzegach obszaru .Wychodzi mi między innymi f(5)=575. To jest chyba jakiś błędny wynik. Poza tym na brzegu o równaniu y=5-x jak podstawiłem to równanie do funkcji początkowej f(x,y) to wyszła mi jakaś masakra.Nawet nie policzyłem z tego pochodnej. Gdzieś popełniam chyba błąd lub czegoś nie rozumiem. Proszę o pomoc.
Łukasz.
Zaczniemy od wyznaczenia pochodnych I-go rzędu:
Obliczamy współrzędne punktów podejrzanych o ekstremum:
Punkty podejrzane o ekstremum to:![open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses comma space open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses comma space open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f3/4c/3c5559ef7f85d7ae9fa7d5158bc0.png)
![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/7a/6a/d4d9783824a3f3456a4a8b6ca560.png)
.
Wszystkie te punkty mieszczą się we wskazanym obszarze ograniczonym prostymi:
Obliczamy pochodne cząstkowe II-go rzędu:
Macierz Hessego ma postać:
Zatem w punktach![open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/0c/b9/0dfd8bd3e304c55a3c11c44db3de.png)
oraz ![open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e7/21/25a5514b2bf95d02e920c4975653.png)
podana funkcja ma minima lokalne właściwe.
Na razie nie wiemy, czy w punkcie![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/d9/ee/5f69f1e924d2e7097ec488b7fe04.png)
funkcja ![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e7/46/77a41edb7b76a823e253378fbc2e.png)
ma ekstremum.
Dla![x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f4/9c/bd63e783ded27a6dff122d4ece44.png)
mamy: ![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/c0/e4/a739aadec4f6d6b3ac68d966f471.png)
. Wtedy punkt ![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/d9/ee/5f69f1e924d2e7097ec488b7fe04.png)
to maksimum lokalne funkcji ![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e7/46/77a41edb7b76a823e253378fbc2e.png)
.
Dla![y equals x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e3/10/01673a57d2bb45516dda4702ad94.png)
mamy:
![f \left parenthesis x comma x \right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis x comma x \right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/82/f8/fdde9db36360bad24dee61712e58.png)
. Wtedy![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/d9/ee/5f69f1e924d2e7097ec488b7fe04.png)
to minimum lokalne.
punkt
Zatem w punkcie![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses 0 comma 0 close parentheses](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/d9/ee/5f69f1e924d2e7097ec488b7fe04.png)
funkcja ![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e7/46/77a41edb7b76a823e253378fbc2e.png)
nie posiada ekstremum.
Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi:![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/7a/6a/d4d9783824a3f3456a4a8b6ca560.png)
.
Dla![x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f4/9c/bd63e783ded27a6dff122d4ece44.png)
mamy: ![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/c0/e4/a739aadec4f6d6b3ac68d966f471.png)
. Minimum lokalne dla ![y equals 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 1](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/fb/64/53634d9d301508ad07f9c5fdc845.png)
. Zatem minimum lokalne w punkcie ![left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/cf/c3/c4e894459b49f2b7cab6330f5b18.png)
.
![f \left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis equals negative 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis equals negative 1](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/49/7c/c653b0abc304328b6bf7bb606ad4.png)
Dla![y equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e3/fc/994f85a3e38f55e2900e56b51904.png)
mamy: ![f \left parenthesis x comma 0 \right parenthesis equals x to the power of 4 minus 2 x squared](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis x comma 0 \right parenthesis equals x to the power of 4 minus 2 x squared](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/26/dc/884a5c6cb53ad1c4476b5f634b9b.png)
. Minimum lokalne dla ![x equals 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 1](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/cb/11/eae41b9c031c6fd81e97d7710666.png)
. Zatem minimum lokalne w punkcie ![left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e9/8d/579bff540730ad613e9f4e841826.png)
.
![f \left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis equals negative 1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis equals negative 1](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/41/aa/eb4c6316f63eca6ffcf4941a5bd0.png)
Dla![y equals 5 minus x](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![y equals 5 minus x](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/2e/07/67ca259c3176b348b9980637d1fd.png)
mamy: ![f \left parenthesis x comma 5 minus x \right parenthesis equals 2 open parentheses 5 minus x close parentheses to the power of 4](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis x comma 5 minus x \right parenthesis equals 2 open parentheses 5 minus x close parentheses to the power of 4](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/dd/ac/9e24f12cdb60a02e67fbe7030f25.png)
. Minimum lokalne dla ![x equals 5](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x equals 5](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/89/eb/1923cebcbfaed227a5aeb2a8747f.png)
. Zatem minimum lokalne w punkcie ![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/67/6f/4be92335b4769199a86563f77658.png)
![f \left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis equals 575](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis equals 575](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/56/2c/d27a935f495bbe6de59739cfd361.png)
Ponadto obliczymy wartość w punkcie![left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/75/b6/834f37f8bd10cb960b3221359c14.png)
, ponieważ jest to wierzchołek trójkąta wyznaczonego przez zadany obszar. Wartość w drugim wierzchołku ![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/67/6f/4be92335b4769199a86563f77658.png)
obliczyliśmy powyżej. W przypadku trzeciego wierzchołka ![left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/8f/63/67cab12434d0230fe512723be497.png)
powyżej stwierdziliśmy, że nie jest ekstremum.
![f \left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis equals 575](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis equals 575](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/49/88/998d20f725e4483f24f5a7506acb.png)
Obliczymy również wartości minimum w wyznaczonych wcześniej punktach wewnątrz obszaru:
![f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/e6/38/efa033752b5bcb4dbff2bc743a35.png)
![f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/31/5c/d510127b5f4e67fc166c9c23c1ff.png)
Witam. Mam prośbę. Chodzi o rozwiązanie takich przykładów do polecenia: Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji….., wyznaczyć szeregi Maclaurina podanych funkcji.
f(x)= x* [pmath] e^{-2x} [/pmath]
f(x)= cos (pix)
Ten pierwszy przykład poszedł na Facebooku, wkleję może jeszcze raz obrazek…
Co do tego drugiego przykładu, zgaduję trochę, że chodzi o to, aby rozwinąć cos \pi xkorzystając ze znanego już rozwinięcia cos x– prawda?
No więc nasze ZNANE już na wejściu rozwinięcie cos xw szereg Maclaurina wygląda tak:
cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}-\frac{{{x}^{6}}}{6!}+\frac{{{x}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}
Żeby zaś rozwinąć cos \pi xwstawiamy po prostu do niego wszędzie w miejsce x-> \pi xi mamy:
cos \pi x=1-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2}}}{2!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{4}}}{4!}-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{6}}}{6!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}
Wszystko 🙂
Witam.
Mam problem z obliczeniem tej całaki oznaczonej. Prosiłem o pomoc już kilka osób, ale nie potrafią mi pomóc. Czy jesteście w stanie to rozwiązać?
[pmath]int{1}{2}{1/x(x^3-1)}[/pmath]
Miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}[/pmath] – prawda?
Jeżeli miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
to:
1. To nie jest całka oznaczona, to jest całka niewłaściwa (proszę wstawić 1 z granic całkowania, dostaniemy dzielenie przez zero).
2. Trzeba policzyć całkę nieoznaczoną taką: [pmath]int{}{}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
Jest to żmudna, ale nie taka trudna, całka wymierna. Wyjdzie wynik (z kalkulatora wzięty) taki:
[pmath]-ln{delim{|}{x}{|}}-{1/3}ln{delim{|}{x^3-1}{|}}+C[/pmath]
3. Nie możemy wstawić do wyniku na żywca granic całkowania (to jest całka niewłaściwa), wstawiamy więc zamiast 1 [pmath]epsilon{right}1[/pmath] i przechodzimy do granicy, która równa będzie:
[pmath]-{\infty}[/pmath]
Jest to więc całka ROZBIEŻNA. Co do znaku nieskończoności mogłem się dziabnąć z tym kalkulatorem, ale całka jest ROZBIEŻNA.