Dowód tego, że √2 nie jest liczbą wymierną

Czy wszystkie liczby da się zapisać w postaci ułamka?

Przez długi czas matematyka opierała się wyłącznie na liczbach naturalnych, całkowitych i wymiernych. Ułamki były wystarczające do mierzenia pól, długości, podziału dóbr. Wszystko wyglądało elegancko i spójnie.

Aż do momentu, gdy ktoś spojrzał na przekątną kwadratu o boku 1.

Jej długość wynosi √2.
I właśnie ta liczba wywołała jeden z pierwszych poważnych wstrząsów w historii matematyki.

Pokażemy teraz klasyczny dowód, że:

√2 nie jest liczbą wymierną.

---

Czym jest liczba wymierna?

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać w postaci:$$\frac{p}{q}$$

gdzie:

• $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi,
• $q \neq 0$,
• ułamek jest nieskracalny, czyli NWD(p,q) = 1.

To ostatnie założenie jest kluczowe. Jeśli już zakładamy, że liczba jest wymierna, możemy przyjąć, że zapisaliśmy ją w postaci maksymalnie uproszczonej.

---

Strategia: dowód nie wprost

Nie będziemy próbować „wprost” pokazać, że √2 nie jest ułamkiem.

Zrobimy coś sprytniejszego.

Załóżmy przeciwnie, że √2 jest liczbą wymierną.
I zobaczmy, dokąd to prowadzi.

---

Założenia

Zakładamy, że istnieją takie liczby całkowite $p$ i $q$, że:$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$

oraz że ułamek $\frac{p}{q}$​ jest nieskracalny, czyli:

NWD(p,q)=1

---

Krok 1 – przekształcenie równania

Podnosimy obie strony do kwadratu:$$2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$$$$2 = \frac{p^2}{q^2}$$

Mnożymy przez $q^2$:$$p^2 = 2q^2$$

Co to oznacza?

Lewa strona jest równa dwa razy jakiejś liczby całkowitej.
Czyli:

$p^2$ jest liczbą parzystą.

A jeśli kwadrat liczby jest parzysty, to sama liczba też musi być parzysta.

Zatem:

$p$ jest liczbą parzystą.

---

Krok 2 – konsekwencje parzystości

Skoro $p$ jest parzyste, możemy zapisać:$$p = 2k$$

dla pewnego $k \in \mathbb{Z}$.

Podstawiamy do równania:$$p^2 = 2q^2$$$$(2k)^2 = 2q^2$$$$4k^2 = 2q^2$$

Dzielimy przez 2:$$q^2 = 2k^2$$

A to oznacza, że:

$q^2$ jest parzyste.

Czyli:

$q$ jest parzyste.

---

Krok 3 – sprzeczność

Doszliśmy do wniosku, że:

• $p$ jest parzyste,
• $q$ jest parzyste.

Ale jeśli obie liczby są parzyste, to mają wspólny dzielnik 2.

To oznacza, że ułamek $\frac{p}{q}$​ jest skracalny.

A przecież na początku założyliśmy, że był nieskracalny.

Mamy sprzeczność.

---

Wniosek

Założenie, że √2 jest liczbą wymierną, prowadzi do sprzeczności.

Zatem:$$\boxed{\sqrt{2} \text{ nie jest liczbą wymierną}}$$

---

Dlaczego ten dowód jest tak ważny?

Bo pokazuje coś fundamentalnego:

Nie wszystkie liczby da się zapisać jako ułamek.

To był moment, w którym matematyka musiała rozszerzyć swój świat.
Pojawiły się liczby niewymierne – a wraz z nimi zupełnie nowe spojrzenie na strukturę liczb.

Źródła:

1. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom I (wyd. 1966).