पैरामीटर के साथ मैट्रिक्स की रैंक

Krystian Karczyński

कृष्टियन कार्चिंस्की

eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।

पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।

स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।

आइए मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें:

समाधान

इसके लिए आप कई तरीकों से शुरुआत कर सकते हैं, और शायद सबसे तेज़ तरीका है पाँचवें कॉलम को -1 से गुणा करना और पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे कॉलम में जोड़ना, जिससे हमें मिलता है:

अब, चलिए 4-डिग्री मैट्रिक्स का डिटरमिनेंट लेते हैं:

डिटरमिनेंट जिसमें मुख्य विकर्ण के अलावा सभी तत्व शून्य होते हैं, मुख्य विकर्ण पर तत्वों के गुणनफल के बराबर होता है (मैं इसे किसी दिन साबित करूंगा 🙂 ), इसलिए:

यह डिटरमिनेंट उन सभी a के लिए शून्य नहीं होता जो 1 के बराबर नहीं होते। इसलिए, ऐसे a के लिए हमारी मैट्रिक्स की रैंक जो हमें गणना करनी है वह 4 है (क्योंकि इससे 4-डिग्री का गैर-शून्य माइनर निकाला जा सकता है, और बड़ा नहीं हो सकता)।

उस मामले का क्या जब . फिर हमें मैट्रिक्स की रैंक मिलती है (a के स्थान पर 1 डालते हुए):

और यह रैंक 1 होती है (उदाहरण के लिए, आप फिर से पाँचवें कॉलम का उपयोग करके अन्य पर काम कर सकते हैं और शून्य कॉलम को हटा सकते हैं)।

इसलिए, जब a 1 के बराबर नहीं होता तो मैट्रिक्स की रैंक 4 होती है, और जब a 1 के बराबर होता है तो मैट्रिक्स की रैंक 1 होती है।