मैट्रिक्स की रैंक का “आँकड़ों से” अनुमान

Krystian Karczyński

कृष्टियन कार्चिंस्की

eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।

पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।

स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।

मैट्रिक्स की रैंक की परिभाषा और इसके परिणाम

मान लेते हैं कि हमने मैट्रिक्स की रैंक को इस प्रकार परिभाषित किया है: “मैट्रिक्स में रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों और स्तंभों की संख्या”। इस परिभाषा से प्रारंभ में ही कौन-कौन सी विशेषताएँ निकलती हैं?

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि मैट्रिक्स की रैंक 1, या 4, या कभी-कभी 0 हो सकती है। लेकिन यह निश्चित रूप से -4, या नहीं हो सकती।

अच्छा, क्या यही सब कुछ है?

लेकिन क्या यही सब कुछ है? उदाहरण के लिए, यह मैट्रिक्स देखें:

इस मैट्रिक्स में 3 पंक्तियाँ और 6 स्तंभ हैं।

आइए खुद से पूछें, इस मैट्रिक्स की रैंक क्या हो सकती है? क्या यह 7 हो सकती है? यह स्पष्ट है कि नहीं, क्योंकि अगर मैट्रिक्स की रैंक “रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों और स्तंभों की संख्या” है, तो इस मामले में यह 7 नहीं हो सकती, क्योंकि इस मैट्रिक्स में इतने पंक्तियाँ या स्तंभ ही नहीं हैं!

अब एक कठिन सवाल… क्या रैंक 6 हो सकती है? इस मैट्रिक्स में 6 स्तंभ तो हैं…

उत्तर है: नहीं। 6 “रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों और स्तंभों की संख्या” होनी चाहिए। 6 रैखिक स्वतंत्र स्तंभों की संख्या हो सकती है (क्योंकि 6 स्तंभ हैं), लेकिन रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या नहीं हो सकती (क्योंकि केवल 3 पंक्तियाँ हैं)। और इसे रैखिक स्वतंत्र “पंक्तियों और स्तंभों” की संख्या होनी चाहिए।

इसलिए, यह स्पष्ट है कि इस मैट्रिक्स की रैंक अधिकतम 3 हो सकती है।

हम एक उपयोगी गुण तक पहुँचते हैं:

रैंक(A) <= न्यूनतम (मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या, मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या)

इसलिए, मैट्रिक्स को देखकर, आप तुरंत उसकी अधिकतम रैंक बता सकते हैं – जो कभी-कभी बहुत उपयोगी हो सकता है।

इसे अधिक सटीक रूप से गणना करने के लिए, आपको उपयुक्त विधियों का उपयोग करना होगा – मैं अपने मैट्रिक्स कोर्स में पाठ 5 में इन्हें दिखाता हूँ, स्वागत है!