Sumy Darboux – Pomocne Sumy Całkowe

 

Całki Oznaczone Wykład 3

 

Temat: Sumy Darboux – pomocne Sumy Całkowe

 

Streszczenie

Na pierwszym wykładzie zdefiniowałem całkę oznaczoną:

Definicja całki oznaczonej

Na kolejnym pokazałem, jakie trudności wiążą się ze stosowaniem tej definicji do obliczeń i jak można je zgrabnie ominąć stosując pewne twierdzenie:

Twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej

Wykład 2 i liczenie przy zastosowaniu twierdzenia o całkowalności był jednak SPORYM wyskokiem do przodu. Jak pamiętasz, nie próbowałem w nim nawet udowadniać twierdzenia, które stosowałem, a to zawsze nieładnie w matematycznym świecie.

Cofnę się więc krok do tyłu i przypomnę, co właściwie miałem do zarzucenia definicji całki oznaczonej z wykładu 1. Chodziło o to, że była ekstremalnie niewygodna do zastosowania.

Przypomnienie “czystej definicji”

Przypomnę definicję.

Mając funkcję f(x), odcinek \left\langle a,b \right\rangle na osi OX, nieskończenie wiele nieskończenie małych przedziałów \Delta {{x}_{k}}, dzielących odcinek \left\langle a,b \right\rangle , punkty {{\xi }_{k}}wewnątrz tych przedziałów i wartości funkcji f\left( {{\xi }_{k}} \right), granicę sumy:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}} \right)}\Delta {{x}_{k}}

nazwać można “całką oznaczoną”, jeżeli:

• ta granica sumy jest zawsze taka sama, niezależnie od tego, jakie przedziały \Delta {{x}_{k}}sobie wybiorę
• ta granica sumy jest zawsze taka sama, niezależnie od tego, gdzie w tych punktach przedziału obiorę punkty {{\xi }_{k}}

Przykład

Na drugim wykładzie liczyłem z definicji całkę oznaczoną z funkcji f\left( x \right)={{x}^{2}}w przedziale \left\langle 0,1 \right\rangle .

• przedziały \Delta {{x}_{k}}dzielące odcinek \left\langle 0,1 \right\rangle wybrałem sobie takie, że każdy z nich jest równej długości
• punkty {{\xi }_{k}}wybrałem sobie takie, że są one zawsze równo pośrodku każdego przedziału \Delta {{x}_{k}}

Na wykresie wyglądało by to więc tak:

Przy takich oznaczeniach suma całkowa:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}} \right)}\Delta {{x}_{k}}wyszła mi równa \frac{1}{3}.

Nie oznacza to jednak (bazując na samej definicji), że całka oznaczona z funkcji f\left( x \right)={{x}^{2}}w przedziale \left\langle 0,1 \right\rangle równa jest właśnie \frac{1}{3}, bo suma całkowa powinna być równa \frac{1}{3}zawsze, dla dowolnego wyboru przedziałów \Delta {{x}_{k}}i punktów {{\xi }_{k}}– a nie tylko dla tego, który sobie akurat wybrałem ( \Delta {{x}_{k}}równe sobie długością i {{\xi }_{k}}pośrodku tych przedziałów).

Czyli na przykład dla tej samej funkcji w tym samym przedziale, obierając zupełnie inaczej przedziały \Delta {{x}_{k}}i punkty {{\xi }_{k}}.

• przedziały \Delta {{x}_{k}}o różnych długościach (w stosunku do siebie, bo oczywiście dalej wszystkie muszą być nieskończenie cienkie) – np. \Delta {{x}_{1}}kilka razy szerszy od \Delta {{x}_{2}}
• punkty {{\xi }_{k}}niekoniecznie pośrodku przedziałów \Delta {{x}_{k}}– np. “ostatni” punkt \Delta {{x}_{n}}bardzo blisko 1

mielibyśmy zupełnie inną sumę całkową:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}} \right)}\Delta {{x}_{k}}

i nigdzie nie jest powiedziane (na razie), że wyszła by równa \frac{1}{3}.

Bezużyteczność “czystej” definicji

Pozostając więc na gruncie samej tylko definicji, musiałbym policzyć wszystkie możliwe sumy całkowe, albo oczywiście inaczej pokazać, że są one równe.

Nie do zrobienia.

Co więc trzeba zrobić?

Trzeba uczyć się dalej (hura!) i wprowadzić dodatkowe twierdzenia.

Takim twierdzeniem było właśnie twierdzenie o całkowalności funkcji ciągłej z Wykładu 2.

Pomocne zaś w jego dowodzie i pomagające ogarnąć trochę tą przytłaczającą “dowolność” sum całkowych \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}} \right)}\Delta {{x}_{k}}będą sumy Darboux – temat tego wykładu. Są to po prostu pewne szczególne sumy całkowe, otrzymane dla ściśle wybranych już punktów {{\xi }_{k}}.

Uwaga o kresach

Przed ruszeniem dalej, koniecznie przypomnij sobie, czym były kresy, ograniczenia dolne i górne itp. Najlepiej zrób kilka przykładów. Zapraszam do mojego VIDEO o kresach:

Kresy, ale takie w matematyce

Sumy Darboux

Nazwa tych sum całkowych pochodzi od Gastona Darboux, czyli tego Pana ze zdjęcia na początku Wykładu. Nie dalej niż 150 lat temu (czyli nie tak dawno, chyba się zgodzisz) z gąszcza wszystkich możliwych sum całkowych i możliwych wyborów punktów  {{\xi }_{k}}wybrał jeden, ściśle i jednoznacznie definiujący całkę oznaczoną.

Jedno jest na pewno lepsze od nieskończonej liczby w tym przypadku, więc punkt dla niego.

Jak definiuje się sumy Darboux?

Dolne sumy całkowe Darboux

Zacznę od dolnej sumy całkowej:

1. Mam dowolny podział przedziału \left\langle a,b \right\rangle na odcinki \Delta {{x}_{k}}
2. Zamiast ustawiać sobie dowolnie punkty {{\xi }_{k}}, ustawiam je tak, żeby w każdym odcinku \Delta {{x}_{k}}moja wartość f\left( {{\xi }_{k}} \right)była kresem dolnym wartości funkcji w tym przedziale (w przypadku funkcji ciągłych to to samo, co najmniejsza wartość funkcji)

Na wykresie taki wybór mógł by wyglądać tak:

Zwróć uwagę, że punkty: {{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},\ldots ,{{\xi }_{n}}wewnątrz przedziałów:  \Delta {{x}_{1}},\Delta {{x}_{2}},\ldots ,\Delta {{x}_{n}}dobrane są tak, żeby funkcja f\left( x \right)w tym przedziale osiągała w tym punkcie najmniejszą wartość (czyli kres dolny, bo jest to funkcja ciągła).

A o co chodzi z tym “kresami”?

Tutaj chyba kolej na małą uwagę na marginesie: musimy używać terminu: kresy, a nie:  najmniejsze/największe wartości, aby “obsłużyć” definicją także pewne funkcje nieciągłe, np:

Tutaj widać, że funkcja jest nieciągła wewnątrz pewnego przedziału \Delta {{x}_{k}}, widać też jednak, że nie ma żadnego problemu w tym, aby pomimo to określić pole pomiędzy jej wykresem a przedziałem \left\langle a,b \right\rangle metodą “prostokącików” i sum całkowych.

Problem mógłby być jednak z określeniem jej dolnej sumy całkowej, w przedziale \Delta {{x}_{k}}NIE osiąga ona w ogóle najmniejszej wartości. Ma ona jednak tam KRES DOLNY, dlatego w definicji dolnych sum całkowych użyte są “kresy” zamiast “najmniejszych/największych wartości”.

Różnice pomiędzy jednym a drugim znajdziesz w moim poście, zapraszam – Co to są kresy?

Wracam więc do naszych dolnych sum całkowych.

Dolne sumy całkowe Darboux ograniczają od dołu wszystkie sumy całkowe

Punkty {{\xi }_{k}}są dobrane tak, aby w każdym przedziale \Delta {{x}_{k}}funkcja osiągała kres dolny. Geometryczna tego interpretacja jest taka, że prostokącik o polu {{\xi }_{k}}{{\Delta }_{k}}jest najmniejszy (ma najmniejsze pole) z możliwych do utworzenia.

Zatem oczywiste jest, że suma całkowa z tych tych najmniejszych z możliwych prostokącików w danym podziale \Delta {{x}_{k}}jest MNIEJSZA LUB RÓWNA od każdej innej sumy całkowej w tym przedziale. Geometrycznie – suma pól prostokącików najmniejszych z możliwych na zdanym podziale \Delta {{x}_{k}}jest zawsze mniejsza lub równa od każdej innej sumy pól prostokącików na tym podziale.

Oznaczając dolne sumy całkowe Darboux przez {{S}_{*}}, a dowolne inne sumy całkowe przez S, mam zawsze, że:

{{S}_{*}}\le S

Przy czym  – jeżeli mamy już zdany podział \Delta {{x}_{k}}, to suma {{S}_{*}}jest stałą, ustaloną jednoznacznie liczbą, a suma Szmienną zależną od wyboru punktów {{\xi }_{k}}.

Górne sumy całkowe Darboux

Tu już domyślasz się, jaka będzie akcja, prawda?

1. Mam dowolny podział przedziału \left\langle a,b \right\rangle na odcinki \Delta {{x}_{k}}
2. Zamiast ustawiać sobie dowolnie punkty {{\xi }_{k}}, ustawiam je tak, żeby w każdym odcinku \Delta {{x}_{k}}moja wartość f\left( {{\xi }_{k}} \right)była kresem górnym wartości funkcji w tym przedziale (w przypadku funkcji ciągłych to to samo, co największa wartość funkcji)

Na wykresie (tej samej funkcji i dla tego samego podziału \Delta {{x}_{k}}) wyglądało by to tak:

Teraz zwróć uwagę, że punkty: {{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},\ldots ,{{\xi }_{n}}wewnątrz przedziałów:  \Delta {{x}_{1}},\Delta {{x}_{2}},\ldots ,\Delta {{x}_{n}}dobrane są tak, żeby funkcja f\left( x \right)w tym przedziale osiągała w tym punkcie największą wartość (czyli kres górny).

Pola prostokącików są tym razem największe z możliwych dla danego podziału \Delta {{x}_{k}}, a ich suma…

Górne sumy całkowe Darboux ograniczają od góry wszystkie sumy całkowe

Tak samo jak w poprzednim przypadku, oczywistym jest, że suma pól największych z możliwych prostokącików jest ograniczeniem górnym każdej innej sumy pól prostokącików (w danym podziale \Delta {{x}_{k}}).

Oznaczając górne sumy całkowe Darboux przez {{S}^{*}}i każdą inną możliwą sumę (w przedziale \Delta {{x}_{k}}) przez S, mamy:

S\le {{S}^{*}}

Gdzie, znowu, jeżeli ustalimy podział \Delta {{x}_{k}}, to {{S}^{*}}jest liczbą, a Szmienną.

Sumy całkowe Darboux to kresy dolne i górne sum całkowych

Mam więc (łącząc nierówności):

{{S}_{*}}\le S\le {{S}^{*}}

Co do dowolnych sum całkowych S, skoro można w nich dowolnie “przesuwać” punkty {{\xi }_{k}}, tak, aby otrzymywać wartości sumy Sosiągające również {{S}_{*}}i {{S}^{*}}, oznacza to, że {{S}_{*}}i {{S}^{*}}to największe/najmniejsze z możliwych ograniczeń z dołu/góry.

Czyli – wprost z definicji – kresy dolne i górne sum całkowych w zadanym przedziale.

Tak bardziej “praktycznie”:

Jeśli miałbym:

1. Policzyć sumę całkową z definicji
2. Miał z góry zadany podział przedziałami \Delta {{x}_{k}}
3. Dobrał bym punkty {{\xi }_{k}}tak, aby otrzymać dolną sumę całkową Darboux
4. Obliczył tą sumę i otrzymał wynik np. 13
5. Wiedział bym, że każda inna suma całkowa dla tego podziału \Delta {{x}_{k}}jest równa 13 albo więcej

Czego dalej nie mogę powiedzieć?

Niestety dalej na tym etapie nie mogę powiedzieć: “Jeżeli dolna suma całkowa Darboux wyszła mi równa 13, to znaczy, że całka oznaczona równa jest 13 lub więcej”.

Dlaczego?

Ze względu na ten upierdliwy wkręt “dla ustalonego podziału \Delta {{x}_{k}}“.

Jak konstruowałem sumy całkowe Darboux?

Umawiałem się, że miałem DANY Z GÓRY, ustalony podział odcinka \left\langle a,b \right\rangle odcinkami \Delta {{x}_{k}}. Wewnątrz tych, z góry danych, odcinków wybierałem punkty {{\xi }_{k}}, tak, aby otrzymać kresy (dolne lub górne) wartości f\left( {{\xi }_{k}} \right).

Wszystkie więc ograniczenia sum całkowych, czy to z dołu, czy z góry, obowiązują tylko dla tego DANEGO PODZIAŁU \Delta {{x}_{k}}. Jeśli dolna suma całkowa dla pewnego podziału \Delta {{x}_{k}}wyjdzie mi równa 13, oznacza to, że wszystkie inne sumy całkowe są większe lub równe od 13, ale TYLKO DLA TEGO PODZIAŁU.

Jeśli odcinek \left\langle a,b \right\rangle podzielę na odcinki \Delta {{x}_{k}}w inny sposób, być może któraś z  sum całkowych wyjdzie mi 10. Przynajmniej tak to wygląda na tym etapie, prawda?

Na tym etapie więc nie mogę powiedzieć, że sumy Darboux ograniczają w jakiś sposób całkę oznaczoną, bo w definicji całki oznaczonej była dowolność wyboru przedziałów \Delta {{x}_{k}}.

To kiepsko, co dalej (całki Darboux)?

Dalej jak zawsze – nie tracę ducha, tylko wprowadzę nowe własności, które umożliwią nam ograniczanie całki sumami Darboux- tzw. całki Darboux.

Własność 1

Mamy dowolny, ustalony podział odcinka \left\langle a,b \right\rangle na odcinki \Delta {{x}_{k}}. Jeżeli jakiekolwiek przedziały  \Delta {{x}_{k}}podzielimy na jeszcze mniejsze, nie zmniejszy to dolnej sumy Darboux, ani nie zwiększy górnej.

Sprawa jest dosyć oczywista, geometrycznie rzecz biorąc, biorąc dowolny prostokącik, np. dla \Delta {{x}_{3}}, widać, o co chodzi:

 

Jeżeli podzielimy odcinek podziału, suma pól otrzymanych prostokątów na pewno nie będzie MNIEJSZA od pola przed podziałem.

Własność 2

Dowolna dolna suma całkowa Darboux (dla dowolnego podziału \Delta {{x}_{k}}) jest mniejsza lub równa od dowolnej górnej sumy całkowej Darboux.

To jest już mocna własność, ponieważ nie ograniczana mnie już ona do z góry zadanego podziału \Delta {{x}_{k}}. Jeżeli dla pewnego podziału odcinkami \Delta {{x}_{k}}dolna suma całkowa Darboux wyjdzie mi równa 13, oznacza to, że dla każdego innego podziału odcinkami \Delta {{x}_{k}}jego górna suma całkowa na pewno nie wyjdzie mi 12, tylko co najmniej 13.

Dowód własności 2

1. Mam przedział \left\langle a,b \right\rangle .
2. Biorę jakiś dowolny podział odcinkami \Delta {{x}_{k}}. Dla tego podziału mam dolną i górną sumę całkową Darboux. Oznaczę je (odpowiednio) jako: {{s}_{1}}i {{S}_{1}}.
3. Biorę jakiś inny, zupełnie dowolny podział (innymi odcinkami \Delta {{x}_{k}}). Mam dla niego również dolną i górną sumę całkową Darboux. Oznaczam je jako: {{s}_{2}}i {{S}_{2}}

Mam pokazać, że {{s}_{1}}\le {{S}_{2}}– czyli, że dowolna dolna suma całkowa Darboux jest mniejsza lub równa od dowolnej górnej. W tym celu:
4.  Biorę trzeci podział odcinkami \Delta {{x}_{k}}, ale nie dowolny, tylko taki, że każdy jego odcinek \Delta {{x}_{k}}zaczyna się lub kończy tak, gdzie zaczyna się lub kończy przedział z punktu 2 lub 3. Czyli punkty podziału odcinka \left\langle a,b \right\rangle to wszystkie punkty podziału z punktów 2 i 3.

Na przykład, gdybyśmy odcinek \left\langle 0,10 \right\rangle podzielili (punkt 2) na odcinki: \left\langle 0,2 \right\rangle , \left\langle 2,6 \right\rangle i \left\langle 6,10 \right\rangle , potem ten sam odcinek gdybyśmy podzielili (punkt 3) na inne odcinki: \left\langle 0,1 \right\rangle , \left\langle 1,5 \right\rangle , \left\langle 5,7 \right\rangle i \left\langle 7,10 \right\rangle , wtedy trzeci podział odcinka \left\langle 0,10 \right\rangle (punkt 4) musiałby wyglądać tak: \left\langle 0,1 \right\rangle , \left\langle 1,2 \right\rangle , \left\langle 2,5 \right\rangle , \left\langle 5,6 \right\rangle , \left\langle 6,7 \right\rangle i \left\langle 7,10 \right\rangle .

Tak to działa, tylko oczywiście odcinków podziału jest nieskończenie wiele i są nieskończenie małe.

Oznaczam sumę całkową dolną i górną dla tego podziału jako: {{s}_{3}}\le {{S}_{3}}.

5.   Podział z punktu 4 powstał przez podzielnie przedziałów z punktu 1 na mniejsze odcinki, zatem zgodnie z Własnością 1 suma dolna Darboux z punku 1 jest mniejsza lub równa od sumy dolnej Darboux z punktu 3, czyli:

{{s}_{1}}\le {{s}_{3}}

Poza tym, podział z punktu 4 powstał przez podzielenie podziału z punktu 3 na mniejsze odcinki, zatem również zgodnie z Własnością 1 zachodzi:

{{S}_{3}}\le {{S}_{2}}

Poza tym, oczywiście zachodzi (dolna suma całkowa jest zawsze mniejsza lub równa od górnej dla danego podziału):

{{s}_{3}}\le {{S}_{3}}

6.   Łącząc powyższe trzy nierówności w jedną mam:

{{s}_{1}}\le {{s}_{3}}\le {{S}_{3}}\le {{S}_{2}}

Czyli:

{{s}_{1}}\le {{S}_{2}}

Czyli to, co miałem dowieść.

Całki Darboux

Co wynika z Własności 2?

Jeżeli wezmę sobie wszystkie możliwe dolne sumy całkowe Darboux, to jest pewna liczba, od której nigdy nie będą większe (np. dowolna suma górna Darboux). Czyli zbiór ten posiada jakiś kres górny (niekoniecznie jednak górną sumę Darboux – ona jest tylko ograniczeniem z góry!). Oznaczmy go jako {{I}_{*}}.

Analogicznie – zbiór wszystkich możliwych górnych sum całkowych Darboux posiada swój kres dolny i oznaczam go jako {{I}^{*}}.

Liczbę {{I}_{*}}nazwę całką dolną Darboux, a liczbę {{I}^{*}}całką górną Darboux.

Jeżeli przez  {{S}^{*}}i {{S}_{*}}oznaczymy dowolną, byle jaką dolną i górną sumę całkową, mam:

{{S}_{*}}\le {{I}_{*}}\le {{I}^{*}}\le {{S}^{*}}

Nierówność {{I}_{*}}\le {{I}^{*}}wynika oczywiście z Właściwości 2.

 

Gwiazda wieczoru – warunek istnienia całki oznaczonej za pomocą sum Darboux

Teraz gotowi już jesteśmy do finału. Po długich przygotowaniach możemy określić całkę oznaczoną przy pomocy sum Darboux (a nie bardzo dowolnych sum całkowych jak w Wykładzie 1).

 

Twierdzenie

Aby całka oznaczona istniała potrzeba i wystarcza, żeby:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0

Gdzie {{S}^{*}}i {{S}_{*}}to sumy całkowe Darboux górna i dolna dla dowolnego podziału \Delta {{x}_{k}}, a nto liczba przedziałów, dążąca do nieskończoności, o której mowa w definicji całki oznaczonej.

Dowód

Dowód przeprowadzić trzeba “w dwie strony”, tzn. dowieść konieczności i dostateczności warunku (“potrzeba i wystarcza”).

“konieczność”

W tym przypadku ZAKŁADAM, że istnieje całka oznaczona (zdefiniowana jak w Wykładzie 1) i muszę pokazać, że w takim razie zachodzi:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0

Tutaj sprawa jest oczywista. Skoro z założenia wiem, że całka oznaczona istnieje, wiem także, że dla dowolnego podziału odcinkami \Delta {{x}_{k}}i dowolnego wyboru punktów {{\xi }_{k}}suma całkowa jest równa tej samej liczbie.

Sumy całkowe Darboux {{S}^{*}}i {{S}_{*}}są zatem równe sobie (bardziej ściśle: dążą do tej samej liczby) z samego założenia, i oczywiście:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0

“dostateczność”

W tym przypadku ZAKŁADAM, że \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0i muszę pokazać, że w takim razie całka oznaczona (zdefiniowana jak w Wykładzie 1) istnieje.

Posłużę się tutaj całkami Darboux (zdefiniowanymi wyżej) {{I}_{*}}i {{I}^{*}}. Jak pamiętasz (wyżej):

{{S}_{*}}\le {{I}_{*}}\le {{I}^{*}}\le {{S}^{*}}

W naszym przypadku mamy dodatkowo pewne założenie, że: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0. Wynika z niego (np. na mocy tw. o trzech ciągach), że:

{{S}_{*}}\le {{I}_{*}}={{I}^{*}}\le {{S}^{*}}

A oznaczając {{I}_{*}}={{I}^{*}}jedną liczbą I:

{{S}_{*}}\le I\le {{S}^{*}}

Wiem też, że dla dowolnego ustalonego podziału \Delta {{x}_{k}}sumy {{S}^{*}}i {{S}_{*}}to kresy górny i dolny sum całkowych w tym przedziale (wyżej to pokazywałem), czyli jeśli oznaczymy jakąś byle jaką sumę całkową w tym podziale jako S, to:

{{S}_{*}}\le S\le {{S}^{*}}

Jako, że \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0, to, precyzując to bardzo ściśle (z definicji granicy ciągu), oznacza to, że dla dowolnie małego \varepsilon znajdziemy taki numer wyrazu ciągu n, od którego odległość od siebie {{S}^{*}}i {{S}_{*}}będzie mniejsza od \varepsilon .

Liczby: Ii Snależą do przedziału \left\langle {{S}_{*}},{{S}^{*}} \right\rangle i oczywistym jest, że ich odległość od siebie będzie wtedy również mniejsza od tego \varepsilon .

A więc Ii Szbiegają do tej samej granicy, czyli dowolna suma całkowa Szbiega do tej samej liczby ( I) – czyli zgodnie z definicją w Wykładzie 1 całka oznaczona istnieje.

Warunek Darboux jako “oscylacja”

Warunek istnienia całki oznaczonej to:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{S}^{*}}-{{S}_{*}} \right)=0

rozpisany wyglądał by tak:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( \xi _{k}^{*} \right)\Delta {{x}_{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}}_{*} \right)\Delta {{x}_{k}}} \right)=0

Gdzie  f\left( \xi _{k}^{*} \right)i  f\left( {{\xi }_{k}}_{*} \right)to kresy górny i dolny funkcji w k-tym przedziale \Delta {{x}_{k}}(jak w definicjach sum Darboux wyżej).

Można zapisać go tak:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( \xi _{k}^{*} \right)\Delta {{x}_{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{k}}_{*} \right)\Delta {{x}_{k}}} \right)=0 \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( f\left( \xi _{k}^{*} \right)-f\left( {{\xi }_{k}}_{*} \right) \right)\Delta {{x}_{k}}}=0

A jeśli oznaczymy  {{\omega }_{k}}=f\left( \xi _{k}^{*} \right)-f\left( {{\xi }_{k}}_{*} \right):

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\omega }_{k}}\Delta {{x}_{k}}}=0

gdzie {{\omega }_{k}}oznacza “oscylację”  (tak jakby: “amplituda”) funkcji w danym przedziale \Delta {{x}_{k}}.

Podsumowanie

Sumy Darboux wykorzystuje się, aby dowieść twierdzenia o całkowalności (jedno już znasz z Wykładu 2, ale bez dowodu), które pokażę Ci na następnym wykładzie.

Przy użyciu tych twierdzeń można dopiero liczyć w praktyce całki oznaczone z definicji – tak więc znaczenie “odkrycia” Pana Darboux jest niemałe.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

 

Kliknij tutaj, aby powtórzyć sobie, jak obliczać całki oznaczone z definicji przy użyciu twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z Wykładami o całkach oznaczonych