Instrukcja wpisywania formuł matematycznych do komentarzy

Komentarze – Latex

Na moim blogu możesz dodawać formuły i wzory matematyczne w języku Latex, pomiędzy tagami i [/latex].

Pełną listę formuł w języku Latex możesz znaleźć na przykład tutaj:

Kurs Latexa

Na przykład:

Aby wpisać do komentarza: $x^2$ musiałbyś wpisać w pole komentarza:
Aby wpisać do komentarza: $\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}$ musiałbyś wpisać w pole komentarza: $latex \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}$
Aby wpisać do komentarza: $\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}$ wpisz w pole komentarza: $latex \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}$
Aby wpisać do komentarza: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}$ wpisz w pole komentarza: $latex \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}$
Aby wstawić do Swojego komentarza macierz: $\left[ \begin{matrix}3&0\\ 4&-2\end{matrix} \right]$ wpisz w pole komentarza: $latex \left[ \begin{matrix} 3&0\\ 4&-2 \end{matrix} \right]$

Nie bój się eksperymentować, w razie błędu poprawię Twoją formułę!

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Domcia pisze:

11 maja 2014 o 14:10

Mam do policzenia fantastyczną całkę z którą nie jestem w stanie sobie poradzić , odpowiedzi na tyłach mojej ukochanej ksiązki do matematyki jest inna niż oblicza to kalkulator całek próbowałam juz na milon sposobów $\int\left({{sin}^{3}{{2}*{x}}}\right)dx}$ w koncu zrobiłam podwójne podstawienie : pierwsze za 2x a drugie za cos t wychodzi mi wynik ale nie wiem jak go uporządkować , żeby wyszedł wynik tak jak w kalkulatorze albo w książce , więć suma sumarum nadal nie wiem czy robie to dobrze. Pomocy 🙁

Odpowiedz
1. Domcia pisze:
  
  11 maja 2014 o 14:12
  
  yy coś nie wyszło z tą formułą ;x napisze słownie : całka nieoznaczona z sin^3(2x) , taka niewinna………. a doprowadza mnie do palpitacji serca.
2. Krystian Karczyński pisze:
  
  12 maja 2014 o 14:01
  
  To będzie tak:
  
  $\int{{{sin }^{3}}2xdx}=\int{sin 2x{{sin }^{2}}2xdx}=\int{sin 2x\left( 1-{{cos }^{2}}2x \right)dx}=\left| \begin{matrix} & t=cos 2x \\ & dt=-2sin 2xdx \\ & -\frac{dt}{2}=sin 2xdx \end{matrix} \right|=$
  
  $=\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)\left( -\frac{dt}{2} \right)}=-\frac{1}{2}\int{\left( 1-{{t}^{2}} \right)dt}=-\frac{1}{2}\int{dt}+\frac{1}{2}\int{{{t}^{2}}dt}=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{{t}^{3}}+C=$
  
  $=-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{6}{{cos }^{3}}2x+C$
Paweł pisze:

15 kwietnia 2014 o 17:11

Proszę o pomoc w policzeniu całki: całka w granicach od 0 do a (1-(x/a)^1/2)arcsin(((1-x/a)/(1+x/a))^1/2)dx

albo całka (3a^2-x^2)arcsin(((3a^2-x^2)/(3a^2-x^2))^1/2)dx

powtarza się ona dość często przy objętościach brył

Odpowiedz
damian01237 pisze:

21 marca 2014 o 11:16

prosze o pomoc w zadaniu
zbadać ekstremum funkcji
f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)

Odpowiedz
1. damian01237 pisze:
  
  17 kwietnia 2014 o 16:53
  
  chyba coś Panu się nie chce robić tego typu zadania
2. damian01237 pisze:
  
  12 maja 2014 o 21:52
  
  napisze mi Pan to rozwiazanie do tego zadania???
3. Ryhor Abramovich pisze:
  
  24 października 2016 o 01:31
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  Rozwiązanie:
  
  Liczymy pochodne cząstkowe, korzystając ze wzoru
  
  $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe$ :
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals$
  
  $open parentheses 2 x plus 0 close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets apostrophe equals$
  
  $2 x times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 1 close parentheses times open parentheses 2 x plus 0 close parentheses equals$
  
  $e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 2 x plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses negative 2 x close parentheses close square brackets equals e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times 2 x times open square brackets 1 minus open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  i analogiczne:
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 2 y times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals$
  
  $2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  Dalej tworzymy układ równań: $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals 0 end cell row cell fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals 0 end cell end table close$ czyli
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell row cell 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell end table close$
  
  Podzieliwszy oba równania przez $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent not equal to 0$ , mamy:
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell row cell y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell end table close$
  
  Iloczyn dwoch liczb jest równy zera wtedy, kiedy przynajmniej jedna z tych liczb równa się zeru.
  
  Z pierwszego równania mamy, że
  
  $open parentheses I close parentheses space x equals 0$ lub $open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0$ .
  
  Rozpatrzymy obie możliwości.
  
  Gdy $open parentheses I close parentheses space x equals 0$ , wtedy z drugiego równania mamy:
  
  $y times open parentheses 1 minus y squared close parentheses equals 0$
  
  Czyli znowu mamy dwie możliwości:
  
  $open parentheses I a close parentheses space y equals 0 comma space open parentheses I b close parentheses space 1 minus y squared equals 0$
  
  Ostatecznie otrzymamy punkty
  
  $P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ – tzw. punkty stacjonarne, czyli podejrzane na ekstremum.
  
  Gdy $open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0$ , wtedy oba równania układu są równe zero. Tzn, w tym przypadku mamy nieskończoną ilość punktów stacjonarnych, spełniających warunek $1 minus x squared minus y squared equals 0$ , czyli $x squared plus y squared equals 1$
  
  Jednak, w takim razie funkcja
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 1 times e to the power of negative 1 end exponent equals 1 over e$
  
  jest funkcją stałą, żadnych ekstremum nie mająca.
  
  Dalej liczymy pochodne drugiego rzędu według wzoru:
  
  $open parentheses u times v times w close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v times w plus u times v apostrophe times w plus u times v times w apostrophe$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential x end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential x end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $open parentheses 2 x close parentheses apostrophe times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus$
  
  $2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals 2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus$
  
  $2 x times open parentheses negative 2 x close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 x close parentheses equals$
  
  $2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 1 minus x squared minus y squared minus 2 x squared minus 2 x squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 3 x squared minus y squared minus 2 x squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 x squared minus y squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses$
  
  i analogiczne:
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $2 x times open square brackets open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe close square brackets equals$
  
  $2 x times open square brackets open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses close square brackets equals$
  
  $2 x times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 plus 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals negative 4 x y times open parentheses 2 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction close parentheses equals fraction numerator \partial differential over denominator \partial differential y end fraction open square brackets 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals$
  
  $2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus y squared minus 2 y squared minus 2 y squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 3 y squared minus 2 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses equals$
  
  $2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 5 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses$
4. Ryhor Abramovich pisze:
  
  14 listopada 2016 o 01:42
  
  Następny krok – to obliczanie tych pochodnych w punktach stacjonarnych. Niech
  
  $A equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction space comma space B equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction space comma space C equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction$
  
  Wtedy:
  
  $A subscript 1 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 0 squared close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2$
  
  $B subscript 1 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 0 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  $C subscript 1 equals fraction numerator \partial differential f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator \partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 0 squared plus 2 times 0 squared times 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2$
  
  $A subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0$
  
  $B subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  $C subscript 2 equals fraction numerator \partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator \partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e$
  
  Ponieważ $P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ , a funkcja
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent$ jest parzysta, to
  
  $A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0$
  
  $B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0$
  
  $C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e$
  
  Dalej liczymy hesjan:
  
  $H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared$
  
  $H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4$
  
  $H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0$
  
  $H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0$
  
  Ponieważ
  
  $H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0$ ,
  
  to w punkcie $P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja osiąga minimum lokalne, i
  
  $f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0$
  
  Ponieważ
  
  $H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0$
  
  to w punktach $P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses$ oraz $P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses$ sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań).
  
  Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek
  
  $x squared plus y squared equals 1$
  
  dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.
  
  Odpowiedź:
  
  $f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0$
Adrian pisze:

20 lutego 2014 o 13:32

Witam czy mógłby ktoś sprawdzić czy wykonałem to zadanie prawidłowo ? Chodzi m.in o ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych.
F(x,y)= $x^3$ – $x^2$ + $y^2$ – 2xy + 3
D:x iy należą do R
F’x(x,y)= $3x^2$ – 2x – 2y
F’y(x,y)= 2y-2x

$3x^2$ – 2x – 2y=0
2y-2x=0

2y=2x/:2
y=x

$3x^2$ – 2x – 2x= 0
$3x^2$ – 4x=0
x(3x-4)=0
x=0 lub 3x=4/:3
x=0 lub x=4/3
y=0 y=4/3

P1(0,0) , P2(4/3,4/3)

f’xx(x,y)= 6x-2
f’yx(x,y)= -2
F’xy(x,y)=-2
F’yy(x,y)=2

W(x,y)= $\left| \begin{matrix} 6x-2 & -2 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right|$
W(0,0)= po wyliczeniu wyszło mi 0 – czyli nie można określić czy istnieje ekstremum
W(4/3, 4/3) = po wyliczeniu wyszło mi 8 i ,że osiąga minimum .

Z góry dziękuję za sprawdzenie 🙂

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  24 lutego 2014 o 09:58
  
  Wszystko dobrze, z wyjątkiem samego ostatniego kroku, czyli wyliczenia wartości w ekstremum. Powinno być:
  
  ${{f}_{min }}\left( \frac{4}{3},\frac{4}{3} \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}+3=\frac{64}{27}-\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+3=$
  
  $=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+3=\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{81}{27}=\frac{49}{27}$
Grzegorz pisze:

5 lutego 2014 o 17:53

Witam, jak zachowac się w takim przypadku,z jakiego wzoru korzystac $inte^-{a1+a2}*t dt$

Odpowiedz
1. Anna Zalewska pisze:
  
  2 listopada 2016 o 13:36
  
  $integral e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t space d t$
  
  W powyższej całce całkujemy po zmiennej $t$ , zatem całe wyrażenie $e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent$ jest stałą. Mamy więc prostą całkę do obliczenia:
  
  $integral e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t space d t equals e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent \integral t space d t equals e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent times 1 half t squared plus C equals 1 half e to the power of negative open parentheses a subscript 1 plus a subscript 2 close parentheses end exponent t squared plus C$
Norbert pisze:

1 lutego 2014 o 10:55

Mam problem z zadaniem. A mianowicie : Okno ma kształt prostokąta zakończonego trójkątem równobocznym. Obwód całego okna jest równy 4m. Jakie powinny być wymiary części prostokątnej aby okno przeprowadzało jak najwięcej światła ? ( Korzystamy z pochodnej )

Odpowiedz
1. Anna Zalewska pisze:
  
  1 listopada 2016 o 00:43
  
  Oznaczmy boki trójkąta równobocznego przez $x$ oraz boki prostokąta przez $x$ i $y$ .
  
  Obliczymy obwód takiego okna: $3 x plus 2 y equals 4$
  
  Okno będzie przeprowadzało najwięcej światła, kiedy pole jego powierzchni będzie największe. Obliczamy pole stosując oznaczenia z rysunku:
  
  $P equals x times y plus fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction$
  
  Z równania prezentującego obwód okna wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do wzoru na pole.
  
  $3 x plus 2 y equals 4$
  $2 y equals 4 minus 3 x space space space space space divided by colon 2$
  $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x$
  
  $Error converting from MathML to accessible text.$
  
  Otrzymaliśmy wzór wyrażający pole okna w zależności od zmiennej $x$ :
  
  $P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus 3 over 2 x squared plus fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction$
  
  Aby obliczyć $x$ , dla którego wartość pola będzie największa, wyznaczymy pochodną i ekstrema:
  
  $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 minus 2 times \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style plus end style 2 times \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals 2 minus 3 x plus \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style$
  $2 minus 3 x plus \begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style equals 0 space space space space space space space space divided by times 2$
  $4 minus 6 x plus \begin inline style x square root of 3 end style equals 0$
  $negative 6 x plus \begin inline style x square root of 3 end style equals negative 4$
  $x \left parenthesis negative 6 plus \begin inline style square root of 3 end style \right parenthesis equals negative 4 space space space space space space space divided by colon \left parenthesis negative 6 plus \begin inline style square root of 3 end style \right parenthesis$
  $x equals negative fraction numerator 4 over denominator negative 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  
  Dla $x less than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ mamy $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis greater than 0$ , czyli $P \left parenthesis x \right parenthesis space north east arrow$ .
  Dla $x greater than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ mamy $P apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis less than 0$ , czyli $P \left parenthesis x \right parenthesis space south east arrow$ .
  
  Zatem $x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$ jest maksimum funkcji $P \left parenthesis x \right parenthesis$ w swojej dziedzinie.
  
  Obliczymy $y$ dla wyznaczonego $x$ :
  $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style times fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction equals 2 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals 22 over 11 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction$
  
  Zatem, aby okno przeprowadzało najwięcej światła, wymiary prostokąta powinny być następujące:
  
  bok wspólny z trójkątem równobocznym: $x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  drugi bok: $y equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction$
  
  W powyższym rozwiązaniu użyłam pochodnej, ponieważ tak sugerowała treść zadania. Można jednak posłużyć się prostszą metodą:
  
  Otrzymaliśmy wzór na pole okna: $P \left parenthesis x \right parenthesis equals 2 x minus \begin inline style 3 over 2 end style \begin inline style x end style \begin inline style blank squared end style \begin inline style plus end style \begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals x squared open parentheses \begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end style minus \begin inline style 3 over 2 end style close parentheses plus 2 x$ dla $y equals 2 minus \begin inline style 3 over 2 end style x$ .
  Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku $a equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction minus 3 over 2 equals fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction less than 0$ . Aby obliczyć wartość największą takiej funkcji, wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem, a dokładnie pierwszą współrzędną: $p equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction$
  
  $p equals negative fraction numerator 2 over denominator 2 open parentheses fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction close parentheses end fraction equals negative fraction numerator 1 over denominator fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction end fraction equals negative fraction numerator 4 over denominator square root of 3 minus 6 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals$
  $equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction$
  
  Dalsze obliczenia, jak wyżej.
Joanna pisze:

22 maja 2013 o 10:52

Witam. Czy mógłby mi Pan pomoc z rozwinieciem podanych funkcji w szereg Maclaurina
f(x)= ln(1+e^x)
f(x)= e^{-x^2}
f(x)=e^xsin
f(x)=sin^2 x

Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  
  24 października 2016 o 01:58
  
  Aby rozwinąć funkcje bardziej złożone w szereg Maclaurina bardzo często korzystamy z gotowych rozwinięć prostszych funkcji. I tak w przypadku funkcji $f \left parenthesis x \right parenthesis equals e to the power of negative x squared end exponent$ skorzystamy z szeregu
  
  $e to the power of x equals 1 plus x plus fraction numerator x squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator x cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction$
  
  Podstawiając $x \rightwards arrow negative x squared$ dostaniemy
  
  $e to the power of negative x squared end exponent equals 1 plus open parentheses negative x squared close parentheses plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction e to the power of negative x squared end exponent equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 2 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 3 factorial end fraction horizontal ellipsis plus \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction$
2. Kamil Kocot pisze:
  
  24 października 2016 o 02:11
  
  Dla funkcji $f \left parenthesis x \right parenthesis equals sin squared x space$ skorzystamy z rozwinięcia
  
  $cos x equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent$
  
  oraz przekształcenia:
  
  $cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x equals 1 minus 2 sin squared x sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses$
  
  Stąd
  
  $sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses equals 1 half minus 1 half open parentheses 1 minus open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half minus 1 half minus 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals negative 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half open parentheses open parentheses 2 x close parentheses squared minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 1 half open parentheses 2 squared x squared minus 2 to the power of 4 fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 6 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses equals 2 to the power of 1 x squared minus 2 cubed fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 5 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 1 to infinity of 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator \left parenthesis negative 1 \right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator \left parenthesis 2 n \right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent$
Krzysztof pisze:

11 marca 2013 o 22:59

proszę o pomoc w rozwiązaniu
$\underset{x\to\infty}{\mathop{lim}},\frac{{x}^{1/m}-1}{{x}^{1/n}-1}$

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  21 marca 2013 o 10:02
  
  A czy stałe $m$ i $n$ to liczby naturalne i mamy na ich temat jakieś założenia?
mary pisze:

21 stycznia 2013 o 23:31

int{2x}{x/2}{e^(-t^2)}dt proszę o pomoc

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  25 stycznia 2013 o 11:11
  
  Przykro mi, nie mogę odczytać tej całki… Ale jeżeli jedyna funkcja zmiennej $t$ w wyrażeniu podcałkowym to ${{e}^{-{{t}^{2}}}}$ i całka jest po $dt$ to wygląda mi to na całkę nieelementarną (taką, którą nie można wyrazić wzorem)…
Artur pisze:

9 listopada 2012 o 17:19

Co do wyniku końcowego to teraz myślę że uda mi się napisać poprawnie tą formułę
$\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{2}+\frac{1}{2}ln|sqrt{x^{2}+1}+x|-\frac{1}{8}(sqrt{x^{2}+1}+x)^{-2}+C$

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  20 października 2016 o 13:43
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x$
  
  Rozwiązanie:
  
  Stosujemy całkowanie przez części:
  
  $integral u times v apostrophe equals u times v minus \integral v times u apostrophe$
  
  oraz rekurencję, i otrzymamy:
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x equals open vertical bar table row cell u equals square root of x squared plus 1 end root end cell cell v apostrophe equals d x end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared plus 1 end root end fraction times 2 x d x equals fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction end cell cell v equals x end cell end table close vertical bar equals$ $square root of x squared plus 1 end root times x minus$
  
  $negative \integral x times fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral fraction numerator x squared d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral fraction numerator x squared plus 1 minus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d x equals$
  
  $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral open parentheses fraction numerator x squared plus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction minus fraction numerator 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction close parentheses d x equals$ $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral square root of x squared plus 1 end root d x plus \integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals$
  
  $x times square root of x squared plus 1 end root minus \integral square root of x squared plus 1 end root d x plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$
  
  Niech
  
  $integral square root of x squared plus 1 end root d x equals K$ . Wtedy
  
  $K equals x times square root of x squared plus 1 end root minus K plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$
  
  Stąd przenosimy K z prawej strony tego równania do lewej i mamy:
  
  $2 K equals x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses$ ,
  
  i ostatecznie:
  
  $K equals \integral square root of x squared plus 1 end root d x equals 1 half times open square brackets x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses close square brackets plus C$
Artur pisze:

9 listopada 2012 o 17:13

Dzień dobry !
Panie Krystianie mam do takie małe pytanie co do pewnej całki a mianowicie do $\intsqrt{x^{2}+1}dx$

Zrobiłem to przez pierwsze podstawienie Eulera i wyszedłem na coś takiego ( wynik końcowy)
$\intsqrt{x^{2}+1}dx = (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^{2}+(1/2)*ln(sqrt(x^{2}+1)+x) – (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^[-2} +C$

Odpowiedz
Kasia pisze:

25 kwietnia 2012 o 21:11

Witam! Jak poradzić sobie z taką całką [pmath]int{}{}{\sqrt{e^x-1}dx}[/pmath] Bardzo proszę o pomoc 🙂

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  27 kwietnia 2012 o 13:06
  
  Trzeba trochę nietypowo z podstawieniem zadziałać:
  
  $\int{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}dx=\left| \begin{matrix} &t=\sqrt{{{e}^{x}}-1}\ &{{t}^{2}}={{e}^{x}}-1\Rightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}+1\ &2tdt={{e}^{x}}dx\ &2tdt=\left( {{t}^{2}}+1 \right)dx\ &dx=\frac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}\end{matrix} \right|=\int{\tfrac{2tdt}{{{t}^{2}}+1}=2\int{\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}dt}=}2\int{\frac{{{t}^{2}}+1-1}{{{t}^{2}}+1}dt=}$
  
  $=2\left( \int{\frac{{{t}^{2}}+1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt} \right)=2\left( \int{dt}-arctgt \right)+C=2\left( t-arctgt \right)+C=2\left( \sqrt{{{e}^{x}}-1}-arctg\sqrt{{{e}^{x}}-1} \right)+C$
Łukasz pisze:

19 kwietnia 2012 o 23:12

Witam. Mam problem ze zbadaniem ekstremów globalnych funkcji: f(x,y)=[pmath]x^4[/pmath]+[pmath]y^4[/pmath]-[pmath]2x^2[/pmath]+4xy-[pmath]2y^2[/pmath] W obszarze: x=0; y=0; x+y=5 Nie mogę jednoznacznie wyliczyć miejsca zerowego pierwszej pochodnej. Punkt podejrzewany o to, że może być ekstremum wyszedł mi P1(0,0). Uważam, że nie należy on do obszaru D, a leży na jego brzegu. Czy ten punkt jest ekstremum globalnym funkcji, czy ekstremum w takim razie w ogóle nie istnieje? Dziękuję za wyjaśnienie tego przykładu. Pozdrawiam.

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  20 kwietnia 2012 o 09:17
  
  Witam!
  
  1. Jeśli punkt, w którym obie pochodne cząstkowe równe są zero wychodzi na brzegu nie ma problemu – NALEŻY on do obszaru i być może jest ekstremum globalnym.
  
  2. W tym konkretnym przykładzie punkt (0,0) nie jest jedynym “miejscem zerowym” pochodnych cząstkowych, oprócz niego są to punkty : ${{P}_{1}}\left( -\sqrt{2},sqrt{2} \right),{{P}_{2}}\left( \sqrt{2},sqrt{-2} \right)$
  
  3. Trzeba pamiętać o sprawdzeniu największych/najmniejszych wartości na brzegach obszaru być może ekstrema globalne są właśnie tam, a nie w “miejscach zerowych” pochodnych cząstkowych. Chociaż akurat nie w tym przypadku. Pokazuję, jak to się robi w moim Kursie.
  
  4. Rozwiązanie tego konkretnego zadania można sprawdzić w Wolframie: Rozwiązanie 🙂
2. Łukasz pisze:
  
  20 kwietnia 2012 o 19:02
  
  dziękuję za odpowiedź.Sprawdzałem min.i max. wartości na brzegach obszaru .Wychodzi mi między innymi f(5)=575. To jest chyba jakiś błędny wynik. Poza tym na brzegu o równaniu y=5-x jak podstawiłem to równanie do funkcji początkowej f(x,y) to wyszła mi jakaś masakra.Nawet nie policzyłem z tego pochodnej. Gdzieś popełniam chyba błąd lub czegoś nie rozumiem. Proszę o pomoc.
  Łukasz.
3. Anna Zalewska pisze:
  
  3 listopada 2016 o 03:32
  
  $f \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals x to the power of 4 plus y to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x y minus 2 y squared$
  
  Zaczniemy od wyznaczenia pochodnych I-go rzędu:
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals 4 x cubed minus 4 x plus 4 y$
  
  $fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals 4 y cubed plus 4 x minus 4 y$
  
  Obliczamy współrzędne punktów podejrzanych o ekstremum:
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 4 x cubed minus 4 x plus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell row cell 4 y cubed plus 4 x minus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x cubed minus x plus y equals 0 end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x minus open parentheses negative x cubed plus x close parentheses equals 0 end cell end table close$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x plus x cubed minus x equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x cubed equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus x space space plus space space x close parentheses open parentheses open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses squared minus open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses x plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus 2 x to the power of 4 plus x squared plus x to the power of 4 minus x squared plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus x to the power of 4 plus x squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x open parentheses x squared minus 2 close parentheses x squared open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 plus 2 x squared plus 1 minus 3 x squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared minus open parentheses square root of 3 x close parentheses squared close parentheses equals 0$
  
  $negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x squared minus square root of 3 x plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus square root of 3 x plus 1 close parentheses equals 0$
  
  $x equals 0 space logical or space x equals square root of 2 space logical or space x equals negative square root of 2 space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses space space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative 0 cubed plus 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 cubed plus square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative open parentheses negative square root of 2 close parentheses cubed plus open parentheses negative square root of 2 close parentheses end cell end table close$
  
  $open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals square root of 2 end cell end table close$
  
  Punkty podejrzane o ekstremum to: $open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses comma space open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses$
  Wszystkie te punkty mieszczą się we wskazanym obszarze ograniczonym prostymi: $x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5$ .
  
  Obliczamy pochodne cząstkowe II-go rzędu:
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals 12 x squared minus 4$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y \partial differential x end fraction equals 4$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4$
  
  Macierz Hessego ma postać:
  
  $H subscript f \left parenthesis x comma y \right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets$
  
  $H subscript f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals H subscript f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets$
  
  $M subscript 1 \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals M subscript 1 \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 20 greater than 0$
  
  $M subscript 2 \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals M subscript 2 \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0$
  
  Zatem w punktach $open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses$ oraz $open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses$ podana funkcja ma minima lokalne właściwe.
  
  $H subscript f \left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets$
  
  $M subscript 2 \left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0$
  
  Na razie nie wiemy, czy w punkcie $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja $f$ ma ekstremum.
  
  Dla $x equals 0$ mamy: $f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared$ . Wtedy punkt $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ to maksimum lokalne funkcji $f$ .
  
  Dla $y equals x$ mamy:
  $f \left parenthesis x comma x \right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4$ . Wtedy
  punkt $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ to minimum lokalne.
  
  Zatem w punkcie $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ funkcja $f$ nie posiada ekstremum.
  
  Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: $x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5$ .
4. Anna Zalewska pisze:
  
  3 listopada 2016 o 12:42
  
  Dla $x equals 0$ mamy: $f \left parenthesis 0 comma y \right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared$ . Minimum lokalne dla $y equals 1$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis$ .
  $f \left parenthesis 0 comma 1 \right parenthesis equals negative 1$
  
  Dla $y equals 0$ mamy: $f \left parenthesis x comma 0 \right parenthesis equals x to the power of 4 minus 2 x squared$ . Minimum lokalne dla $x equals 1$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis$ .
  $f \left parenthesis 1 comma 0 \right parenthesis equals negative 1$
  
  Dla $y equals 5 minus x$ mamy: $f \left parenthesis x comma 5 minus x \right parenthesis equals 2 open parentheses 5 minus x close parentheses to the power of 4$ . Minimum lokalne dla $x equals 5$ . Zatem minimum lokalne w punkcie $left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis$
  $f \left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis equals 575$
  
  Ponadto obliczymy wartość w punkcie $left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis$ , ponieważ jest to wierzchołek trójkąta wyznaczonego przez zadany obszar. Wartość w drugim wierzchołku $left parenthesis 5 comma 0 \right parenthesis$ obliczyliśmy powyżej. W przypadku trzeciego wierzchołka $left parenthesis 0 comma 0 \right parenthesis$ powyżej stwierdziliśmy, że nie jest ekstremum.
  $f \left parenthesis 0 comma 5 \right parenthesis equals 575$
  
  Obliczymy również wartości minimum w wyznaczonych wcześniej punktach wewnątrz obszaru:
  $f \left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8$
  $f \left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 \right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8$
Martyna pisze:

1 kwietnia 2012 o 11:23

Witam. Mam prośbę. Chodzi o rozwiązanie takich przykładów do polecenia: Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji….., wyznaczyć szeregi Maclaurina podanych funkcji.
f(x)= x* [pmath] e^{-2x} [/pmath]
f(x)= cos (pix)

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  2 kwietnia 2012 o 12:32
  
  Ten pierwszy przykład poszedł na Facebooku, wkleję może jeszcze raz obrazek…
2. Krystian Karczyński pisze:
  
  2 kwietnia 2012 o 19:54
  
  Co do tego drugiego przykładu, zgaduję trochę, że chodzi o to, aby rozwinąć $cos \pi x$ korzystając ze znanego już rozwinięcia $cos x$ – prawda?
  
  No więc nasze ZNANE już na wejściu rozwinięcie $cos x$ w szereg Maclaurina wygląda tak:
  
  $cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}-\frac{{{x}^{6}}}{6!}+\frac{{{x}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}$
  
  Żeby zaś rozwinąć $cos \pi x$ wstawiamy po prostu do niego wszędzie w miejsce $x$ -> $\pi x$ i mamy:
  
  $cos \pi x=1-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2}}}{2!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{4}}}{4!}-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{6}}}{6!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{8}}}{8!}pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}$
  
  Wszystko 🙂
Jacek pisze:

2 czerwca 2011 o 17:45

Witam.
Mam problem z obliczeniem tej całaki oznaczonej. Prosiłem o pomoc już kilka osób, ale nie potrafią mi pomóc. Czy jesteście w stanie to rozwiązać?
[pmath]int{1}{2}{1/x(x^3-1)}[/pmath]

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  2 czerwca 2011 o 18:31
  
  Miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}[/pmath] – prawda?
2. Krystian Karczyński pisze:
  
  4 czerwca 2011 o 04:05
  
  Jeżeli miało być tak: [pmath]int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
  
  to:
  
  1. To nie jest całka oznaczona, to jest całka niewłaściwa (proszę wstawić 1 z granic całkowania, dostaniemy dzielenie przez zero).
  
  2. Trzeba policzyć całkę nieoznaczoną taką: [pmath]int{}{}{1/{x(x^3-1)}}dx[/pmath]
  
  Jest to żmudna, ale nie taka trudna, całka wymierna. Wyjdzie wynik (z kalkulatora wzięty) taki:
  
  [pmath]-ln{delim{|}{x}{|}}-{1/3}ln{delim{|}{x^3-1}{|}}+C[/pmath]
  
  3. Nie możemy wstawić do wyniku na żywca granic całkowania (to jest całka niewłaściwa), wstawiamy więc zamiast 1 [pmath]epsilon{right}1[/pmath] i przechodzimy do granicy, która równa będzie:
  
  [pmath]-{\infty}[/pmath]
  
  Jest to więc całka ROZBIEŻNA. Co do znaku nieskończoności mogłem się dziabnąć z tym kalkulatorem, ale całka jest ROZBIEŻNA.