fbpx
blog

Maturzyści pytają, eTrapez odpowiada

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Ten post poświęcony jest gościnnie fragmentowi zadania maturalnego, o który przesłał mi na maila pewien maturzysta. Warto jednak sobie zerknąć z ciekawości i nie powtarzać już nigdy więcej, że matematyka na studiach jest trudniejsza niż rozszerzona w szkole średniej. 🙂

Kawałek Zadania

Mamy następującą sytuację:

Obrazek do zadania

Należy pokazać, że zaznaczony na czerwono odcinek ma długość  . Całość oczywiście jest tylko malutkim fragmentem całego zadania, zgadnijcie na co? Na ciągi oczywiście 🙂

No więc można tu skorzystać z często wykorzystywanego w zadaniach z wysokością trójkąta prostokątnego patentu na “ulubione” przez wszystkich maturzystów trójkąty podobne.

1. Trójkąty (ten najmniejszy) i (ten największy, wpisany w okrąg) są podobne (mają 2 takie same kąty: prosty i <DAC, czyli trzeci kąt też jest taki sam, czyli mamy KKK). Trójkąty (ten średni) i (ten największy znowu) też są podobne (mają 2 takie same kąty: prosty i <CBD, czyli trzeci kąt też jest taki sam, czyli znowu mamy KKK). Jeśli trójkąty:    i   są podobne do , to są także podobne do siebie  i o to chodziło i to zauważamy:

jest podobny do

2. Jeżeli te trójkąty są podobne, to stosunki ODPOWIADAJĄCYCH sobie boków będą równe. Oczywiście dobieramy te stosunki, zawierające zaznaczony na czerwono odcinek, którego długość oznaczmy powiedzmy jako .

W trójkącie stosunek boku NAJKRÓTSZEGO przez bok ŚREDNI będzie równy:

W trójkącie stosunek boku NAJKRÓTSZEGO przez bok ŚREDNI będzie równy:

Skoro trójkąty są podobne, to zachodzi równość:

3. Z równości wyznaczamy h, czyli długość zaznaczonego na czerwono odcinka. Mnożymy na krzyż jak to w proporcjach bywało i mamy:

Czyli:

Czyli to co mieliśmy dokładnie pokazać na początku. BINGO.

Morał wynosimy taki: wyznaczając wysokość w trójkącie prostokątnym (tą opadającą na przeciwprostokątną of course) często trzeba posłużyć się podobieństwem trójkątów, tak jak wyżej.

I jeszcze taki, że matematyka rozszerzona w szkole średniej potrafiła naprawdę ukąsić. Dopiero na studiach można odetchnąć 🙂

 

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Równania Różniczkowe

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Ekonometria

Studia / Autor: mgr Joanna Grochowska

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Adam pisze:

    Można było to też policzyć układając 3 równania Pitagorasa i z tych równań wyznaczyć h

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pewno można. Ja w średniej też wszystko układami równań i Pitagorasami rozwalałem. No może prawie wszystko.

  2. Mateusz pisze:

    Rany, dziękuję, że tak profesjonalnie potraktował pan moje pytanie. Jestem za to ogromnie wdzięczny. Z kolegą doszliśmy jednak o wiele szybciej, czemu ten odcinek jest równy pierwiastkowi z ac. Otóż kąt ACB jako oparty na średnicy jest prosty, a wysokość poprowadzona z wierzchołka kata prostego dzieli przeciwległy bok na odcinki w taki sposób, że h^2 = a*c . Ten wzór jak przypuszczam wynika pewnie z podobieństwa, tak jak pan to wykazał. Jeszcze raz wielkie dzięki…

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Łeeee… Z wzorem nie ma zabawy 🙂