Funkcje Hiperboliczne na Pomoc

Wykład

Temat: Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne to funkcje “podobne” do funkcji trygonometrycznych.

“Podobne” to znaczy mające “podobne”:

• nazwy
• własności
• pochodne

Należy jednak rozumieć, że “podobne” nie znaczy “takie same”. Funkcje hiperboliczne to zupełnie nowe funkcje do poznania.

Gdzie się przydają? W niektórych zagadnieniach, zwłaszcza na Politechnikach, ich użycie ułatwia sprawy.

Na przykład w całkach nieoznaczonych wzór elementarny:

16.\quad \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C}

Można też wyrazić jako:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}={{\sinh }^{-1}}\left( \frac{x}{a} \right)+C

Tą wersję wzoru używa także Wolfram, co często dodatkowo myli studentów (gdy sprawdzają Swój wynik z Wolframem i widzą jakieś sinusy hiperboliczne automatycznie zakładają, że policzyli coś źle).

W tym artykule pokażę Ci, czym są funkcje hiperboliczne, jakie mają własności i pochodne, w czym są podobne do znanych już Ci funkcji trygonometrycznych.

Pokażę Ci także, jak zastosować je do całek nieoznaczonych właśnie i jak przyjemnie właśnie ułatwiają w nich robotę.

Funkcja hiperboliczna – co to w ogóle jest?

Funkcje hiperboliczne to funkcje, których wartości powstają poprzez różne kombinowanie z wartościami funkcji e^x, a konkretnie:

Sinus hiperboliczny: \sinh x=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}

Cosinus hiperboliczny: \cosh x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}

Tangens hiperboliczny: tghx=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}

Kotangens hiperboliczny: ctghx=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}

No i tyle. To już jest cała definicja. Po prostu funkcja sinus hiperboliczny ma taki wzór i już. Dla lepszego “wczucia” się w funkcję zapraszam do pobawienia się trochę jej wykresem. Podstaw do wzoru za x-sa kilka liczb, oblicz wartości i zaznacz kropki na wykresie (tak, tak, to stara, dobra “tabelka” ze szkoły średniej).

Dla sinusa hiperbolicznego na przykład kropki powinny ułożyć Ci się w taki wykres:

Wykresy pozostałych funkcji też możesz sobie porysować, albo znaleźć w Wikipedii.

Własności funkcji hiperbolicznych

Dlaczego właściwie ktoś sobie wymyślił, żeby coś takiego: \frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}– nazywać w ogóle “sinusem” (hiperbolicznym)? Skąd to słowo? Bo jakiś trygonometrii to w tym specjalnie nie widać…

Ano dlatego, że “to coś” ma bardzo podobne własności do funkcji trygonometrycznej “sinus”. W ogóle w matematyce jest to bardzo ciekawe. Znajdywanie niezwykłych podobieństw i analogii pomiędzy obiektami – wydawało by się – z zupełnie innych bajek.

No więc zachodzi:

{{\cosh }^{2}}x-{{\sinh }^{2}}x=1(podobne, ale nie takie same, to jest do jedynki trygonometrycznej)

\cosh 2x={{\cosh }^{2}}x+{{\sinh }^{2}}x(podobnie do wzoru na cos2x)

\sinh 2x=2\sinh x\cosh x(identycznie do wzoru na sin2x)

Własności wykazać łatwo, starczy podstawić do nich wyrażenia z definicji i porachować, na przykład do pierwszej:

{{\cosh }^{2}}x-{{\sinh }^{2}}x={{\left( \frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x}}{{e}^{-x}}+{{e}^{-2x}}}{4}-\frac{{{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}{{e}^{-x}}+{{e}^{-2x}}}{4}= =\frac{{{e}^{2x}}+2{{e}^{x-x}}+{{e}^{-2x}}-\left( {{e}^{2x}}-2{{e}^{x-x}}+{{e}^{-2x}} \right)}{4}=\frac{{{e}^{2x}}+2{{e}^{0}}+{{e}^{-2x}}-{{e}^{2x}}+2{{e}^{0}}-{{e}^{-2x}}}{4}=\frac{4}{4}=1

Funkcje hiperboliczne i trygonometryczne łączą się też fajnie w liczbach zespolonych, ale  tutaj nie będę już się o tym rozpisywać (możesz poczytać na Wikipedii).

Pochodne funkcji hiperbolicznych

Jakie są pochodne funkcji hiperbolicznych? Znowu – podobne do trygonometrycznych.

Policzmy na przykład pochodną sinusa hiperbolicznego:

{{\left( \sinh x \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}{{\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left[ {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}-{{\left( {{e}^{-x}} \right)}^{\prime }} \right]=\frac{1}{2}\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}=\cosh x

A dla wszystkich funkcji:

{{\left( \sinh x \right)}^{\prime }}=\cosh x(tak samo, jak w trygonometrycznych)

{{\left( \cosh x \right)}^{\prime }}=\sinh x(tak samo, jak w trygonometrycznych, tylko znak inny)

{{\left( tghx \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cosh }^{2}}x}(tak samo, jak w trygonometrycznych)

{{\left( ctghx \right)}^{\prime }}=\frac{-1}{{{\sinh }^{2}}x}(tak samo, jak w trygonometrycznych)

Funkcje odwrotne do hiperbolicznych – zamotajmy to bardziej

Wyznaczę teraz funkcję odwrotną do sinusa hiperbolicznego.

Biorę sobie tą funkcję:

y=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}

Jest to wyrażenie, w którym wyznaczony jest ‘y’, za pomocą ‘x’. Szukając funkcji odwrotnej, trzeba wyznaczyć ‘x’, za pomocą ‘y’.

Czasami jest to łatwe, czasami trochę mniej. Tutaj właśnie będzie to ‘trochę mniej’.

Jadę:

y=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}

y=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}  /\cdot 2

2y={{e}^{x}}-{{e}^{-x}}

2y={{e}^{x}}-\frac{1}{{{e}^{x}}}  /\cdot {{e}^{x}}

2y{{e}^{x}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-1 -{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+2y{{e}^{x}}+1=0 t={{e}^{x}} -{{t}^{2}}+2yt+1=0 \Delta ={{\left( 2y \right)}^{2}}-4\cdot \left( -1 \right)\cdot 1=4{{y}^{2}}+4 {{t}_{1}}=\frac{-2y-\sqrt{4{{y}^{2}}+4}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-2y-\sqrt{4\left( {{y}^{2}}+1 \right)}}{-2}=\frac{-2y-2\sqrt{{{y}^{2}}+1}}{2}=\frac{2\left( -y-\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right)}{-2}=y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} {{t}_{2}}=\frac{-2y+\sqrt{4{{y}^{2}}+4}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-2y+\sqrt{4\left( {{y}^{2}}+1 \right)}}{-2}=\frac{-2y+2\sqrt{{{y}^{2}}+1}}{-2}=\frac{2\left( -y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right)}{-2}=y-\sqrt{{{y}^{2}}+1}

Czyli, pamiętając o tym, że t={{e}^{x}}

{{e}^{x}}=y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}\quad \vee \quad {{e}^{x}}=y-\sqrt{{{y}^{2}}+1}

Tą drugą możliwość odrzucam, bo wyrażenie y-\sqrt{{{y}^{2}}+1} jest zawsze ujemne, a e^x nie może być ujemne.

Mam więc tylko:

{{e}^{x}}=y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}

Teraz obie strony “logarytmuję” logarytmem naturalnym:

{{e}^{x}}=y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}  /\ln \ldots

\ln {{e}^{x}}=\ln \left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right) x\ln e=\ln \left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right) x=\ln \left( y+\sqrt{{{y}^{2}}+1} \right)

I mam wyznaczony x!

Funkcją odwrotną zatem do sinusa hiperbolicznego: \frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}jest funkcja: \ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).

Możemy oznaczyć ją tak jak na Zachodzie i tak jak oznacza ją Wolfram:

{{\sinh }^{-1}}x=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)

Co w oczywisty sposób kojarzy się z funkcją odwrotną…

Albo możemy oznaczyć ją tak jak w polskich oznaczeniach:

ar\sinh x=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)

Co nawiązuje do funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych (arcsinx odwrotna do sinx).

Oznaczenie zachodnie jest oczywiście lepsze, bo się nie myli.

Funkcje odwrotne do hiperbolicznych w Polsce nazywa się funkcjami “area” i mówi na przykład: “area sinus hiperboliczny”. Spotkałem się też z wyrażeniami “sinus ahiperboliczny”, ale tylko od studentów, bo nie wyczytałem ich nigdzie w książkach.

Wszystkie wzory na nie to:

ar\sinh x=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) ar\cosh x=\ln \left( x\pm \sqrt{{{x}^{2}}-1} \right) artghx=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x} arctghx=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}

To właśnie jedna z takich funkcji wyskakuje w wyniku całki elementarnej, o której pisałem na początku:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}={{\sinh }^{-1}}\left( \frac{x}{a} \right)+C

Więcej o funkcjach area (czyli odwrotnych do hiperbolicznych) ich wykresach, pochodnych itd. poczytać możesz na Wikipedii.

Zastosowania funkcji hiperbolicznych i odwrotnych do nich

Funkcje hiperboliczne, dzięki swoim zgrabnym własnościom i pochodnym, przydają się w wielu miejscach analizy matematycznej. Pierwszym (no i szczerze powiedziawszy często ostatnim) z nich dla wielu studentów są niektóre wzory na całki nieoznaczone.

Powiedzmy na przykład, że mamy obliczyć całkę \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+7}}}i powiedzmy, że NIE znamy na wejściu wzoru z mojej kartki:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C

Całkę rozwiązujemy podstawiając funkcję hiperboliczną \sqrt{7}\sinh t=x(metodę przez podstawienie pokazuję w Swoim Kursie ), dalej różniczkując obie strony mam: \sqrt{7}\cosh tdt=dx(takie podstawienia, w których nie podstawia się tak “równo” t=COŚ również pokazałem w Kursie ), dalej do całki potrzebny mi jest związek:  \sqrt{{{x}^{2}}+7}, który wyznaczam ( moje podstawienie to: \sqrt{7}\sinh t=x):

\sqrt{{{x}^{2}}+7}=\sqrt{{{\left( \sqrt{7}\sinh t \right)}^{2}}+7} \sqrt{{{x}^{2}}+7}=\sqrt{7{{\sinh }^{2}}t+7} \sqrt{{{x}^{2}}+7}=\sqrt{7\left( {{\sinh }^{2}}t+1 \right)}

Teraz korzystam z własności funkcji hiperbolicznych: {{\cosh }^{2}}x-{{\sinh }^{2}}x=1:

\sqrt{{{x}^{2}}+7}=\sqrt{7\left( {{\cosh }^{2}}t-1+1 \right)}

I mam zgrabne:

\sqrt{{{x}^{2}}+7}=\sqrt{7}\cosh t

Podstawiając to wszystko do całki mam:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+7}}}=\int{\frac{\sqrt{7}\cosh tdt}{\sqrt{7}\cosh t}}=\int{dt}=t+C

Teraz, skoro miałem podstawienie:

\sqrt{7}\sinh t=x /:\sqrt{7}

\sinh t=\frac{x}{\sqrt{7}}

To aby wyznaczyć z niego t działam na obie strony funkcją odwrotną do sinusa hiperbolicznego, a więc area sinusem hiperbolicznym i mam:

t=ar\sinh \frac{x}{\sqrt{7}}

lub inaczej zapisując:

t={{\sinh }^{-1}}\frac{x}{\sqrt{7}}

Wracając do mojej całki:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+7}}}=\int{\frac{\sqrt{7}\cosh tdt}{\sqrt{7}\cosh t}}=\int{dt}=t+C=ar\sinh \frac{x}{\sqrt{7}}+C

Ogólnie wzór na całkę elementarną: \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C można wyrazić wzorem:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=ar\sinh \frac{x}{\sqrt{q}}+C– dla q>0

lub:

\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=ar\cosh \frac{x}{\sqrt{q}}+C– dla q<0

Wyprowadzić te wzory można stosując podstawienie \sinh t=xlub \cosh t=x (w zależności od znaku q). Wyżej pokazałem to na konkretnym przykładzie dla q=7>0.

Uwaga

Profesorzy na zajęciach często wręcz WYMAGAJĄ zastosowania wzoru: \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=ar\sinh \frac{x}{\sqrt{q}}+Ci nie chcą nawet słyszeć o wzorze: \int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+q}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+q} \right|+C.

Albo jeszcze lepiej, w ogóle nie pozwalają korzystać ze wzoru, tylko chcą, aby takie całki rozwiązywać przez podstawienie funkcji hiperbolicznych.

Więc trzeba na to uważać. Najlepiej w ogóle wygumkować (tak to się mówiło w moich starożytnych czasach ołówków i gumek do ścierania) wzór z logarytmem i zastąpić wzorem z area sinusem.

Pamiętaj także, że funkcje hiperboliczne mogą “wyskoczyć” Ci gdzieś na końcu zadania, na przykład w całce:

\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}dx}

Trzeba na początku ruszyć ją znanymi metodami, tzn. metodą współczynników nieoznaczonych, później rozbroić całkę przejściem na postać kanoniczną itd. (pokazuję jak rozwiązywać takie całki w Kursie Całek Nieoznaczonych ) – dopiero na koniec końców będziemy mieli do policzenia całkę, w której “wyskoczy” wzór z area sinusem (albo area cosinusem).

Koniec

No i tyle, mam nadzieję, że tajemnicze {{\sinh }^{-1}}x wyskakujące czasem w wynikach Wolframa przestanie być dla Was już takie dziwne.