Przydatna granica funkcji z cosinusem

Krystian Karczyński

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: {lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1 (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: {lim}under{x{right}0}{cosx}/x=1 , bo granica funkcji nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

${lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2$ – w wielu podręcznikach podany już „na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

${lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}$

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}$

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=$

Granica funkcji z ${lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2$ zbiega do , bo:

${lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1$

A granica funkcji z {lim}under{x{right}0}(1+cosx) zbiega do , bo cos0=1 , zatem mamy wynik:

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2$

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie byłem dobry z matmy a wybrałem się na studia inżynierskie, teraz zaczynam wszystko rozumieć. Jednak nauczyciel ma znaczenie!

Paweł

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Julia pisze:
27 maja 2011 o 11:30
Bardzo, bardzo dziękuję Panu za wytłumaczenie! Miałam właśnie w podręczniku zadanko, w którym trzeba było to obliczyć – dobrze, że jest taki ktoś jak Pan 😉
Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  27 maja 2011 o 14:45
  Super, cieszę się, że się przydało.
kuba pisze:
13 listopada 2012 o 10:52
Genialne
Odpowiedz
kuba pisze:
13 listopada 2012 o 10:53
Genialne
Takie łatwe a sam bym tego nie ogarnął
Odpowiedz
paulina pisze:
17 listopada 2012 o 16:32
Kurs pierwszorzędny! Zagadnienia wytłumaczone bardzo precyzyjnie, różne stopnie trudności.
polecam 🙂
Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:
19 listopada 2012 o 09:55
Dzięki!
Odpowiedz
Paulina pisze:
8 grudnia 2012 o 21:54
Kurs niesamowity, bardzo mi pomógł. Tłumaczenie nie jest sztywne i przyjemnie się Pana słucha 😉 Pozdrawiam!
Odpowiedz
Jack pisze:
11 grudnia 2012 o 21:10
bardzo fajnie wytłumaczone,ale mam jeden problem :/ co zrobić gdy w mianowniku jest 3x^2 zamiast samego x^2
Odpowiedz
Edytka pisze:
18 grudnia 2012 o 19:17
A jak będzie ze zbieżnością takiego szeregu n*sin (1/n2)?
Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:
12 lutego 2013 o 22:40
Zgadza się, ale wtedy trzeba znać pochodne. No i Pan Profesor musi pozwolić.
Odpowiedz
1. Kiler pisze:
  19 listopada 2013 o 23:38
  dziekuje…z a to wyprowadzenie … Pani dr nie potrafila ogarnąć ale madrzy studenci Politechniki Wrocławskiej wytlumaczyli
Klaudia pisze:
24 listopada 2013 o 18:44
Kocham matematykę <3 Dzięki Krystian!
Odpowiedz
Asia pisze:
11 stycznia 2016 o 18:15
Z koleżanką oglądamy regularnie i baaaardzo nam to pomaga w zrozumieniu matematyki na studiach szczególnie że mamy kiepskie podstawy a czasu brak na ich ogarnięcie 🙁
Kursy są robione w sposób jasny, zrozumiały i co najwazniejsze są tłumaczone językiem zrozumiałym dla studentów.
p.s. Przydałby się w rozwiązaniach zadań domowych(o ile to możliwe) pokazywać jednak przykładowy sposób jak się do tego doszło. Wiem ze to dużo więcej roboty dla Pana ale myślę że ułatwiłoby znacznie prace studentom 🙂
Pozdrawiam!
Odpowiedz
Konieczkson pisze:
19 lutego 2017 o 21:26
Panie Karczyński, idź Pan na księdza to za 100 lat zostanie Pan mianowany patronem studentów
Odpowiedz

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian Karczyński

read on

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan Rychlewski

read on

Dzielenie wielomianów w Z5. Fragment Kursu Rekurencje, Notacja O, Grupy i Pierścienie (VIDEO)

29 grudnia 2020 / Krystian Karczyński

read on