Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

Główna / Granice / Granice funkcji / Przydatna granica funkcji z cosinusem

Przydatna granica funkcji z cosinusem

przez 14 komentarzy

Print Friendly, PDF & EmailDrukuj

Granice funkcji z sinusem zwykle traktujemy wzorem: {lim}under{x{right}0}{sinx}/x=1 (wyprowadzenie tego wzoru możesz znaleźć tutaj).

Pytanie: co z cosinusem x?

Wzór na granicę funkcji z cosinusem

Oczywiście nie zachodzi: {lim}under{x{right}0}{cosx}/x=1, bo granica funkcji {lim}under{x{right}0}{cosx}/x nie jest w ogóle symbolem nieoznaczonym.

Do granic z cosinusem x często pomocny bywa wzór:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2=1/2 – w wielu podręcznikach podany już „na starcie”, bez wykazywania, a w wielu jako granica funkcji, którą trzeba dopiero wyliczyć.

Niezależnie od tego, jak jest w Twoim przypadku, warto znać sposób wyprowadzenia tego wzoru, a leci to tak:

{lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2={lim}under{x{right}0}{1-cosx}/x^2{1+cosx}/{1+cosx}={lim}under{x{right}0}{(1-cosx)(1+c0sx)}/{x^2(1+cosx)}

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}

W tym momencie w liczniku korzystam z jedynki trygonometrycznej:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}={lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=

Granica funkcji z {lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2 zbiega do 1, bo:

{lim}under{x{right}0}{sin^2{x}}/x^2={lim}under{x{right}0}({sinx}/x)^2=1^2=1

A granica funkcji z {lim}under{x{right}0}(1+cosx) zbiega do 2, bo cos0=1, zatem mamy wynik:

={lim}under{x{right}0}{1-c0s^2{x}}/{x^2(1+cosx)}=1/2

Dołącz do ponad 7 200 użytkowników na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 21 Lekcji Video.
Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto

W kategorii: Granice funkcji, Studia

Reader Interactions

Komentarze

  1. Bardzo, bardzo dziękuję Panu za wytłumaczenie! Miałam właśnie w podręczniku zadanko, w którym trzeba było to obliczyć – dobrze, że jest taki ktoś jak Pan 😉

    Odpowiedz

  6. Kurs niesamowity, bardzo mi pomógł. Tłumaczenie nie jest sztywne i przyjemnie się Pana słucha 😉 Pozdrawiam!

    Odpowiedz

    • dziekuje…z a to wyprowadzenie … Pani dr nie potrafila ogarnąć ale madrzy studenci Politechniki Wrocławskiej wytlumaczyli

      Odpowiedz

  11. Z koleżanką oglądamy regularnie i baaaardzo nam to pomaga w zrozumieniu matematyki na studiach szczególnie że mamy kiepskie podstawy a czasu brak na ich ogarnięcie 🙁

    Kursy są robione w sposób jasny, zrozumiały i co najwazniejsze są tłumaczone językiem zrozumiałym dla studentów.

    p.s. Przydałby się w rozwiązaniach zadań domowych(o ile to możliwe) pokazywać jednak przykładowy sposób jak się do tego doszło. Wiem ze to dużo więcej roboty dla Pana ale myślę że ułatwiłoby znacznie prace studentom 🙂

    Pozdrawiam!

    Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *