Ekstrema funkcji liczone pochodnymi wyższych rzędów

 

Ekstrema Funkcji Wykład 8

 

Temat: Obliczanie ekstremów funkcji pochodnymi funkcji wyższych rzędów (warunek wystarczający istnienia ekstremum przy użyciu pochodnych wyższych rzędów)

Wiemy, jak obliczać ekstrema funkcji przy pomocy obserwacji zmiany monotoniczności w otoczeniu punktu, lub znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu tego punktu (to to samo).

Można podejść jednak do sprawy inaczej i ekstrema funkcji ugryźć obliczaniem ich wartości dla pochodnych wyższych rzędów (najczęściej wystarcza druga) i sprawdzaniem, jakie przyjmują znaki.

Weźmy punkt x_0, w którym wartość pierwszej pochodnej równa jest zero, tzn. y{prime}(x_0)=0. Zamiast rysowania wykresów, tabelek, znaków obliczamy pochodną drugiego rzędu, czyli pochodną z pochodnej y{prime}{prime}. Potem liczymy jej wartość w punkcie x_0, podstawiając go po prostu do niej. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest ujemna, funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne maksimum. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest dodatnia funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne minimum. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest równa 0, jesteśmy dalej w lesie i musimy na przykład obliczać pochodne następnych rzędów, o czym za moment, po przykładzie…

Przykład

Policzmy ekstrema z funkcji y=x^2

Obliczamy jej pochodną i mamy: y=2x

Przyrównujemy pochodną do zera i obliczamy, w jakich punktach równa jest zero:

2x=0

x=0

Punkt, w którym być może zostało osiągnięte ekstremum funkcji to punkt x_0=0. Żeby zobaczyć, czy faktycznie zostało w nim osiągnięte ekstremum liczymy pochodną drugiego rzędu (zamiast rysować np. wykresy) i mamy:
y{prime}{prime}=(2x){prime}=2

Liczymy jej wartość w punkcie x_0=0, wstawiając do niej za x-sa 0. W naszym prościutkim przypadku w funkcji nie mamy żadnego x, więc po prostu przechodzimy od razu do sprawdzenia znaku. Jest on dodatni (y{prime}{prime}=2), zatem funkcja osiąga w punkcie x_0=0 minimum lokalne.

A co, jeśli druga pochodna w punkcie x_0 wyjdzie równa 0? Wtedy możemy policzyć pochodną trzeciego rzędu i sprawdzić jej znak w punkcie x_0. Jeżeli wyjdzie równy 0, obliczyć pochodną czwartego rzędu i tak dalej, aż dojdziemy do takiej, która nie wyzeruje się w punkcie x_0. Wtedy zachodzi coś takiego:

– jeżeli jest to pochodna rzędu nieparzystego, funkcja nie osiąga ekstremum w tym punkcie

– jeżeli jest to pochodna rzędu parzystego, to jeśli jej wartość w punkcie x_0 jest dodatnia, funkcja osiąga ekstremum lokalne minimum w tym punkcie, a jeśli ujemna, to funkcja osiąga ekstremum lokalne maksimum w tym punkcie

Niektórzy profesorzy wymagają obliczania ekstremów funkcji w ten sposób, powodzenia więc!

 

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie inny warunek dostateczny istnienia ekstremum (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Dagmara Bujak pisze:

    Witam !
    Mam problem
    Mam do rozwiązania zadanie na zaliczenie gdzie mam policzyć najmniejszą i największą wartość funcji dla f(x,y) = x+ y przy x^2 +y^2 = 8

    Wiem, ze jest to koło.

    ale jak liczę pochodne z x i y wychodzi 1=0

    Nie mogę nigdzie znaleźć informacji co z tym fantem zrobić. Czy to znaczy, że jest to sprzeczne i nie można obliczyć ekstremum? Czy coś robię źle.

    Pozdrawiam

    1. Ed pisze:

      Mnie tu wychodzi ekstremum w x=2 i po policzeniu drugiej pochodnej w tamtym miejscu okazuje się, że to maksimum, bo wynik jest ujemny.Pozdrawiam