¿De dónde salió esta patente en raíces complejas? ¿De dónde vino la tercera ecuación al calcular la raíz cuadrada de un número complejo?
Krystian Karczyński
Fundador y jefe del servicio eTrapez.
Maestro en Matemáticas por la Universidad Tecnológica de Poznań (Polonia). Tutor de matemáticas con muchos años de experiencia. Creador de los primeros Cursos eTrapez, que se han vuelto enormemente populares entre estudiantes de toda Polonia.
Vive en Szczecin (Polonia). Le gusta caminar por el bosque, ir a la playa y hacer kayak.
Al calcular raíces cuadradas en forma cartesiana (o: algebraica) en mi Curso de Números Complejos, mostré un método que consiste en añadir una tercera ecuación al sistema ya existente de dos ecuaciones, lo que simplifica y acorta enormemente los cálculos posteriores.
Mostré este método, pero no lo justifiqué de ninguna manera.
Recientemente, recibí un correo electrónico al respecto:
Hola
¿Podría explicar por qué podemos usar el método de añadir una tercera ecuación al calcular la raíz cuadrada de un número complejo?
x^2 + y^2 = el módulo del número cuya raíz estamos calculando
Esta es una pregunta MUY buena y realmente bendecidos en matemáticas son aquellos que no creen ciegamente a los profesores, sino que siempre preguntan: “¿De dónde viene esto?” 🙂
Justificación
Así que no me queda otra opción que justificar este método de una de las posibles maneras:
Después de los primeros pasos en el cálculo de la raíz cuadrada, tenemos la situación:
Dado que los números (no voy a escribir “números complejos” cada vez) a la izquierda y a la derecha son iguales, sus módulos también deben ser iguales (no funciona al revés, pero eso no importa), es decir:
Un número al cuadrado es un número multiplicado por sí mismo, es decir:
El módulo de un número complejo tiene la propiedad: 
, por lo que en el lado izquierdo podemos escribir:
… y al calcular los módulos a la izquierda tenemos:
es decir:
es decir:
es decir:
BINGO
¡Gracias por la buena pregunta!
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