Sustitución de Euler del Segundo Tipo
Krystian Karczyński
Fundador y jefe del servicio eTrapez.
Maestro en Matemáticas por la Universidad Tecnológica de Poznań (Polonia). Tutor de matemáticas con muchos años de experiencia. Creador de los primeros Cursos eTrapez, que se han vuelto enormemente populares entre estudiantes de toda Polonia.
Vive en Szczecin (Polonia). Le gusta caminar por el bosque, ir a la playa y hacer kayak.
Sustitución de Euler del Primer Tipo (para a>0) – Revisión
En el post anterior:
Sustitución de Euler del Primer Tipo
nos ocupamos de integrales del tipo:
,
donde a>0.
También resolvimos una integral de ejemplo que cumple con esta condición, es decir,
Pero, ¿qué pasa si
Entonces, la segunda clase de sustitución de Euler puede ayudarnos (pero no necesariamente…):
Sustitución de Euler del Segundo Tipo (para c>0)
Teniendo una integral del tipo:
en la que c>0, aplicamos una sustitución del tipo:
la cual volvemos a elevar al cuadrado en ambos lados, donde esta vez los términos con
Sustituimos todo esto en la integral:
y obtenemos de nuevo una integral racional, que – repito – generalmente es tediosa.
Empecemos con un ejemplo.
Ejemplo
En el trinomio cuadrático, el orden de los términos está ligeramente cambiado, pero está claro que
Entonces sustituimos:
Elevamos ambos lados al cuadrado:
El término 2 se cancela (como debería):
y ahora algo que no estaba en la sustitución del primer tipo, dividimos ambos lados por x:
Luego determinamos x:
Hemos determinado x con la ayuda de la variable t. Ahora determinamos
Nos queda determinar solo
Entonces hemos determinado:
, todo con la ayuda de la variable
e insertamos:
Nos ponemos a limpiar:
Volviendo a la sustitución:
\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+CTodavía tenemos que regresar de t a x. Nuestra sustitución de Euler fue
xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}De donde
t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}Entonces nuestra solución es
\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C¿Qué pasa con otros casos?
Sabemos que cuando en la integral:
- a>0 – usamos la primera clase de sustituciones
- c>0 – usamos la segunda clase de sustituciones
Pero, ¿qué pasa si ni
…elegiremos una de las tres clases de sustituciones.
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