Maturzyści pytają, eTrapez odpowiada

Ten post poświęcony jest gościnnie fragmentowi zadania maturalnego, o który przesłał mi na maila pewien maturzysta. Warto jednak sobie zerknąć z ciekawości i nie powtarzać już nigdy więcej, że matematyka na studiach jest trudniejsza niż rozszerzona w szkole średniej. 🙂

Kawałek Zadania

Mamy następującą sytuację:

Należy pokazać, że zaznaczony na czerwono odcinek ma długość . Całość oczywiście jest tylko malutkim fragmentem całego zadania, zgadnijcie na co? Na ciągi oczywiście 🙂

No więc można tu skorzystać z często wykorzystywanego w zadaniach z wysokością trójkąta prostokątnego patentu na „ulubione” przez wszystkich maturzystów trójkąty podobne.

1. Trójkąty (ten najmniejszy) i (ten największy, wpisany w okrąg) są podobne (mają 2 takie same kąty: prosty i <DAC, czyli trzeci kąt też jest taki sam, czyli mamy KKK). Trójkąty (ten średni) i (ten największy znowu) też są podobne (mają 2 takie same kąty: prosty i <CBD, czyli trzeci kąt też jest taki sam, czyli znowu mamy KKK). Jeśli trójkąty: i są podobne do , to są także podobne do siebie  i o to chodziło i to zauważamy:

jest podobny do

2. Jeżeli te trójkąty są podobne, to stosunki ODPOWIADAJĄCYCH sobie boków będą równe. Oczywiście dobieramy te stosunki, zawierające zaznaczony na czerwono odcinek, którego długość oznaczmy powiedzmy jako .

W trójkącie stosunek boku NAJKRÓTSZEGO przez bok ŚREDNI będzie równy:

W trójkącie stosunek boku NAJKRÓTSZEGO przez bok ŚREDNI będzie równy:

Skoro trójkąty są podobne, to zachodzi równość:

3. Z równości wyznaczamy h, czyli długość zaznaczonego na czerwono odcinka. Mnożymy na krzyż jak to w proporcjach bywało i mamy:

Czyli:

Czyli to co mieliśmy dokładnie pokazać na początku. BINGO.

Morał wynosimy taki: wyznaczając wysokość w trójkącie prostokątnym (tą opadającą na przeciwprostokątną of course) często trzeba posłużyć się podobieństwem trójkątów, tak jak wyżej.

I jeszcze taki, że matematyka rozszerzona w szkole średniej potrafiła naprawdę ukąsić. Dopiero na studiach można odetchnąć 🙂