दीर्घवृत्तीय निर्देशांक (द्विघातीय समाकल)
Krystian Karczyński
कृष्टियन कार्चिंस्की
eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।
पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।
स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।
जीवन में कभी-कभी ऐसा होता है कि द्विघातीय समाकल में समाकलन का क्षेत्र दीर्घवृत्त होता है….
तब क्या करें?
दीर्घवृत्तीय निर्देशांक
इसका एक शानदार तरीका आमतौर पर तथाकथित दीर्घवृत्तीय निर्देशांक का उपयोग होता है। यह कुछ ऐसा ही है जैसे ध्रुवीय निर्देशांक, काम करने की प्रक्रिया बिलकुल समान है, बस x और y के लिए आप अलग चीजें रखते हैं और जैकोबियन अलग होता है। ‘r’ की व्याख्या भी अलग है। संक्षेप में, यदि आप ध्रुवीय निर्देशांक पर जा सकते हैं (जो आमतौर पर तब होता है जब समाकलन का क्षेत्र एक वृत्त होता है) तो आप आसानी से दीर्घवृत्तीय निर्देशांक को भी समझ सकते हैं।
तो हमारे पास समाकल है: और समाकलन का क्षेत्र जो एक दीर्घवृत्त द्वारा सीमित है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और जिसका समीकरण है: । आइए सुनिश्चित करें कि दीर्घवृत्त समीकरण के दाहिने तरफ निश्चित रूप से 1 हो, ठीक है? अगर उदाहरण के लिए यह 9 है, तो आप इसे 9 से विभाजित करके आसानी से 1 बना सकते हैं।
आकृत किया गया समाकलन क्षेत्र इस प्रकार दिखता है:
चित्र में a और b का अर्थ हर कोई देख सकता है। ध्यान रखना चाहिए कि अगर दीर्घवृत्त समीकरण के हर में के नीचे उदाहरण के लिए 9 है, तो इसका मतलब है कि है, क्यों स्पष्ट है, है ना?
अब ऐसी “साफ़” स्थिति होने पर हम दीर्घवृत्तीय निर्देशांक पर जाते हैं, निम्नलिखित को प्रतिस्थापित करते हुए:
दीर्घवृत्तीय निर्देशांक में चर का अर्थ
कोण का अर्थ ध्रुवीय निर्देशांक के समान ही होता है, और
जैकोबियन
दीर्घवृत्तीय निर्देशांक में जैकोबियन बराबर होता है
जैकोबियन को याद रखते हुए हम दीर्घवृत्तीय निर्देशांक में समाकल में जाते हैं:
जहां चर
बस इसे लें और गणना करें।
उदाहरण
समाकल की गणना करें
उपरोक्त योजना के अनुसार, हम प्रतिस्थापित करते हैं:
हम समाकलन क्षेत्र को लेते हैं:
और समाकल की गणना करते हैं:
जो अब निश्चित रूप से औपचारिकता मात्र है 🙂
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