Przydatna granica funkcji z cosinusem

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: , bo granica funkcji nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

${lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2$ – w wielu podręcznikach podany już “na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

${lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}$

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}$

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=$

Granica funkcji z ${lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2$ zbiega do , bo:

${lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1$

A granica funkcji z zbiega do , bo , zatem mamy wynik:

$={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2$

Bestsellery w tym miesiącu

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Konieczkson pisze:

19 lutego 2017 o 21:26

Panie Karczyński, idź Pan na księdza to za 100 lat zostanie Pan mianowany patronem studentów

Odpowiedz
Asia pisze:

11 stycznia 2016 o 18:15

Z koleżanką oglądamy regularnie i baaaardzo nam to pomaga w zrozumieniu matematyki na studiach szczególnie że mamy kiepskie podstawy a czasu brak na ich ogarnięcie 🙁

Kursy są robione w sposób jasny, zrozumiały i co najwazniejsze są tłumaczone językiem zrozumiałym dla studentów.

p.s. Przydałby się w rozwiązaniach zadań domowych(o ile to możliwe) pokazywać jednak przykładowy sposób jak się do tego doszło. Wiem ze to dużo więcej roboty dla Pana ale myślę że ułatwiłoby znacznie prace studen\tom 🙂

Pozdrawiam!

Odpowiedz
Klaudia pisze:

24 listopada 2013 o 18:44

Kocham matematykę <3 Dzięki Krystian!

Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:

12 lutego 2013 o 22:40

Zgadza się, ale wtedy trzeba znać pochodne. No i Pan Profesor musi pozwolić.

Odpowiedz
1. Kiler pisze:
  
  19 listopada 2013 o 23:38
  
  dziekuje…z a to wyprowadzenie … Pani dr nie potrafila ogarnąć ale madrzy studenci Politechniki Wrocławskiej wytlumaczyli
Edytka pisze:

18 grudnia 2012 o 19:17

A jak będzie ze zbieżnością takiego szeregu n*sin (1/n2)?

Odpowiedz
Jack pisze:

11 grudnia 2012 o 21:10

bardzo fajnie wytłumaczone,ale mam jeden problem :/ co zrobić gdy w mianowniku jest 3x^2 zamiast samego x^2

Odpowiedz
Paulina pisze:

8 grudnia 2012 o 21:54

Kurs niesamowity, bardzo mi pomógł. Tłumaczenie nie jest sztywne i przyjemnie się Pana słucha 😉 Pozdrawiam!

Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:

19 listopada 2012 o 09:55

Dzięki!

Odpowiedz
paulina pisze:

17 listopada 2012 o 16:32

Kurs pierwszorzędny! Zagadnienia wytłumaczone bardzo precyzyjnie, różne stopnie trudności.
polecam 🙂

Odpowiedz
kuba pisze:

13 listopada 2012 o 10:53

Genialne
Takie łatwe a sam bym tego nie ogarnął

Odpowiedz
kuba pisze:

13 listopada 2012 o 10:52

Genialne

Odpowiedz
Julia pisze:

27 maja 2011 o 11:30

Bardzo, bardzo dziękuję Panu za wytłumaczenie! Miałam właśnie w podręczniku zadanko, w którym trzeba było to obliczyć – dobrze, że jest taki ktoś jak Pan 😉

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  27 maja 2011 o 14:45
  
  Super, cieszę się, że się przydało.

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz darmowe lekcje