Teorema sobre la Derivada de una Función Inversa.

Fórmulas para Derivadas

Tema: Teorema sobre la Derivada de una Función Inversa. Aplicación del teorema para derivar varias fórmulas de derivadas.

Resumen

En nuestra clase, vamos a sumergirnos en este genial teorema sobre la derivada de una función inversa. Lo probaremos y veremos cómo usarlo para sacar un montón de fórmulas de derivadas. Sin este teorema, obtener estas fórmulas (como hicimos directamente de las definiciones en la última clase) sería, por decirlo suavemente, bastante complicado.

Antes de abordar el teorema, estaría genial saber qué es una función inversa, por qué la inversa de es , y por qué en este caso necesitamos limitarnos a un rango de argumentos como …

Utilizar el teorema para derivar fórmulas es una tarea bastante común en el análisis matemático a nivel universitario, así que esta clase podría salvarte la vida académica algún día.

Estoy sacando el teorema y la demostración del libro de Fichtenholz, modificándolos aquí y allá, corrigiendo errores tipográficos y haciendo algunos cambios.

Teorema sobre la Derivada de una Función Inversa

Si la función tiene una función inversa , y en el punto tiene una derivada finita y no nula , entonces en el punto correspondiente existe la derivada de la función inversa y su valor en es .

¿Confundido con esta serie de símbolos? Al principio, es muy probable, pero vamos a profundizar en este teorema con un par de ejemplos simples y concretos.

Ejemplo 1

Si la función tiene una función inversa ,

1. Tomemos la función en el intervalo

2. La función inversa a esta es – no voy a explicar por qué y para qué estas restricciones en el intervalo de x, lo siento…

y en el punto tiene una derivada finita y diferente de cero ,

3. Tomemos el punto . La derivada de la función existe () y en el punto su valor es diferente de cero ().

entonces en el punto correspondiente a el punto

4. El punto correspondiente a es el valor de la función en el punto , es decir .

Así que en nuestro ejemplo:

existe la derivada de la función inversa

5. De hecho, la función inversa es , su derivada es igual a: (según las fórmulas básicas de derivadas) y en el punto existe definitivamente y es igual a:

y su valor en el punto es igual a .

6. De hecho, calculado en el punto 5. es igual a:

( – lo calculé en el punto 3.)

Así que el Teorema “funciona” 🙂

Ejemplo 2

Si una función tiene una función inversa ,

1. Tomemos la función exponencial

2. La función inversa existe y es – esto se vio en la secundaria, así que no lo voy a explicar de nuevo (las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas una de la otra)

y en el punto tiene una derivada finita y diferente de cero ,

3. Tomemos el punto . La derivada de la función existe ( – fórmulas básicas de derivadas) y en el punto su valor es diferente de cero ().

entonces en el punto correspondiente a el punto

4. El punto correspondiente a es el valor de la función en el punto , es decir, .

O sea:

existe la derivada de la función inversa

5. De hecho, la función inversa es , su derivada es igual a: (según las fórmulas básicas de derivadas). En el punto la derivada existe y es igual a:

y su valor en el punto es igual a .

6. De hecho, lo calculado en el punto 5. es igual a:

( – lo calculé en el punto 3.)

Así que, el Teorema “funciona” de nuevo 🙂

Prueba del Teorema de la Derivada de la Función Inversa

Vamos a demostrar este teorema, refiriéndonos a la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Como recordamos, el valor de la derivada de una función en un punto es el tangente de la inclinación de la tangente al gráfico de la función en ese punto.

En el gráfico se vería así:

El valor de la derivada en el punto lo definimos en clases anteriores como el tangente del ángulo

Ahora notemos algo interesante: el gráfico de la función inversa de se puede presentar en exactamente el mismo gráfico, solo que hay que recordar que se lee “al revés” – es decir, como si a los argumentos y les asignáramos los valores x (así que el incremento de los argumentos de la función inversa es , y el incremento de sus valores correspondientes es ):

Notemos que el valor de la derivada de esta función inversa en el punto es igual a:

Así que se ve que el valor de la derivada de la función y el valor de la derivada de su función inversa son los tangentes de los ángulos en el mismo triángulo rectángulo.

Y tales tangentes de ángulos en un triángulo rectángulo (como recordamos de la secundaria) están relacionadas por la relación:

O sea (después de dividir ambos lados por ):

Y de esto se deduce la conclusión de nuestro teorema, es decir:

🙂

FIN DE LA PRUEBA

Desarrollo de Fórmulas para Derivadas Utilizando el Teorema de la Derivada de la Función Inversa

Ejemplo 3

Deriva la fórmula para la derivada de la función .

La fórmula que necesitamos derivar es: .

Nuestra función f(x) es la función arccosx. La función inversa a esta es . La derivada de la función inversa es .

De acuerdo con el teorema de la derivada de la función inversa, el valor de la derivada de la función inversa en el punto es igual al inverso del valor de la derivada de la función en el punto :

Por lo tanto, en cualquier punto :

Después de transformar:

Utilizando la identidad trigonométrica, podemos deducir que: , entonces tenemos:

Ahora presta atención: es el valor de la función en el punto , lo que significa . Por lo tanto:

– ya que el coseno y el arco coseno son funciones inversas, tenemos:

en cualquier punto (cumpliendo, por supuesto, con las condiciones del dominio, lo cual omití), por lo que nuestra fórmula ha sido demostrada de esta manera.

Ejemplo 4

Deriva la fórmula para la derivada de la función .

La fórmula que necesitamos derivar es: .

Nuestra función f(x) es la función arctgx. La función inversa a esta es . La derivada de la función inversa es .

De acuerdo con el teorema de la derivada de la función inversa, el valor de la derivada de la función inversa en el punto es igual al inverso del valor de la derivada de la función en el punto :

Es decir, en cualquier punto :

Tras transformar:

Utilizando la identidad trigonométrica, podemos transformar aún más:

Ahora presta atención: es el valor de la función en el punto $x subscript 0$ , es decir, . Por lo tanto: – ya que el tangente y el arcotangente son funciones inversas, por lo que tenemos:

en cualquier punto (cumpliendo, por supuesto, con las condiciones del dominio, lo cual omití), por lo tanto, nuestra fórmula ha sido demostrada de esta manera.