• Skip to primary navigation
  • Skip to content
  • Skip to primary sidebar
  • Skip to footer
  • Główna
  • Sklep
    • Darmowe
    • Kursy
    • Cennik
  • Akademia
    • Darmowe
    • Wybór Kursu
    • Kalkulatory
    • Forum
  • Blog
  • O nas
  • Moje konto

Blog eTrapez

Matematyka na studiach i w szkole średniej

Polityka Prywatności & Cookies: Ta strona używa cookies (tzw. "ciasteczek"). Są to informacje o Twoim komputerze i o Tobie. Jeśli nie zgadzasz się na to, opuść naszą stronę. Jeśli zostaniesz na naszej stronie, wyrażasz tym samym zgodę na związane z tym przetwarzanie Twoich danych osobowych.
Aby dowiedzieć się więcej o zakresie, w jakich wykorzystujemy cookies ("ciasteczka"), kliknij tutaj: Polityka Prywatności Bloga eTrapez
  • Studia
  • Szkoła średnia
Główna / Badanie funkcji / „Sławne” asymptoty funkcji

„Sławne” asymptoty funkcji

Print Friendly, PDF & EmailDrukuj

 

Asymptoty Wykład 4

 

Temat: „Sławne” asymptoty funkcji

 

Streszczenie

Temat asymptot na studiach nie jest czymś zupełnie nowym. Wiele znanych od czasów szkoły średniej wykresów funkcji posiada asymptoty, które wyznaczać można nawet bez obliczania granic. Na wykładzie powtórzymy sobie kilka popularnych funkcji z asymptotami.

Asymptoty funkcji trygonometrycznych

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji f(x)=sinx:

Wykres funkcji sinus x
Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Jak myślisz, czy proste y=1 i y=-1 są równaniami asymptot wykresu?

Prawidłowa odpowiedź to: oczywiście NIE. Dlaczego?

Pozostając na gruncie intuicyjnego rozumienia asymptoty: miało być to „coś” do czego przybliża się coraz bardziej wykres funkcji. Na wykresie sinusa widać zaś, że wykres funkcji zamiast przybliżać się do prostej y=1/y=-1 rytmicznie się od niej oddala i znów przybliża.

A teraz będąc bardziej ścisłym, prosta y=a była równaniem asymptoty poziomej funkcji f(x), wtedy, gdy istniała granica:

{lim}under{x{right}{pm}{infty}}f(x)=a

W naszym zaś przypadku granica funkcji sinusx przy x{right}{infty}:

{lim}under{x{right}{pm}{infty}}sinx – nie istnieje.

Jasnym jest, że to samo tyczy się cosinusa x.

Asymptoty pionowe posiadają zaś funkcja tgx:

Wykres funkcji tangens x
Źródło obrazka: Wikipedia (licencja public domain)

Widać, że funkcja ta ma nawet nieskończenie wiele asymptot pionowych obustronnych o równaniach: x={pi}/2+k{pi}, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Przykładowe równania tych asymptot to więc: x={pi}/2,x=3/2{pi},x=-5/2{pi}…

Jeżeli chcemy więc obliczyć równania asymptot pionowych funkcji tangens x, trzeba przyrównać jego argument do {pi}/2+k{pi} i rozwiązać równanie (wiąże się to oczywiście z wyznaczeniem dziedziny tangensa).

Przykład

Wyznacz równania asymptot funkcji y=tg(4x-{pi}/2)

Przyrównujemy argument tangensa do {pi}/2+k{pi}:

4x-{pi}/2={pi}/2+k{pi}

Przenosimy {pi}/2 na prawo:

4x={pi}/2+{pi}/2+k{pi}

4x=pi+k{pi}

Dzielimy obustronnie przez 4:

x={pi}/4+{pi}/4{k}

A powyższe to właśnie równania asymptot pionowych obustronnych, które mieliśmy wyznaczyć.

Asymptoty pionowe ma także funkcja ctgx:

Wykres funkcji kotangens x
Źródło: Wikipedia (licencja public domain)

Ich równaniami będą proste: x=k{pi}.

 

Asymptoty funkcji cyklometrycznych

Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Oznaczamy je: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Skoro funkcje sinx i cosx nie posiadały asymptot, to raczej trudno, żeby odwrotne do nich je miały 🙂

Asymptoty poziome będzie miał natomiast wykres funkcji arctgx:

Wykres funkcji arctgxPrzy x{right}{+infty} asymptotą poziomą arcusa tangensa jest prosta: y={pi}/2,a przy x{right}{~-infty} prosta y=-{pi}/2

Asymptoty poziome będzie miał także wykres funkcji arcctgx:

Wykres funkcji arcctgxPrzy x{right}{~infty} równaniem asymptoty poziomej będzie prosta y=pi, a przy x{right}{+infty} będzie to prosta y=0.

Asymptoty funkcji wykładniczych

Przez „funkcję wykładniczą” rozumieć będziemy funkcję f(x)=a^x, gdzie a>0 i a\ne 1.

Jeżeli a>1 jej wykres będzie wyglądał w przybliżeniu tak:

Wykres funkcji wykładniczej przy a>1Ma on tylko jedną asymptotę poziomą: o równaniu y=0 przy x{right}{~-infty}.

Jeżeli zaś a<1 wykres przyjmie postać:

Wykres funkcji wykładniczej przy a<1Widać, że tym razem prosta y=0 jest równaniem asymptoty przy x{right}{+infty}

Asymptoty funkcji logarytmicznych

Funkcje logarytmiczne, o równaniach f(x)=log_a{x} dla a>0 i a\ne 1 – to funkcje odwrotne do wykładniczych, spodziewamy się więc asymptot pionowych i rzeczywiście, obojętnie który z dwóch rodzajów wykresu narysujemy (ich kształt zależy od a)…

Wykres funkcji logarytmicznej dla a>1
Wykres funkcji logarytmicznej dla a>1
Wykres funkcji logarytmicznej dla a<1
Wykres funkcji logarytmicznej dla a<1

Widać, że niezależnie od a prosta x=0 jest równaniem asymptoty pionowej  (ale tylko prawostronnej!).

 

Asymptoty funkcji homograficznych

Z funkcjami homograficznymi spotkaliśmy się w szkole średniej. Były to szczególne rodzaje funkcji wymiernych, postaci:

f(x)={ax+b}/{cx+d} – gdzie stałe a,b,c,d musiały spełniać pewne warunki, które w tej chwili sobie darujemy 🙂

Przy pomocy specjalnych przekształceń doprowadzało się tą funkcję do tzw. „postaci kanonicznej”:

f(x)={ax+b}/{cx+d}=...=A/{x-B}+C

Z której to od razu można odczytać było równanie asymptoty poziomej: y=C i asymptoty pionowej: x=B.

A na wykresie wyglądało by to tak:

Wykres funkcji homograficznej
Kliknij, aby przejść do określenia, czym są ekstrema funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać asymptoty ukośne w funkcjach wymiernych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

  • Tweet
  • WhatsApp

Dołącz do ponad 7 200 użytkowników na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 21 Lekcji Video.
Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto

Reader Interactions

Komentarze

  1. Adrian napisał

    4 lutego 2013 at 13:42

    Witaj!
    Mam pytanie a właściwie problem z obliczeniem asymptot funkcji. Mam taką funkcję: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D-1%7D

    Oczywiście dziedzina to <0;1) u (1;inf).

    I tu moje pytanie, skoro asymptoty liczymy na skraju funkcji, to czy w tym przypadku powinno się ją liczyć w punkcie 0, czy nie?

    Odpowiedz
    • Krystian Karczyński napisał

      6 lutego 2013 at 10:51

      Witam, oczywiście nie, asymptoty liczymy „na skraju”, czyli trzeba liczyć w punkcie 1.

      Odpowiedz
  2. Szymon napisał

    22 stycznia 2014 at 11:21

    Panie Krystianie a czy wykres z log przy podstawi a = pi/3 bedzie rosnący czy malejący ?

    Odpowiedz
    • Krystian Karczyński napisał

      22 stycznia 2014 at 16:17

      Rosnący, bo \pi /3 jest większe od 1.

      Ale prawidłowo powinno się powiedzieć, że to FUNKCJA będzie rosnąca (a nie „wykres”).

      Odpowiedz
  3. Dociekliwy napisał

    31 stycznia 2014 at 19:48

    Ile maksymalnie asymptot ukośnych bądź poziomych może mieć funkcja?

    Odpowiedz
    • Dociekliwy napisał

      31 stycznia 2014 at 19:52

      ok już wiem 2

      Odpowiedz
  4. Karolina napisał

    25 lutego 2018 at 14:26

    Jakie asymptoty będzie maiła funkcjag(x)=1/tanx

    Odpowiedz

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Pierwszy Sidebar

Strach przed matematyką

Stres przed matematyką?

Sprawdź nasze darmowe Lekcje dla szkół średnich i studentów

Footer

Jesteśmy także na:

  • Facebook
  • YouTube
  • Instagram

Matura

Matura z matematyki zakres podstawowy7 maja 2019
1834 godziny pozostały.

eTrapez © 2019. Wszystkie prawa zastrzeżone. · Polityka prywatności i regulamin Bloga eTrapez · RODO: Klauzule dotyczące danych osobowych · Współpraca · Kontakt