blog

Co robić, gdy granica funkcji nie istnieje?

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Pani Dominika w komentarzach na blogu przesłała mi z pozoru prostą granicę, która jednak ma swoje komplikacje. W trakcie rozwiązywania okazuje się nawet, że w ogóle nie istnieje 🙂 Jak widać na filmiku poniżej, granice potrafią być zdradliwe…

 

Jeśli masz jakieś pytania, lub wątpliwości, zadaj je śmiało w komentarzach pod postem.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Maciej pisze:

    Jeśli przy badaniu zbieżności całki I stopnia z definicji, dana granica nie istnieje. Co wtedy oznacza takie rozwiązanie?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Że całka jest rozbieżna.

  2. Katarzyna pisze:

    Mam ogromny problem z zespoloną tego typu y-x jest < lub równy 2*Im (w liczniku 9i^3 – 2) w mianowniku 2-i

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jeżeli dobrze zrozumiałem wyrażenie i jeżeli dobrze zrozumiałem, że chodzi o to, żeby zaznaczyć obszar na płaszczyźnie:

      y-x\le 2Im\left( \frac{9{{i}^{3}}-2}{2-i} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{9\cdot \left( -i \right)-2}{2-i} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{-9i-2}{2-i}\cdot \frac{2+i}{2+i} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{\left( -9i-2 \right)\left( 2+i \right)}{{{2}^{2}}-{{i}^{2}}} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{-18i-9{{i}^{2}}-4-2i}{4+1} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{-20i+5}{5} \right)

      y-x\le 2Im\left( \frac{-20i}{5}+\frac{5}{5} \right)

      y-x\le 2Im\left( 1-4i \right)

      “Im” oznacza częśc urojoną liczby, czyli mamy:

      y-x\le 2\cdot \left( -4 \right)

      y\le x-8

      …czyli zbiór wszystkich punktów (na płaszczyźnie), które leżą pod prostą x-8:

    2. Katarzyna pisze:

      dziękuje bardzo, chodziło mi dokładnie o to 🙂

  3. Paula pisze:

    A takie granice? 1) lim_{x->π/2} [(π/2-x)(tgx)] 2)lim_{x->0} [(e^x+5x)^1/2x]

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Co do granicy 1) to proponuję regułę de l’Hospitala (pokazuję, jak to się robi na Lekcji 4 mojego Kursu):

      underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},left( frac{pi }{2}-x right)tgx=underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{frac{pi }{2}-x}{frac{1}{tgx}}=underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{frac{pi }{2}-x}{ctgx}underset{H}{overset{left[ frac{0}{0} right]}{mathop{=}}},underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{{{left( frac{pi }{2}-x right)}^{prime }}}{{{left( ctgx right)}^{prime }}}=

      =underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{-1}{-frac{1}{{{sin }^{2}}x}}=underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},{{sin }^{2}}x={{1}^{2}}=1

    2. Paula pisze:

      Ślicznie dziękuje za pomoc 🙂

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Co do granicy 2) to również de l’Hospital:

      \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{x}}+5x \right)}^{\frac{1}{2x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{2x}\ln \left( {{e}^{x}}+5x \right)}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{\ln \left( {{e}^{x}}+5x \right)}{2x}}}

      Teraz granicę w wykładniku liczę sobie na boczku:

      \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( {{e}^{x}}+5x \right)}{2x}\underset{H}{\overset{\left[ \frac{0}{0} \right]}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left[ \ln \left( {{e}^{x}}+5x \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left( 2x \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{e}^{x}}+5x}{{\left( {{e}^{x}}+5x \right)}^{\prime }}}{2}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{e}^{x}}+5x}\left( {{e}^{x}}+5 \right)}{2}=

      =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}+5}{{{e}^{x}}+5x}}{2}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+5}{{{e}^{x}}+5x}\cdot \frac{1}{2}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+5}{2\left( {{e}^{x}}+5x \right)}=\frac{6}{2}=3

      Czyli WRACAJĄC do pierwszej linijki:

      \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{e}^{x}}+5x \right)}^{\frac{1}{2x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{2x}\ln \left( {{e}^{x}}+5x \right)}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{\ln \left( {{e}^{x}}+5x \right)}{2x}}}={{e}^{3}}

  4. Wojtek pisze:

    A np. taka granica ? (x->0+) (x-xlnx)/(x-tgx)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Warto zauważyć, że NIE można zastosować de l’Hospitala, bo na nie jest to żaden z symboli nieoznaczonych.

      Można zastosować trochę nietypowy manewr wyciągnięcia xprzed nawias:

      \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-x\ln x}{x-tgx}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1-\ln x \right)}{x\left( 1-\tfrac{tgx}{x} \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\ln x}{1-\tfrac{tgx}{x}}

      Teraz już tylko spokojna orientacja w sytuacji. Licznik dąży do +\infty (bo \ln {{0}^{+}}\to -\infty ). W mianowniku \frac{tgx}{x}\to 1(wprost ze wzoru, jeśli go mamy, albo przekształcając i korzystając ze wzoru \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1). Zatem mianownik dąży do 0.

      Teraz bardzo ważna i trudna sprawa. Trzeba określić znak mianownika. Wiemy, że dąży do 0, ale nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny.

      Z innych źródeł analizy wiemy, że dla x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right) x < tgx. Skoro tgxjest większy od x, to znaczy, że \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{tgx}{x}dąży do 1, ale jest cały czas WIĘKSZY od 1(bo licznik jest większy od mianownika.

      Zatem w mianowniku mamy działania 1 odjąć wartość większą od 1, zatem mianownik jest UJEMNY.

      W liczniku mamy więc +\infty , a w mianowniku nieskończenie małą, ale ujemną. Cała granica będzie więc równa:

      \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-x\ln x}{x-tgx}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1-\ln x \right)}{x\left( 1-\tfrac{tgx}{x} \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\ln x}{1-\tfrac{tgx}{x}}=-\infty