DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Przydatna granica funkcji z cosinusem

Krystian Karczyński

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: {lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1 (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: {lim}under{x{right}0}{cosx}/x=1, bo granica funkcji {lim}under{x{right}0}{cosx}/x nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2 – w wielu podręcznikach podany już „na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=

Granica funkcji z {lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2 zbiega do 1, bo:

{lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1

A granica funkcji z {lim}under{x{right}0}(1+cosx) zbiega do 2, bo cos0=1, zatem mamy wynik:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie byłem dobry z matmy a wybrałem się na studia inżynierskie, teraz zaczynam wszystko rozumieć. Jednak nauczyciel ma znaczenie!

Paweł

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Julia pisze:

    Bardzo, bardzo dziękuję Panu za wytłumaczenie! Miałam właśnie w podręczniku zadanko, w którym trzeba było to obliczyć – dobrze, że jest taki ktoś jak Pan 😉

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Super, cieszę się, że się przydało.

  2. kuba pisze:

    Genialne
    Takie łatwe a sam bym tego nie ogarnął

  3. paulina pisze:

    Kurs pierwszorzędny! Zagadnienia wytłumaczone bardzo precyzyjnie, różne stopnie trudności.
    polecam 🙂

  4. Krystian Karczyński pisze:

    Dzięki!

  5. Paulina pisze:

    Kurs niesamowity, bardzo mi pomógł. Tłumaczenie nie jest sztywne i przyjemnie się Pana słucha 😉 Pozdrawiam!

  6. Jack pisze:

    bardzo fajnie wytłumaczone,ale mam jeden problem :/ co zrobić gdy w mianowniku jest 3x^2 zamiast samego x^2

  7. Edytka pisze:

    A jak będzie ze zbieżnością takiego szeregu n*sin (1/n2)?

  8. Krystian Karczyński pisze:

    Zgadza się, ale wtedy trzeba znać pochodne. No i Pan Profesor musi pozwolić.

    1. Kiler pisze:

      dziekuje…z a to wyprowadzenie … Pani dr nie potrafila ogarnąć ale madrzy studenci Politechniki Wrocławskiej wytlumaczyli

  9. Klaudia pisze:

    Kocham matematykę <3 Dzięki Krystian!

  10. Asia pisze:

    Z koleżanką oglądamy regularnie i baaaardzo nam to pomaga w zrozumieniu matematyki na studiach szczególnie że mamy kiepskie podstawy a czasu brak na ich ogarnięcie 🙁

    Kursy są robione w sposób jasny, zrozumiały i co najwazniejsze są tłumaczone językiem zrozumiałym dla studentów.

    p.s. Przydałby się w rozwiązaniach zadań domowych(o ile to możliwe) pokazywać jednak przykładowy sposób jak się do tego doszło. Wiem ze to dużo więcej roboty dla Pana ale myślę że ułatwiłoby znacznie prace studentom 🙂

    Pozdrawiam!

  11. Konieczkson pisze:

    Panie Karczyński, idź Pan na księdza to za 100 lat zostanie Pan mianowany patronem studentów