Kalkulator do granic (funkcji, jednej zmiennej)
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.
Przedstawiam kolejny kalkulator, tym razem do funkcji jednej zmiennej:
Zasada – prosta jak zawsze. Do pola “f(x) =” wpisujemy funkcję/wyrażenie, z którego chcemy policzyć granicę, zgodnie z ogólnymi zasadami wpisywania formuł matematycznych.
Do pola “x – >” wpisujemy, do czego dąży x.
Klikamy na “Oblicz”.
Uwaga 1 – jak wpisać nieskończoność \infty ?
Nieskończoność wpisujemy:
- albo wpisując dwa razy literkę małe o, czyli: “oo”
- albo np. poprzez wpisanie słowa “infinity”
Uwaga 2 – jak wpisać granice lewo- lub prawostronną?
- x\to {{0}^{+}} wpisujemy “0+”
- x\to {{2}^{-}} wpisujemy “2-“
Przykład 1
Chcę policzyć granicę funkcji \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}.
Wpisuję w pole “f(x)=”: (x-1) /(x^2-1)
Wpisuję w pole “x – >”: 1
Klikam na “Oblicz”.
Mam wynik: \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2}
Przykład 2
Chcę policzyć granicę funkcji \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+5{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-1}{10{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}
Wpisuję w pole “f(x)=”: (x^7+5x^5-4x^3+2x-1)/(10x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
Wpisuję w pole “x – >”: oo
albo:
Wpisuję w pole “x – >”: infinity
Klikam na “Oblicz”.
Mam wynik: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+5{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-1}{10{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}=\frac{1}{10}
Przykład 3
Liczę granicę funkcji \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)
Wpisuję w pole “f(x)=”: e^(1/x)((cosx)^2-1)
Wpisuję w pole “x – >”: 0+
Klikam na “Oblicz”.
Mam wynik: \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)=-\infty
Instrukcja Video
Króciutkie omówienie kalkulatorka także na tym video:
Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...
Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Męczę się długo z tym przykładem i nie ma pojęcia jak go zrobić. Dlaczego w: “lim x dąży do nieskończoności: e^x-x^2″=nieskończoność?
f(x)=xarccos(x/(1-x)) x->1-
co oznacza ioo w wyniku granicy
Bardzo proszę o rozwiązanie granicy funkcji: lim x->1 lnx * cos( π/x-1)
Mam problem z jedną granicą, wyszło mi 0 a robiłem ten przykład metodą mnożenia przez sprzężenie, natomiast na kalkulatorze pokazuje że dąży do nieskończoności.
lim x->oo x \sqrt(3) – \sqrt(3n^2+8)
Czy da się wpisać w kalkulator PI/2? Bo samo PI działa, a przez 2 na żaden sposób nie chce obliczyć nie rozumie
Mi PI/2 działa… A jaka jest cała formuła i do czego ma dążyć x?
Witam pomoże ktoś z granicą:lim x->PI/2 (tgx)^1/(x-PI/2) ?
Czy ktoś pomoże z taką granicą: lim x->oo (((sinx)^2)*lnx)/(x^1/3)
A jak obliczyć granice lim x->0+ 2x*ln(arcsinx)
Dobry Wieczór. Przygotowuje się do kolokwium i chciałbym policzyć jedną granicę, a na kalkulatorze wychodzi jakiś dziwny wynik. Raz zero, raz nieskończoność. Przykład:lim przy x -> nieskończoność (3n+7/3n-2)^-4n
Witam! Potrzebuję pomocy : lim x->o x^x
Dzień dobry! Pilnie potrzebuję pomocy z jednym przykładem. Liczę i liczę, a doliczyć się nie mogę.Z gory dziękuję za pomoc 🙂 lim x->oo (x-lnx)
https://www.youtube.com/watch?v=wg4hVSerxPQ
Witam! Potrzebuję natychmiastowej pomocy z jednym przykładem. Męczę się strasznie, lecz nie mogę go zrobić. Moja profesorka jest straszna. Z góry dziękuję za pomoc.
Granica ta tylko na pierwszy rzut oka wydaje się straszna 🙂
Wystarczy zauważyć taki myk, że występują tutaj po prostu liczby do potęgi “x”. Liczbę e jak i
można potraktować na równi jakby stała tam 
czy 
. W takich sytuacjach postępuje typowo, czyli wyciągam przed nawias największe potęgi z licznika i mianownika, pamiętając, że 
oraz 
Teraz
więc w granicy da 
. Pozostałe wyrażenia podniesione do potęgi x dążą do 
stąd ostateczna granica:
Witam serdecznie mam problem z taka granica lim x →∞ ((x-3)e^(x/(3-x))-x/e) ma wyjsc -6/e mi jakos wychodzi -3/e i nie wiem co zrobic 🙁
jak obliczyć granicę lim_(x->-oo) (sqrt(1+x^2)+x)
Granicę liczymy standardowo mnożąc przez sprzężenie, trzeba tylko uważać, że mamy do czynienia z
. Wygląda to następująco:
Dobry wieczór, chcąc policzyć granicę z f(x)=\sqrt(x(x+1))-x dążącą do nieskończoności kalkulator pokazuje mi wynik 1/2, z moich obliczeń wynika że jest to 2, proszę o pomoc..
Już znalazłem błąd w moich obliczeniach.
Jak obliczyć taką granicę bez używania pochodnych ?lim_(x->-1) (sqrt(4 x + 5) – x^2)/(x^2 – 1)
W obliczeniach należy wykonać mnożenie przez sprzężenia tzn.
następnie rozkładamy
korzystając ze schematu Hornera dla 
i dostajemy 
.
Dalej
Dzień dobry, Jak obliczyć taką granicę: lim x–> oo ln(lnx)/xlnx Bardzo proszę o pomoc.
Dzień dobry,
Trzeba pociągnąć regułą de l’Hospitala:
Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć dlaczego lim x-> -oo z ln(x) jest równy nieskończoność?
Witam
Logarytm naturalny jest określony tylko dla
. Granice można odczytać z wykresu funkcji 
Na wykresie widać, że jeżeli x dąży do nieskończoności to wykres ucieka do góry czyli
; jeżeli natomiast x dąży do zera od prawej strony to wykres ucieka w dół czyli 
.
Nie ma natomiast granicy w
z uwagi na dziedzinę logarytmu.
Świetne wytłumaczenie, kula jest okrągła – bo koło jest okrągłe. Fajnie się argumentuje w tych ciemnych czasach historii… Pójdźmy dalej… Dlaczego masło smakuje masłem – bo jest maślane. Dziękuję za brawa – jestem tak zajebisty jak autor wpisu powyżej
Dzień Dobry!Chciałbym zapytać w jaki sposób mogę wpisać do kalkulatora wyrażenie cos(2x!)
Pomóżcie proszę! Znalazłam w znanym zbiorze bardzo skomplikowane rozwiązanie granicy. Czy to naprawdę taki trudny przypadek?
Nie, to niezbyt trudny przypadek. Należy skorzystać z reguły de Hospitala:
Na początku sprawdzamy, co do czego zmierza:
Mamy więc symbol nieoznaczony.
Przekształcamy go do symbolu nieoznaczonego, w którym można zastosować regułę de Hospitala (pokazałem jak to się robi w Kursie Granic: https://etrapez.pl/produkt/kurs-granice/ ), stosujemy regułę, wszystko ładnie się upraszcza i mamy wynik:
Bardzo dziękuję za pomoc !!! 🙂
hej
Pójdzie to tak (należy skorzystać z reguły de l’Hospitala):
Dziękuję za pomoc 🙂 P.S. Wkradł się mały błąd, (x^4)’=4x^3
Poprawione. Przepraszamy za ta “literówka”. Dalej już idzie poprawnie 🙂
Proszę pomóżcie:)Jak policzyć z d’H lim przy x dążącym do 0+ dla x*e^1/x. Wiem, że ma wyjść nieskończoność? Znalazłam, w Krysickim uzasadnienie, ale strasznie skomplikowane.
Wystarczy “wrzucić” x do mianownika, a dokładniej:
W granicy wystarczy skorzystać z wartości funkcji sinus tzn.
, dostaniemy
Granica obustronna również wynosi zero.
Mam problem z taką granicą nie mam pojecia jak sie za nia zabrac, proszę o pomoc:
W rozwiązaniu wykorzystamy regułę De l’Hospitala oraz własności logarytmów tzn.
Obliczymy granicę
(wydaję mi się, że granica w 
jest ciążka do policzenia i tym samym granica obustronna w 
; po obliczeniu jeszcze powrócę do tego problemu).
Zaczynamy
Dalej
Powracając do
dostajemy
Granica w
tą metoda nie jest możliwa do policzenia ze względu na dziedzinę logarytmu naturalnego 
. Możemy liczyć tylko granicę prawostronną w zerze. Granica 
nie ma sensu.
Mam problem z tą granicą, powinno wyjść chyba zero a ja nie wiem czemu.
Trzeba tak zadziałać:
(bo
)
Polecam, przy okazji mój:
Kurs Granic, https://etrapez.pl/produkt/kurs-granice/
Obliczy mi ktoś ? męcze się z tym od dwóch dni .. ;( ( 5(n+1)!-2(n-1)!)/(3n!-(n+1)! n->oo oraz lim –>4 (x+x^1/2-6)/(x-(5*x^1/2)-6) liczylam z d’Hospitala i wyszlo mi -5 a tutaj na kalkulatorze wychodzi 0
1.
2.
Najprawdopodobniej błąd w zapisach. Chyba powinno być tak:
Mam obliczyc granice zmierzajaca do zera tgx/x^3 – sinx/x^3. W kalkulatorze wychodzi 1/2 a mi zero . Zrobilam z metody de’l Hospitala poniewaz na poczatku wychodzi indeks [0/0] i dalej z pochodnych . Dlaczego wyniki sie roznia ?
Nie mogę rozwiązać tej granicy ( (x^(x)*2^(x))/(x!) a x dąży do nieskończoności) mam wskazówkę, że 0<(ax+1)/(ax)<1 ale wychodzi mi 2e, więc murze udowodnić innym sposobem.. ale nie mam pojęcia jakim..
Dzień dobry! Mam taki kłopot z granicą . W przypadku gdy funkcja dąży do -oo a wygląda tak: lim =2^x to jakim cudem wychodzi że jest to równe zero? Czy liczba podniesiona do potęgi -oo zawsze będzie zerem? Proszę o pomoc. Serdecznie pozdrawiam. K.
Witam!
Jeśli chodzi o taką granicę, przy x dążącym do
zależy jaką liczbę podnosisz do potęgi, większą od 1 czy ułamek.
Bo ten minus w potędze jaki się pojawi (po podstawieniu granicy) – zamienia podstawę na odwrotną, to znaczy wykorzystuje się zależność potęg
Stąd w takich granicach, jeśli liczba podniesiona do potęgi
jest większa od 1, zamieni się na ułamek podnoszony do potęgi 
, a to zawsze będzie zerem 🙂
Wynik wziął się z wzoru
Witam. Czy byłby mi ktoś w stanie pomóc z takim oto przykładem ? lim x-> -oo ln(x^2+1) / 3-4x^2
Jasne, zapraszam:
Cześć . Ucze się do wrześniowego egzaminu i mam problem z jedym przykładem , za każdym razem wychodzi mi cos innego . Proszę o pomoc jak go rozwiązać po kolei bo coś na pewno robie źle .
(1+3/x)^-x przy x-> oo
Witam, granicę można rozwiązać korzystając ze wzoru
Otrzymamy po drobnym przekształceniu
Lim x->-oo( (2x+1)^4-(2x+3)^4)/((x+3)^3-(3x-1)^3)=
Obliczy ktos? 🙂 ma wyjść 32/13
\underset{{x to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{{(2x+1)}}^{4}}-{{{(2x+3)}}^{4}}}}{{{{{(x+3)}}^{3}}-{{{(3x-1)}}^{3}}}}
Rozpisuję podane wyrażenia. O ile w mianowniku można by zastosować wzory skróconego mnożenia, poznane jeszcze w szkole w średniej, to w liczniku nie koniecznie znamy/ pamiętamy od razu gotowy wzór.
Wykorzystuje więc wzór ogólny na n-tą potęgę sumy dwóch liczb (do doboru współczynników pomocny jest również tzw. Trójkąt Pascala)
Stąd
\displaystyle {{(a+b)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}
\displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}
\displaystyle {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}
No to rozpisując mam:
\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{{(2x+1)}}^{4}}-{{{(2x+3)}}^{4}}}}{{{{{(x+3)}}^{3}}-{{{(3x-1)}}^{3}}}}=
\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{16{{x}^{4}}+4\cdot 8{{x}^{3}}+6\cdot 4{{x}^{2}}+4\cdot 2x+1-(16{{x}^{4}}+4\cdot 8{{x}^{3}}\cdot 3+6\cdot 4{{x}^{2}}\cdot 9+4\cdot 2x\cdot 27+81)}}{{{{x}^{3}}+3\cdot {{x}^{2}}\cdot 3+3\cdot x\cdot 9+27-(27{{x}^{3}}-3\cdot 9{{x}^{2}}+3\cdot 3x-1)}}
\displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{16{{x}^{4}}+32{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}+8x+1-16{{x}^{4}}-96{{x}^{3}}-216{{x}^{2}}-216x-81}}{{{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+27x+27-27{{x}^{3}}+27{{x}^{2}}-9x+1}}=
\displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{-64{{x}^{3}}-192{{x}^{2}}-208x-80}}{{-26{{x}^{3}}+36{{x}^{2}}+18x+28}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{x}^{3}}\cdot \left( {-64-\frac{{192}}{x}-\frac{{208}}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{80}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{{{x}^{3}}\cdot \left( {-26+\frac{{36}}{x}+\frac{{18}}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{28}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}=
\displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{\left( {-64-\frac{{192}}{x}-\frac{{208}}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{80}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\left( {-26+\frac{{36}}{x}+\frac{{18}}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{28}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}=\left[ {\frac{{-64-0-0-0}}{{-26+0+0+0}}} \right]=\frac{{32}}{{13}}
Czemu lim x^2/e^x jest równy 0?
Podstawiając wartość \displaystyle \infty za x mam granicę \displaystyle \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right], dlatego też stosuję regułę de l’Hospitala.
\displaystyle \begin{matrix}\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{\left( {{{x}^{2}}} \right)'}}{{\left( {{{e}^{x}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{2x}}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{\left( {2x} \right)'}}{{\left( {{{e}^{x}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{2}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{2}{\infty }} \right]=0\end{matrix}
Wynik końcowy powstał wprost z zastosowania wzoru na granicę:
\displaystyle \left[ {\frac{A}{{\pm \infty }}} \right]=0
Co z granicą lim x->oo (1+4/n)^(n-1) ?
\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}^{{n-1}}}
Wykorzystać chcę tu wzór:
\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}{{\left( {1+\frac{a}{\square }} \right)}^{\square }}={{e}^{a}}
Dlatego przekształcam:
\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}^{{n-1}}}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}}^{n}}} \right]}^{{\frac{{n-1}}{n}}}}
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do \displaystyle {{e}^{4}}.
Na boku rozpisuję granicę potęgi
\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{n-1}}{n}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\frac{{n\left( {1-\frac{1}{n}} \right)}}{n}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}\left( {1-\frac{1}{n}} \right)=1-0=1
Mam więc ostatecznie:
\displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{lim }}}{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}}^{n}}} \right]}^{{\frac{{n-1}}{n}}}}={{\left[ {{{e}^{4}}} \right]}^{1}}={{e}^{4}}
wprowadziłam dla sprawdzenia granicę (x^2-9)/(x^2-3x) przy x dążącym do 3 mi wychodzi 0 natomiast tu pojawia się 2, dlaczego?
w tej granicy, jak się tego nie poprzekształca wychodzi na końcu 0/0. Trzeba policzyć pochodne z tych funkcji i dopiero liczyć granicę, czyli 2x/(2x-3).
Rozwiązanie:
Po sprawdzeniu. że mamy wyraz typu
, licznik rozkładamy na mnożniki wg wzoru mnożenia skroconego 
, w mianowniku wynosimy x za nawiasy, potem ułamek skracamy i podstawiamy 
ponownie:
Jak wprowadzić symbol pi?
PI, obie literki z wielkiej.
Przydatna sprawa 🙂 Jednak nie mogę rozwiązać jednej granicy:
(e^(2x)-1)/ln(1+2x). Wiem, że powinno wyjść 1 (mi wychodzi 0), ale nie mam pojęcia skąd. Mógłbyś mi to wytłumaczyć ?
Rozumiem, że chodzi o granicę funkcji dla x dążącego do zera tak? 😉
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(e%5E(2x)-1)%2Fln(1%2B2x)
A zatem po podstawieniu w granicy \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{e}^{{2x}}}-1}}{{ln(1+2x)}} wartości zero za “x” mam:
\displaystyle \left[ {\frac{{{{e}^{0}}-1}}{{ln (1+0)}}=\frac{{1-1}}{{ln 1}}=\frac{0}{0}} \right]
Jest to symbol nieoznaczony, dlatego najlepiej jest tu zastosować regułę de l’Hospitala:
\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{e}^{{2x}}}-1}}{{ln(1+2x)}}=\left[ {\frac{0}{0}} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\underset{{x\to 0}}{\mathop{{lim }}}\frac{{\left( {{{e}^{{2x}}}-1} \right)'}}{{\left( {ln(1+2x)} \right)'}}=\underset{{x\to 0}}{\mathop{{lim }}}\frac{{{{e}^{{2x}}}\cdot 2-0}}{{\frac{1}{{1+2x}}\cdot 2}}=
\displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{lim }}}{{e}^{{2x}}}\cdot (1+2x)=\left[ {{{e}^{{2\cdot 0}}}\cdot (1+2\cdot 0)=1\cdot (1+0)} \right]=1
ok, przepraszam znalazłem 🙂
no dobrze a jak wprowadzić pierwiastek ?
sqrt()
czy można wprowadzić pierwiastek np. 3 stopnia?
Tak, należy wpisać x^1/3 🙂