जटिल संख्याएँ

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जब घातांक लगाना बिल्कुल नहीं हो रहा है तो क्या करें (संपूर्ण संख्याएँ)

06 अगस्त 2024 / Krystian Karczyński

कुछ दिन ऐसे होते हैं जब कुछ भी ठीक नहीं चलता। और कुछ उदाहरण होते हैं जहाँ जटिल संख्याओं के साथ कुछ भी सही नहीं होता। जानी-पहचानी और याद की हुई विधियाँ मदद नहीं करतीं। उदाहरण के लिए यह साधारण सा दिखने वाला घातांक: (1+2i)^8। बहुत सारे उदाहरणों में इस्तेमाल किए गए पुराने तरीके का पालन करते हुए, आप संख्या 1+2i को त्रिकोणमितीय रूप में लिखना चाहते हैं और फिर इसे आठवीं शक्ति में उठाना चाहते हैं। लेकिन रास्ते में आपको जटिलताओं का सामना करना पड़ता है... देखें कि मैं कौन सी चाल का उपयोग करता हूँ।

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जटिल बहुपद समीकरण जो द्विघात समीकरणों में सरल किए जा सकते हैं

05 अगस्त 2024 / Krystian Karczyński

कई चौथे दर्जे के बहुपद समीकरणों को स्कूल में प्रसिद्ध प्रतिस्थापन ट्रिक का उपयोग करके द्विघात समीकरणों में सरल बनाया जा सकता है। यह जटिल संख्याओं के बहुपदों के लिए भी पूरी तरह से काम करता है। देखें कि इन समीकरणों को निम्नतर दर्जे के समीकरणों में कैसे बदलें।

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समिश्र मूलों में यह पेटेंट कहां से आया? समिश्र संख्या के वर्गमूल की गणना करते समय तीसरी समीकरण कहां से आई?

24 जुलाई 2024 / Krystian Karczyński

मेरे कम्प्लेक्स संख्या पाठ्यक्रम में, कार्टेशियन (या: बीजगणितीय) रूप में वर्गमूल की गणना करते समय, मैंने एक तरीका दिखाया जिसमें पहले से मौजूद दो समीकरणों के सेट में तीसरी समीकरण जोड़ने की विधि शामिल है, जो आगे की गणनाओं को बहुत ही सरल और छोटा कर देता है। मैंने इस तरीके को दिखाया, लेकिन इसे किसी भी प्रकार से उचित नहीं ठहराया। और हाल ही में मुझे इस विषय पर एक ईमेल प्राप्त हुआ: "क्या आप समझा सकते हैं कि हम कम्प्लेक्स संख्या के वर्गमूल की गणना करते समय तीसरी समीकरण जोड़ने की विधि का उपयोग क्यों कर सकते हैं?" तो मैं इसे समझाता हूं।

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समिश्र संख्याओं में उपयोगी तरकीबें

02 जुलाई 2024 / Krystian Karczyński

समिश्र संख्याएँ एक पूरे के रूप में जटिल और कठिन विषय नहीं हैं। हालांकि, असामान्य और कम योजनाबद्ध स्थितियों में चीजें "गर्म" हो सकती हैं। इस स्थिति में कुंजी - हमेशा की तरह - विषय को समझना और "शांत दिमाग" रखना है, अर्थात स्पष्टता और आत्मविश्वास।

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सापेक्ष (लगभग) त्रिकोणमितीय रूप समिश्र संख्या का

02 जुलाई 2024 / Krystian Karczyński

जटिल संख्याओं के सवाल हल करते समय, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्या की अपनी विशिष्ट रूप होती है। और केवल वही रूप। न अधिक, न कम। इसलिए, यह ध्यान देना आवश्यक है कि जटिल संख्या कब त्रिकोणमितीय रूप में होती है और कब नहीं।

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जटिल संख्याओं में चौथे डिग्री के बहुपदीय समीकरण

18 अप्रैल 2024 / Krystian Karczyński

जटिल बहुपदीय समीकरणों को हल करते समय, हम आमतौर पर हाई स्कूल में वास्तविक बहुपदीय समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल किए गए वही तरीके इस्तेमाल करते हैं। चौथे डिग्री के बहुपद को कैसे संभालें?

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सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप – विभिन्न कोण, परन्तु समान समाधान?

18 अप्रैल 2024 / Krystian Karczyński

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप में प्रयोग किए जाते हैं) 2π-आवधिक होते हैं, जिसका अर्थ है कि 2π, 4π, 6π आदि से भिन्न किसी भी तर्क के लिए वे समान मूल्य अपनाते हैं।

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