Ekstrema funkcji liczone pochodnymi wyższych rzędów

Ekstrema Funkcji Wykład 8

Temat: Obliczanie ekstremów funkcji pochodnymi funkcji wyższych rzędów (warunek wystarczający istnienia ekstremum przy użyciu pochodnych wyższych rzędów)

Wiemy, jak obliczać ekstrema funkcji przy pomocy obserwacji zmiany monotoniczności w otoczeniu punktu, lub znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu tego punktu (to to samo).

Można podejść jednak do sprawy inaczej i ekstrema funkcji ugryźć obliczaniem ich wartości dla pochodnych wyższych rzędów (najczęściej wystarcza druga) i sprawdzaniem, jakie przyjmują znaki.

Weźmy punkt , w którym wartość pierwszej pochodnej równa jest zero, tzn.  . Zamiast rysowania wykresów, tabelek, znaków obliczamy pochodną drugiego rzędu, czyli pochodną z pochodnej . Potem liczymy jej wartość w punkcie , podstawiając go po prostu do niej. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest ujemna, funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne maksimum. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest dodatnia funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne minimum. Jeżeli liczba, która nam wyjdzie, jest równa 0, jesteśmy dalej w lesie i musimy na przykład obliczać pochodne następnych rzędów, o czym za moment, po przykładzie…

Przykład

Policzmy ekstrema z funkcji

Obliczamy jej pochodną i mamy:

Przyrównujemy pochodną do zera i obliczamy, w jakich punktach równa jest zero:

Punkt, w którym być może zostało osiągnięte ekstremum funkcji to punkt . Żeby zobaczyć, czy faktycznie zostało w nim osiągnięte ekstremum liczymy pochodną drugiego rzędu (zamiast rysować np. wykresy) i mamy:

Liczymy jej wartość w punkcie , wstawiając do niej za x-sa . W naszym prościutkim przypadku w funkcji nie mamy żadnego x, więc po prostu przechodzimy od razu do sprawdzenia znaku. Jest on dodatni (), zatem funkcja osiąga w punkcie minimum lokalne.

A co, jeśli druga pochodna w punkcie wyjdzie równa 0? Wtedy możemy policzyć pochodną trzeciego rzędu i sprawdzić jej znak w punkcie . Jeżeli wyjdzie równy 0, obliczyć pochodną czwartego rzędu i tak dalej, aż dojdziemy do takiej, która nie wyzeruje się w punkcie . Wtedy zachodzi coś takiego:

– jeżeli jest to pochodna rzędu nieparzystego, funkcja nie osiąga ekstremum w tym punkcie

– jeżeli jest to pochodna rzędu parzystego, to jeśli jej wartość w punkcie jest dodatnia, funkcja osiąga ekstremum lokalne minimum w tym punkcie, a jeśli ujemna, to funkcja osiąga ekstremum lokalne maksimum w tym punkcie

Niektórzy profesorzy wymagają obliczania ekstremów funkcji w ten sposób, powodzenia więc!

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie inny warunek dostateczny istnienia ekstremum (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji